Matematica per le superiori/Derivate

La derivata è sempre relativa ad una funzione e, per come è definita, ad un suo punto specifico (c, $f(c)$). La derivata prima (si parlerà successivamente di derivate seconde, terze,...) della funzione y = $f(x)$ nel punto (c, $f(c)$) si indica con $f'(c)$.

Se una funzione viene derivata, cioè se ne calcola la derivata, in tutti i punti di un intervallo o del suo dominio, la derivata è ancora una funzione, del tipo $y=f'(x)$. Questa funzione può essere a sua volta derivata, ottenendo quella che è detta derivata seconda ed è indicata con $f''(x)$. Se questa viene di nuovo derivata, si ottiene la derivata terza ($y=f'''(x)$), la derivata quarta ($f^{IV}(x)\,$) e così via.

La derivata rappresenta la tendenza della funzione (in un punto o in un intervallo), cioè la sua tendenza ad aumentare o diminuire. Maggiore è la derivata, più il valore di f(x) tende ad aumentare. Se la derivata è negativa, f(x) tende a calare. Storicamente, il concetto di derivata di una funzione è nato dalla ricerca di una soluzione a due diversi problemi, conosciuti oggi come interpretazioni del concetto di derivata.

Introduzione

Per determinare la retta tangente ad una conica basta porre a sistema l'equazione del fascio di rette in un punto, l'equazione della conica e porre che il discriminante della equazione risolutiva sia nulla:

$\left\{{\begin{array}{ll}y-y_{0}=m(x-x_{0})\\y=ax^{2}+bx+c\\\Delta =0\end{array}}\right.$

Il problema sorge quando l'equazione è di grado maggiore al secondo, poiché la regola del discriminante non è più valida. Occorre quindi trovare un altro metodo per trovare la retta tangente ad un punto.

Interpretazione geometrica

Il problema di carattere geometrico riguarda le ricerca dell'equazione della tangente al grafico della curva $y=f(x)$ in un punto. Questo problema si riduce alla sola determinazione del coefficiente angolare della tangente cercata.

Per fare ciò, si considera un punto

$P(x_{P};f(x_{P}))\,$

ed il punto Q determinato fornendo un incremento $\Delta x$, per cui il punto Q ha coordinate

$(x_{P}+\Delta x;f(x_{P}+\Delta x))\,$

Poiché il coefficiente angolare (m) di una retta passante per due punti è:

$m_{SEC}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\Rightarrow {\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}$.

Si nota facilmente che più i due punti "si avvicinano", più la secante passante per P e Q "si avvicina" alla tangente. Quindi:

$\lim _{Q\rightarrow P}m_{SEC}=m_{TAN}\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=f'(x)$

Quindi, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della tangente al grafico di $y=f(x)$ in un punto. Si dimostra che la derivata rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo formato dalla tangente nel punto con il semiasse positivo delle x.

Interpretazione cinematica

Il secondo problema legato allo sviluppo del concetto di derivata riguarda la determinazione della velocità di un corpo in moto: considerato l' equazione del moto di un corpo, cioè S(t) essa può essere rappresentata su un grafico cartesiano, nelle cui ascisse è rappresentato il tempo e nelle cui ordinate è rappresentato lo spostamento. Perciò S(x) è una qualsiasi funzione del tipo f(x).

Il problema risiede nel determinare la velocità del corpo dopo un dato tempo, cioè in un certo punto

$P(x_{P};f(x_{P}))\,$

Per fare ciò, si può considerare un punto Q di ascissa $x_{P}+\Delta x$ e, quindi, di ordinata $f(x+\Delta x)$ e poi calcolare la velocità con la formula

$v_{M}={\frac {S_{Q}-S_{P}}{t_{Q}-t_{P}}}$

dove S e t indicano lo spostamento nel punto indicato a pedice. Questa, però è la velocità media sostenuta nel percorso fra P e Q. Il problema era calcolare la velosità istantanea, cioè nel solo punto P. Questo valore può essere approssimato in modo sempre migliore diminuendo la distanza $\Delta x$ fra le ascisse di P e Q. Perciò:

$\lim _{Q\rightarrow P}v_{M}=v_{i}\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {S_{Q}-S_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=f'(x)$

Significato

Come si evince dalla definizione data nei due problemi storici, la derivata rappresenta il limite del rapporto incrementale ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$. Infatti, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ rappresenta il tasso di variazione medio della funzione nell' intervallo $\Delta x$, mentre $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione nel punto, cioè la sua tendenza in quel punto.

Per quanto riguarda lo studio di funzioni, la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta la sua monotonia in quel punto, cioè la sua crescenza o decrescenza. In particolare, negli intervalli in cui la derivata prima è positiva, la funzione è crescente; nei punti in cui $f'(x)<0$ la funzione è decrescente.

Punti stazionari e non derivabili

Si dicono punti stazionari di una funzione tutti e soli i punti in cui la derivata prima è 0.

Si dicono punti (o intervalli) non derivabili tutti e soli i punti della funzione in cui: la derivata assume valore infinito, non esiste il limite del rapporto incrementale per $\Delta x\rightarrow 0$ oppure il limite da destra (per eccesso) è diverso dal limite da sinistra(per difetto). In questi punti la funzione ha un comportamento particolare.

Nei punti stazionari, la funzione può avere un punto di massimo (relatico o assoluto), un punto di minimo (relativo o assoluto) o un punto di flesso a tangente orizzontale.

I punti di massimo relativo sono punti in cui:

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)\leq f(x)$ (punti di massimo debole) oppure

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)<f(x)$ (punti di massimo forte)

con $I_{C}$: intorno del punto x = c

Se $I_{C}\equiv D$ (con D = dominio di $f(x)$), allora si parla di punti di massimo assoluti.

Analogamente, si dicono punti diminimo i punti in cui:

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)\geq f(x)$ (punti di minimo debole) oppure

$\exists I_{C}:\forall x\in I_{C}\Rightarrow f(x)>f(x)$ (punti di minimo forte)

Se $I_{C}\equiv D$ (con D = dominio di $f(x)$), allora si parla di punti di minimo assoluti.

I punti di flesso a tangente orizzontale sono punti in cui la derivata prima si annulla, ma 'prima' e 'dopo' di essi la derivata prima ha uguale segno (cioè la funzione ha uguale andamento). Quindi sono punti di flesso i punti in cui:

$\exists I_{C}:\forall (x_{1}<c)$ e $\forall (x_{2}>c)\in I_{C}\Rightarrow f'(x_{1})\cdot f'(x_{2})>0\land f'(c)=0$

Se in un punto non derivabile il limite della derivata (il limite perché in quel punto la derivata non esiste) da destra è diverso da quello da sinistra ma sono entrambi finiti e diversi da 0, cioè:

$\lim _{x\rightarrow c^{-}}f'(x)\neq \lim _{x\rightarrow c^{+}}f'(x)$

allora nel punto x = c si ha un punto angoloso, cioè un punto nel quale sono presenti due diverse tangenti.

Se, invece, nel punto i limiti della derivata da destra e da sinistra sono entrambi infiniti positivamente o negativamente (purché aventi entrambi lo stesso 'segno'), allora in quel punto è presente un punto di flesso a tangente verticale. Scritto in simboli:

$\lim _{x\rightarrow c^{-}}f'(x)\cdot \lim _{x\rightarrow c^{+}}f'(x)=+\infty$

Nel caso in cui invece i due limiti siano entrambi infiniti ma di diverso 'segno', allora nel punto si ha una cuspide:

$\lim _{x\rightarrow c^{-}}f'(x)\cdot \lim _{x\rightarrow c^{+}}f'(x)=-\infty$

Teoremi sulle derivate

Derivata della somma di funzioni

Date due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e derivabili in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione $y=f(x)+g(x)$, la derivata prima di tale funzione vale $y'=f'(x)+g'(x)$ per ogni $x\in I_{C}$

Detto in altri termini: la derivata della somma di funzioni è la somma delle derivate delle singole funzioni.

Col termine somma si intende, in questo caso, una somma algebrica, e quindi anche la derivata della differenza di due funzioni è la differenza delle derivate delle singole funzioni.

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)}=$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=f'(x)+g'(x)$

c.v.d.

Può essere generalizzato per un qualsiasi numero di funzioni sommate fra di loro, quindi vale anche:

$y=f(x)+g(x)+h(x)\Rightarrow y'=f'(x)+g'(x)+h'(x)$

Caso particolare

Se $g(x)=cost\Rightarrow y=f(x)+cost\Rightarrow y'=f(x)+0=f(x)$

Perciò, una costante additiva viene eliminata nella derivazione. Infatti, come si vedrà in seguito, la derivata di una costante vale 0.

Derivata del prodotto di funzioni

Considerate due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e derivabili in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione $y=f(x)\cdot g(x)$, la derivata prima di tale funzione vale $y'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$ per ogni $x\in I_{C}$

Cioè: la derivata del prodotto di più funzioni è la somma dei singoli prodotti di una funzione derivata per tutte le altre non derivate.

Può essere generalizzato a più funzioni, cioè:

$y=f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\Rightarrow y'=f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x)+g'(x)\cdot f(x)\cdot h(x)+h'(x)\cdot f(x)\cdot g(x)$

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x))-(f(x)\cdot g(x))}{\Delta x}}=$

Notando che: $+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)=0$, il limite qui sopra si può scrivere come:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x+\Delta x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{\Delta x}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{g(x+\Delta x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]+f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{g(x+\Delta x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{g(x+\Delta x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=$

$=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

c.v.d

Caso particolare

Se $g(x)=cost\Rightarrow D(f(x)\cdot cost)=cost\cdot f'(x)+f(x)\cdot 0=cost\cdot f'(x)$

Derivata del quoziente di funzioni

Considerate due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e derivabili in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e considerata la funzione $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$, la derivata prima di tale funzione vale $y'={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$ per ogni $x\in I_{C}$

Dimostrazione

Per la definizione di derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\left({\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x}}\right)-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}{\Delta x}}=$

Notando che: $+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)=0$, il limite qui sopra si può scrivere come:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{{\frac {1}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}\cdot {\frac {f(x+\Delta x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{\Delta x}}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {1}{g(x+\Delta x)\cdot g(x)}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left\{g(x)\cdot \left[{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right]-f(x)\cdot \left[{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]\right\}}=$

${\frac {1}{\left[g(x)\right]^{2}}}\cdot \left[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{g(x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x-f(x)}{\Delta x}}-\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x)}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]=$

$={\frac {f'(x)\cdot g(x)-g'(x)\cdot f(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}}$

c.v.d.

Derivata di una funzione di funzione

Innanzitutto, con 'funzione di funzione' si intende una funzione del tipo: $y=f(g(x))$, cioè qualcosa ottenuto da un'operazione del tipo: $x\to g(x)=z\to f(z)=y$.

La derivata di una tale funzione può essere ricavata nel modo seguente:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}}$

Notando che $g(x)=z$ e $g(x+\Delta x)=z+\Delta z$ e, quindi, $\Delta z=g(x+\Delta x)-g(x)$, e che $\Delta x\rightarrow 0\Leftrightarrow \Delta z\rightarrow 0$, si può allora scrivere:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left({\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta x}}\cdot {\frac {\Delta z}{\Delta z}}\right)}=$

$\lim _{\Delta z\rightarrow 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\left(={\frac {\Delta z}{\Delta x}}\right)}=f'(z)\cdot g'(x)$

Derivata di una funzione esponenziale

Una funzione esponenziale si presenta in questo modo:$y=\left[f(x)\right]^{g(x)}$. Per calcolare la derivata di una funzione di questo tipo, è sufficiente ricordare che $e^{\ln a}=a$, e quindi scrivere l' equazione in questa nuova forma, assolutamente equivalente alla precedente: $y=e^{g(x)\cdot \ln f(x)}$. Ora essa può essere considerata come una funzione del tipo $y=e^{x}$, e derivata come tale, ricordando che poiché al posto di x è presente una funzione $g(x)\cdot \ln f(x)$, si deve applicare la formula per la derivata di una funzione di funzione.

Derivata dell' inverso di una funzione

Definita l' inverso di una funzione $y=f(x)$ come $x=F(y)$, la sua derivata vale $F'(y)={\frac {1}{f'(x)}}$ per ogni punto in cui la funzione è definita e la sua derivata prima non è nulla.

Con semplici considerazioni geometriche, si nota come $F'(y)$ rappresenti la cotangente goniometrica dell' angolo da essa formato con il semiasse positivo delle x, quindi: $F'(y)={\frac {1}{\tan \alpha }}$

Derivate fondamentali

Qui di seguito viene dimostrato il valore di alcune derivate che, d' ora in poi, vengono dati per scontati.

$y=cost$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {cost-cost}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {0}{\Delta x}}=0\Rightarrow y'=0$

$y=x$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)-x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}=1\Rightarrow y'=1$

$y=x^{n}$, con $n\in \mathbb {N} _{0}$

$f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\left(x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot (\Delta x)+{\binom {n}{2}}\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)^{2}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^{n}\right)-x^{n}}{\Delta x}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(\Delta x)\cdot \left(n\cdot x^{n-1}+{\binom {n}{2}}\cdot x^{n-2}\cdot (\Delta x)+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right)}{\Delta x}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{n\cdot x^{n-1}+(\Delta x)\cdot \left[{\binom {n}{2}}\cdot x^{n-2}+...+n\cdot x\cdot (\Delta x)^{n-3}+(\Delta x)^{n-2}\right]}=$

$n\cdot x^{n-1}\Rightarrow y'=n\cdot x^{n-1}$

Questa derivata contempla anche tutte le funzioni irrazionali (cioè del tipo $y={\sqrt[{3}]{f(x)}}$). Infatti, la radice n-esima di una qualsiasi funzione equivale alla funzione elevata alla potenza ${\frac {1}{n}}$. Cioè: ${\sqrt[{n}]{f(x)}}=\left[f(x)\right]^{\frac {1}{n}}$. In questo modo, la derivata di una radice si riduce alla derivata di una potenza.

$y=a^{x}$, con $a\in \mathbb {R} ^{+}$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}\cdot a^{\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}\cdot \left(a^{\Delta x-1}\right)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

Ricordando che: $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\log _{e}a$, il limite qui sopra si può scrivere come:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{x}}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \log _{e}a\Rightarrow y'=a^{x}\cdot \log _{e}a$

$y=\log _{a}x$

Ricordando:

• la proprietà dei logaritmi per cui $\log _{c}(a)-\log _{c}(b)=\log _{c}\left({\frac {a}{b}}\right)$
• che ${\frac {x}{x}}=1$ e $a\cdot 1=a\Rightarrow a\cdot {\frac {x}{x}}=1$
• che l' operazione di logaritmo può essere "portata fuori" dal limite, cioè: $\lim _{x\rightarrow c}{\left(\log _{a}b\right)}=\log _{a}\left(\lim _{x\rightarrow c}{b}\right)$
• il limite notevole: $\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}}=e$
• la formula per il cambio di base dei logaritmi: $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}\Rightarrow \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {1}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\right]}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {1}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\cdot {\frac {x}{x}}\right]}$

$=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {x}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)\right]}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left[{\frac {x}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)\right]}=$

${\frac {1}{x}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}}={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left[\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}}\right]={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}e={\frac {1}{x\cdot \ln a}}\Rightarrow y'={\frac {1}{x\cdot \ln a}}$

$y=\sin x$

Ricordando la formula di prostaferesi: $\sin(p)-\sin(q)=2\cdot \sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)$

Ricordando il limite notevole: $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {\sin(a)}{a}}=1$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {2\cdot \sin \left({\frac {x+\Delta x-x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {x+\Delta x+x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\cdot x+\Delta x}{2}}\right)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)}=1\cdot \cos x\Rightarrow y'=\cos x$

$y=\cos x$

Ricordando la formula di prostaferesi: $\cos(p)-\cos(q)=-2\cdot \sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)$

Ricordando il limite notevole: $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {\sin(a)}{a}}=1$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {-2\cdot \sin \left({\frac {x+\Delta x-x}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {x+\Delta x+x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}=$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{-{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {2\cdot x+\Delta x}{2}}\right)}{\Delta x}}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{-{\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}}\cdot \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)}=-1\cdot \sin x$

$\Rightarrow y'=-\sin x$

$y=\tan x$

Poiché: $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

$\Rightarrow y'={\frac {\cos x\cdot \cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$

Differenziale di una funzione

Definito $\Delta y$ come $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, allora vale: $\Delta x\rightarrow 0\Leftrightarrow \Delta y\rightarrow (f(x)-f(x))=0$. Sono pertanto due infinitesimi, che possono essere confrontati. Il loro confronto coincide, se finito, con la derivata prima della funzione. Questo giustifica il seguente modo di scrivere la derivata:

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)$

Da cui, scrivendo (come si dice) fuori dal segno di limite:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon (\Delta x)\Rightarrow \Delta y=f'(x)\cdot \Delta x+f'(x)\cdot \varepsilon (\Delta x)$

$f'(x)\cdot \Delta x$ è la parte principale dell' infinitesimo $\Delta y$, mentre $f'(x)\cdot \varepsilon (\Delta x)$ è la parte complementare di tale infinitesimo, che può pertanto essere ignorata.

Si dice differenziale di una funzione, e si indica con dy la parte principale dell' infinitesimo $\Delta y$, cioè: $f'(x)\cdot \Delta x$.

Se si considera la funzione $y=x$, allora $dy=dx$, e quindi:

$dy=dx=1\cdot \Delta x=\Delta x\Rightarrow dx=\Delta x$

Alla luce di ciò, si può scrivere: $dy=f'(x)\cdot dx$, e dare una nuova definizione della derivata, cioè: $f'(x)={\frac {dy}{dx}}$.

Sostituendo il differenziale all' incremento (cioè, come si dice, confondendo l' uno con l' altro), si commette un errore che vale, se considerato $dy$ e $\Delta y$: $\Delta x\cdot \varepsilon (\Delta x)$.

Geometricamente, significa sostituire al grafico della curva quello della sua tangente. Naturalmente, poiché la derivata rimane pur sempre un limite, l' errore commesso è infinitesimale appunto, e può perciò essere ignorato.

Legami fra derivabilità e continuità

Una funzione per essere derivabile (in un punto o in un intervallo), deve essere continua (in quel punto o in quell' intervallo). Perciò una funzione è continua nei punti in cui è derivabile. Di ciò se ne può fornire una dimostrazione, considerando la funzione in un punto $x_{0}$:

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\Rightarrow {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0})+\varepsilon (\Delta x)$

$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=(\Delta x)\cdot \left[f'(x_{0})+\varepsilon (\Delta x)\right]$

$\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_{0}+\Delta x)}-\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_{0})}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{(\Delta x)\cdot \left[f'(x_{0})+\varepsilon (\Delta x)\right]}$

$\Rightarrow \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_{0}+\Delta x)}-\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_{0})}=0$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f(x_{0}+\Delta x)}=f(x_{0})$

Da cui segue immediatamente che la funzione è continua. c.v.d.

Può capitare, invece, che in alcuni punti o intervalli una funzione sia continua ma non derivabile, come accade, ad esempio, nei punti di cuspide, nei punti angolosi o nei punti di flesso a tangente verticale.

Teoremi sulle funzioni derivabili

Teorema di Rolle

Questo teorema afferma che: considerata una funzione $y=f(x)$ definita e continua in un intervallo chiuso e limitato $[a;b]$ e derivabile nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo $(a;b)$, e tale per cui $f(a)=f(b)$, allora: $\exists c\in (a;b):f'(c)=0$.

Fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria.

Dimostrazione

Per assurdo: $\not \exists c\in (a;b):f'(c)=0$.

Per il teorema di Weierstrass, poiché $y=f(x)$ è continua (nell' intervallo considerato), allora esisterà un punto di minimo e uno di massimo (nell' intervallo considerato). Essi sono punti stazionari, quindi: $\exists x_{1},x_{2}:f(x_{1})=M,f(x_{2})=m\Rightarrow f'(x_{1})=f'(x_{2})=0$.

Per l' assurdo iniziale, essi non possono appartenere ad $(a;b)$ ma devono appartenere ad $[a;b]$, perciò devono essere gli estremi dell' intervallo.

Per ipotesi, la funzione agli estremi ha lo stesso valore, cioè: $f(a)=f(b)$, quindi $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow M=m$.

L' unica funzione per cui il valore massimo che essa assume è uguale a quello minimo, è la funzione costante, cioè $y=cost$. Ma se la funzione è costante, allora le derivata in ogni suo punto vale 0, contro l' ipotesi iniziale. Deve quindi essere falso l' assurdo iniziale, e perciò vera la tesi. c.v.d.

Teorema di Lagrange

Il teorema afferma che: considerata una funzione $y=f(x)$ definita e continua in un intervallo chiuso e limitato $[a;b]$ e derivabile nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo $(a;b)$, allora: $\exists c\in (a;b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$.

Questo teorema mette in relazione il tasso di variazione medio di $f(x)$ nell' intervallo $[a;b]$, cioè ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$, con il suo tasso di variazione istantaneo, cioè $f'(c)$.

Si tratta di una generalizzazione del teorema di Rolle, che può essere ricavato da questo ponendo $f(a)\cdot f(b)$.

Interpretazione geometrica

La quantità ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$ rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i limiti dell' intervallo, cioè i punti $x=a$ e $x=b$, mentre $f'(c)$ è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto c. Quindi il teorema garantisce l' esistenza di almeno (ma non necessariamente solo) un punto in cui la tangente alla curva è parallela alla retta passante per $x=a$ e $x=b$.

Teorema di Cauchy

Detto anche teorema degli accrescimenti finiti.

Il teorema afferma che: considerate due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e continue in un intervallo chiuso e limitato $[a;b]$ e derivabili nei suoi punti interni, cioè nell' intervallo $(a;b)$ e tali che $\forall x\in (a;b)\Rightarrow g(x)\neq 0$ e $g'(x)\neq 0$ allora: $\exists c\in (a;b):{\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}$.

Mette in relazione gli incrementi medi delle due funzioni nel' intervallo con i loro incrementi istantanei in un punto.

Questo teorema è una generazione del teorema di Lagrange, che può essere ottenuto da questo ponendo $g(x)=x$.

Teorema di De L' Hopital

Il teorema afferma che: considerate due funzioni $y=f(x)$ e $y=g(x)$ definite e continue in un intorno $I_{C}$ del punto c, escluso al più il punto c stesso, e derivabili nei suoi punti interni e tali che $\forall x\in I_{C}\Rightarrow g(x)\neq 0$ e $g'(x)\neq 0$, che $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {0}{0}}$ oppure $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\infty }{\infty }}$ e che esista $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ allora: $\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Il teorema fornisce una condizione sufficiente ma non necessria, cioè può non esistere il limite del rapporto delle derivate pur esistendo il limite del rapporto fra le funzioni.

Può essere utilizzato anche per funzioni del tipo: $y=f(x)\cdot g(x)$, scrivendole come: $y={\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}$.

Teorema sulla monotonia

Ricordando che: $\forall x_{1}<x_{2}$ $\Rightarrow$ se: $f(x_{1})<f(x_{2})\rightarrow$ funzione crescente

se: $f(x_{1})\leq f(x_{2})\rightarrow$ funzione debolmente crescente

se: $f(x_{1})>f(x_{2})\rightarrow$ funzione decrescente

se: $f(x_{1})\geq f(x_{2})\rightarrow$ funzione debolmente decrescente

Vale che: $\forall x_{1}<x_{2}$, allora $f'(x)=\lim _{x_{2}\rightarrow x_{1}}{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$.

Tenendo conto che $x_{2}-x_{1}$ è una quantità sempre positiva per ipotesi: se $f'(x)>0\Rightarrow f(x_{2})-f(x_{1})>0\Rightarrow$ la funzione è crescente se $f'(x)<0\Rightarrow f(x_{2})-f(x_{1})<0\Rightarrow$ la funzione è decrescente

Il teorema non è direttamente invertibile, ma vale: se la funzione è crescente $\Rightarrow f'(x)\geq 0$ se la funzione è decrescente $\Rightarrow f'(x)\leq 0$