Matematica per le superiori/Limiti

Indice del libro

Per limite si intende il valore, , al quale una funzione si avvicina quando la variabile indipendente si avvicina a un determinato valore . Si scrive quindi:

e si legge: Il limite per che tende a di è uguale a .

Sia sia possono essere dei valori numerici oppure .

Il valore deve essere un punto di accumulazione per l'insieme di definizione della funzione , non deve essere un punto isolato, cioè per quanto piccolo prenda un intorno di questo deve contenere altri punti dell'insieme di definizione della funzione.

Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.

Definizione modifica

Se   è un punto di accumulazione per un insieme di esistenza della funzione   allora diremo che   se per qualunque intorno di   esiste un intorno di   tale che per ogni   appartenente all'intorno di   tranne   stesso,   appartiene all'intorno di  .

Quindi, chiamando   e   rispettivamente un intorno di   e un intorno di  :

 

Per verificare il limite bisogna verificare che:

 

Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui il valore a cui tende   o il limite siano finiti o infiniti:

Un limite finito per   che tende a un valore finito:

 .

Un limite infinito per   che tende a un valore finito:

 .

Un limite finito per   che tende a un valore infinito:

 .

Un limite infinito per   che tende a un valore infinito:

 .

Infiniti modifica

La funzione   si dice un infinito per   che tende a   se  

Dati due infiniti   e   si possono avere i seguenti casi:

  •     con   allora gli infiniti sono dello stesso ordine.
  •     allora   è un infinito di ordine superiore a  
  •     allora   è un infinito di ordine superiore a  

Infinitesimi modifica

La funzione   si dice un infinitesimo per   che tende a   se  

Dati due infinitesimi   e   si possono avere i seguenti casi:

  •     con   allora gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
  •     allora   è un infinitesimo di ordine superiore a  
  •     allora   è un infinitesimo di ordine superiore a  

Limiti e infinitesimi modifica

teorema

Chiamando   un infinitesimo per  , se:

 

allora:

 

e viceversa.

dimostrazione

  1. .
  2. .

q.e.d.

Somma di infinitesimi modifica

Se   e   sono due infinitesimi allora   è un infinitesimo.

Prodotto di infinitesimi modifica

Se   e   sono due infinitesimi allora   è un infinitesimo.

Teoremi sui limiti modifica

Unicità del limite modifica

Permanenza del segno modifica

Calcolo con i limiti modifica

Limite di una costante modifica

Limite della funzione identità modifica

Somma di funzioni modifica

Prodotto di funzioni modifica

teorema

Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.

Se   e   allora  

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che:

1.  

Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:

 

e

 

con   e   due infinitesimi per  .

L'espressione 1. diventa:

2.  

Svolgendo i calcoli si ottiene:

 

e:

3.  

Ora:

  • i prodotto di valori finiti per infinitesimi (  e  ) sono infinitesimi,
  • il prodotto tra due infinitesimi ( ) e un infinitesimo,
  • la somma tra questi infinitesimi è un infinitesimo.

Quindi il contenuto del modulo è minore di qualunque   dato per  .

q.e.d.

Quoziente di funzioni modifica

Limite di una funzione polinomiale modifica

Risoluzione di alcune forme di indecisione modifica

Limiti notevoli modifica

Limiti notevoli di funzioni goniometriche modifica

 
 
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {{\emph {a}}x}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}{\emph {a}}}
 
 
 

Limiti notevoli di funzioni esponenziali modifica

 
 
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\left(1+{\frac {\emph {a}}{x}}\right)^{x}}{\stackrel {\left[\infty ^{0}\right]}{=}}e^{\emph {a}}}
 
 
 
 
 

Limiti notevoli di funzioni contenenti logaritmi o esponenziali modifica

 
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{\emph {a}}{(1+x)}}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\log _{a}{e}={\frac {1}{\ln {a}}}}
 
 
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{x}-1}{x}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}
 
Errore del parser (Errore di conversione. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") riporta: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\emph {a}}^{\epsilon (x)}-1}{\epsilon (x)}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}\ln {\emph {a}}}

I limiti nello studio di funzioni modifica

Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).

Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione ( ,  ,  ,  ,  ): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.