Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

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Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:

Risoluzione algebricaModifica

Partendo dalla nostra disequazione:

 

poniamo una limitazione non restrittiva   (se   basta moltiplicare entrambi i membri per -1)

Raccogliamo  :

 
 
 
 

  è la discriminante dell'equazione  , quindi scriviamo:

 

A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:

  •  
  è una quantità sempre positiva e   è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.
  •  
  è uguale a zero, quindi possiamo scrivere:  . Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per  , che invece rende il primo membro uguale a zero.
  •  
In questo caso significa che l'equazione   ha due soluzioni e il trinomio   è quindi scomponibile in  ; la nostra disequazione diventa quindi:
 
Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:
 
Scriviamo il quadro dei segni:
 
 
   
  + +
  +
  + +
A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:
 

Se consideriamo invece la disequazione:

 

i nostri risultati saranno invece:

  •  
La disequazione non è verificata per alcun valore di x
  •  
La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x
  •  
Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:
 
(x è compreso tra le due soluzioni).

Se anziché essere   o   il nostro segno fosse   o   dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: