Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado
Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a due, ed eventualmente anche a uno. Ogni disequazione di secondo grado si può scrivere nella forma:
Risoluzione algebrica
modificaPartendo dalla nostra disequazione:
poniamo una limitazione non restrittiva (se basta moltiplicare entrambi i membri per -1)
Raccogliamo :
è la discriminante dell'equazione , quindi scriviamo:
A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:
- è una quantità sempre positiva e è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.
- è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: . Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per , che invece rende il primo membro uguale a zero.
- In questo caso significa che l'equazione ha due soluzioni e il trinomio è quindi scomponibile in ; la nostra disequazione diventa quindi:
- Abbiamo posto a maggiore di zero, quindi:
- Scriviamo il quadro dei segni:
– + + – – + + – +
- A noi interessano i valori positivi, dunque la soluzione sarà:
Se consideriamo invece la disequazione:
i nostri risultati saranno invece:
- La disequazione non è verificata per alcun valore di x
- La disequazione non è soddisfatta per nessun valore di x
- Il procedimento è lo stesso che per il segno >, ma alla fine dobbiamo considerare i valori negativi anziché quelli positivi, quindi:
- (x è compreso tra le due soluzioni).
Se anziché essere o il nostro segno fosse o dovremmo aggiungere alle nostre soluzioni i valori che rendono il trinomio nullo: