Matematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi
Cos'è un insieme
modificaUn qualsiasi raggruppamento, raccolta o collezione di oggetti prende il nome di insieme, e gli oggetti si dicono elementi dell'insieme.
Un insieme può essere finito, quando è possibile elencare tutti i suoi elementi; un insieme è infinito, invece, quando non è possibile elencarli tutti.
Un insieme può anche essere vuoto, se non ha elementi. Un insieme vuoto si rappresenta con uno dei seguenti simboli:
- Ø oppure { }
Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi, nello stesso numero.
Rappresentazione di un insieme
modificaUn insieme si può rappresentare in diversi modi, ma i metodi principali di rappresentazione sono: la rappresentazione tabulare, o per elencazione; la rappresentazione mediante proprietà caratteristica; i diagrammi di Eulero-Venn.
Rappresentazione tabulare o per elencazione
modificaIn questo tipo di rappresentazione, bisogna elencare tutti gli elementi dell'insieme, separandoli con una virgola, e racchiudendoli fra una coppia di parentesi graffe, ad esempio:
- A = {cane, gatto, volpe, lupo}
- B = {1, 2, 4, 6, 8, 10 }
Rappresentazione mediante proprietà caratteristica
modificaIn questo tipo di rappresentazione, bisogna individuare innanzitutto una proprietà che caratterizza gli elementi del nostro insieme, e che prende il nome di caratteristica dell'insieme, poi si sceglie un nome generico per gli elementi del nostro insieme, di solito una lettera minuscola dell'alfabeto, e si scrivono entrambe le cose in una coppia di parentesi graffe, separate da una barra verticale, ad esempio:
- A = {x | x è una razza di cane}
- x è il nome generico dato agli elementi dell'insieme, e la frase x è una razza di cane esprime la nostra proprietà caratteristica. Il tutto si legge "x tale che x è una razza di cane"
Spesso, si ricorre all'utilizzo anche di un insieme ambiente, e sarebbe l'insieme dal quale andiamo a prendere gli elementi che costituiranno il nostro insieme. Esso si indica nella prima parte della rappresentazione, prima della barra verticale, ad esempio:
- A = {x ∈ C | x è un pitbull}
- L'insieme C in questo caso sarebbe:
- C = {x | x è una razza di cane}
Diagrammi di Eulero-Venn
modificaQuesto tipo di rappresentazione, consiste nel racchiudere gli elementi del nostro insieme in una linea chiusa non intrecciata, indicando all'esterno di essa il nome del nostro insieme, ad esempio:
Predicati e operazioni con gli insiemi
modificaUn predicato è una frase che esprime una proprietà caratteristica che soddisfano alcuni elementi di un insieme, o tutti. Esso si indica di solito con una lettera minuscola dell'alfabeto, ad esempio p.
La negazione e l'insieme complementare
modificaDato un predicato p in un insieme U, la negazione di p si indica in uno dei seguenti modi:
e si legge non p.
Inoltre, se A è il sottoinsieme di U individuato dal predicato p eB il sottoinsieme di U individuato dal predicato ¬p, si dice che B sia l'insieme complementare di A rispetto ad U. In simboli:
Negli ultimi due casi non si hanno dubbi su quale sia l'insieme U.
Elementi di teoria degli insiemi
modificaSimbolo Significato
N Insieme dei numeri naturali
Z Insieme dei numeri interi
Q Insieme dei numeri razionali
R Campo dei numeri reali
C Campo dei numeri complessi
∪ unione degli elementi di un insieme A e quelli di un insieme B
∩ (intersezione) indica gli elementi comuni in due o più insiemi
⊂ (inclusione propria) gli elementi del primo insieme sono presenti anche nel secondo
⊆ (inclusione impropria) gli stessi elementi sono presenti in entrambi gli insiemi e questi possono essere uguali
∈ indica che l'elemento appartiene ad un determinato insieme
∉ indica che l'elemento non appartiene ad un determinato insieme
∅ indica che l'insieme è vuoto, privo di qualsiasi elemento
∃ indica l' esistenza di un determinato insieme o elemento
∀ indica che l'operazione verra svolta su tutti gli elementi dell' insieme