Matematica per le superiori/Elementi di teoria degli insiemi

Indice del libro

Cos'è un insieme

modifica

Un qualsiasi raggruppamento, raccolta o collezione di oggetti prende il nome di insieme, e gli oggetti si dicono elementi dell'insieme.
Un insieme può essere finito, quando è possibile elencare tutti i suoi elementi; un insieme è infinito, invece, quando non è possibile elencarli tutti.
Un insieme può anche essere vuoto, se non ha elementi. Un insieme vuoto si rappresenta con uno dei seguenti simboli:

Ø oppure { }

Due insiemi sono uguali quando hanno gli stessi elementi, nello stesso numero.

Rappresentazione di un insieme

modifica

Un insieme si può rappresentare in diversi modi, ma i metodi principali di rappresentazione sono: la rappresentazione tabulare, o per elencazione; la rappresentazione mediante proprietà caratteristica; i diagrammi di Eulero-Venn.

Rappresentazione tabulare o per elencazione

modifica

In questo tipo di rappresentazione, bisogna elencare tutti gli elementi dell'insieme, separandoli con una virgola, e racchiudendoli fra una coppia di parentesi graffe, ad esempio:

  • A = {cane, gatto, volpe, lupo}
  • B = {1, 2, 4, 6, 8, 10 }

Rappresentazione mediante proprietà caratteristica

modifica

In questo tipo di rappresentazione, bisogna individuare innanzitutto una proprietà che caratterizza gli elementi del nostro insieme, e che prende il nome di caratteristica dell'insieme, poi si sceglie un nome generico per gli elementi del nostro insieme, di solito una lettera minuscola dell'alfabeto, e si scrivono entrambe le cose in una coppia di parentesi graffe, separate da una barra verticale, ad esempio:

  • A = {x | x è una razza di cane}
x è il nome generico dato agli elementi dell'insieme, e la frase x è una razza di cane esprime la nostra proprietà caratteristica. Il tutto si legge "x tale che x è una razza di cane"

Spesso, si ricorre all'utilizzo anche di un insieme ambiente, e sarebbe l'insieme dal quale andiamo a prendere gli elementi che costituiranno il nostro insieme. Esso si indica nella prima parte della rappresentazione, prima della barra verticale, ad esempio:

  • A = {x ∈ C | x è un pitbull}
L'insieme C in questo caso sarebbe:
C = {x | x è una razza di cane}

Diagrammi di Eulero-Venn

modifica

Questo tipo di rappresentazione, consiste nel racchiudere gli elementi del nostro insieme in una linea chiusa non intrecciata, indicando all'esterno di essa il nome del nostro insieme, ad esempio:

 
Diagramma di Eulero-Venn

Predicati e operazioni con gli insiemi

modifica

Un predicato è una frase che esprime una proprietà caratteristica che soddisfano alcuni elementi di un insieme, o tutti. Esso si indica di solito con una lettera minuscola dell'alfabeto, ad esempio p.

La negazione e l'insieme complementare

modifica

Dato un predicato p in un insieme U, la negazione di p si indica in uno dei seguenti modi:

 
Negazione di un predicato

e si legge non p.
Inoltre, se A è il sottoinsieme di U individuato dal predicato p eB il sottoinsieme di U individuato dal predicato ¬p, si dice che B sia l'insieme complementare di A rispetto ad U. In simboli:

 
Insieme complementare

Negli ultimi due casi non si hanno dubbi su quale sia l'insieme U.

Elementi di teoria degli insiemi

modifica

Simbolo Significato

N Insieme dei numeri naturali

Z Insieme dei numeri interi

Q Insieme dei numeri razionali

R Campo dei numeri reali

C Campo dei numeri complessi

∪ unione degli elementi di un insieme A e quelli di un insieme B

∩ (intersezione) indica gli elementi comuni in due o più insiemi

⊂ (inclusione propria) gli elementi del primo insieme sono presenti anche nel secondo

⊆ (inclusione impropria) gli stessi elementi sono presenti in entrambi gli insiemi e questi possono essere uguali

∈ indica che l'elemento appartiene ad un determinato insieme

∉ indica che l'elemento non appartiene ad un determinato insieme

∅ indica che l'insieme è vuoto, privo di qualsiasi elemento

∃ indica l' esistenza di un determinato insieme o elemento

∀ indica che l'operazione verra svolta su tutti gli elementi dell' insieme