Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali

Teoria   —   Esercizi


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Numeri non razionaliModifica

Radicali quadraticiModifica

Le condizioni di esistenzaModifica

Le condizioni di esistenza sono quell'insieme dei valori delle variabili contenute nel radicale per i quali esso esiste. Per verificare le condizioni di esistenza bisogna prima guardare se l'indice del radicale è pari o dispari:

  • se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
  • se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Per esempio sono calcolabili i seguenti radicali:

 

Non esistono invece numeri reali che risolvano queste espressioni:

 

Essi infatti appartengono all'insieme dei numeri immaginari, i quali, sommati ai numeri reali, danno come risultato un numero appartenente all'insieme dei numeri complessi, indicato con C o  .

Operazioni fondamentaliModifica

Esistono delle proprietà fondamentali delle radici che vengono elencate di seguito:

  •  
  •   purché n dispari infatti se a<0 il primo non esiste mentre il secondo se m=numero pari esiste
  •  
  •  
  •   (Radicali quadratici doppi)

dove   e   sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che  .

Per ogni numero complesso   diverso da 0, ci sono   diversi numeri complessi   tali che  , quindi il simbolo   non può essere usato univocamente. Se  , parliamo di radici n-esime dell'unità.


Casi particolariModifica

La radice  -esima di 0 è uguale a 0, perché 0, elevato ad  , è uguale a 0; nel caso in cui però   sia zero la radice non ha soluzioni reali, in quanto ogni numero elevato a zero è uguale ad uno, inoltre zero elevato a zero non ha significato.


Radicale doppioModifica

I radicali doppi compaiono nelle formule risolutive delle equazioni di terzo e quarto grado, anche se furono studiati già da Euclide nel X Libro dei suoi Elementi.

ProprietàModifica

Talvolta è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di due radicali. Si consideri per esempio la prima forma: ci si propone di trovare 2 numeri x e y tali che:

 

Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

 

Quest'uguaglianza è sicuramente verificata se si pone:

 

cioè:

 

Le soluzioni di questo sistema simmetrico sono le radici dell'equazione quadratica

 

Risolvendo quest'equazione si ottiene

 

e quindi:

 

Si ottiene così l'identità cercata:

 

Analogamente si può ottenere:

 

D'altronde è facile verificare che queste identità sono realmente verificate (a patto che a, b ed a2 - b siano positivi).

Si noti come il secondo membro sia in generale una somma di radicali doppi, perciò l'identità è effettivamente utile solo se a2 - b è un quadrato perfetto. Ad esempio:

 

e, semplificando e razionalizzando, si ottiene:

 

Invece il radicale doppio   non si può semplificare, dal momento che 32 - 2 = 7 non è un quadrato perfetto.

Esempio "quadrato perfetto rationale" (notio: 5.52 - 10 = 4.52 et 5.5 + 4.5 = 10 et 5.5 - 4.5 = 1):

 

Potenze a esponente razionaleModifica

Razionalizzazione del denominatore o del numeratoreModifica

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