Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi

Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.

Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.

Raccoglimento totale

Per usare questo metodo bisogna verificare, innanzitutto, che ci siano 4 fattori con un divisore uguale a tutti e 4.

Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:

$x(a+b+c)=xa+xb+xc\,$

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza vale anche:

$xa+xb+xc=x(a+b+c)\,$

È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:

$4x^{3}+6xy\,$

Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:

$4x^{3}+6xy=2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 3y\,$

Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:

$2x\cdot 2x^{2}+2x\cdot 3y=2x(2x^{2}+3y)\,$

Raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio:

$ax+bx+ay+by\,$

per usare questo metodo devono esserci 4 o piu fattori per eseguirlo. Si raggruppano 2 a 2 i monomi e si trascrive quello più piccolo. Nella prima parententesi si raggruppa la parte uguale, nella seconda quello fuori dalle parentesi.

in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:

$ax+bx+ay+by=\,$

Prima su porzioni del polinomio:

$x(a+b)+y(a+b)=\,$

Poi su tutto il polinomio:

$(a+b)(x+y)\,$

Differenza di due quadrati

Consideriamo questo polinomio:

$a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}\,$

In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:

$(ax)^{2}-(by)^{2}=\,$

Notiamo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.

$(ax-by)(ax+by)\,$

Facciamo un altro esempio:

$25x^{2}-9y^{2}=\,$

$(5x)^{2}-(3y)^{2}=\,$

$(5x-3y)(5x+3y)\,$

Quadrato di un binomio

Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di 2 termini, aumenta (o diminuita) del loro prodotto è uguale al quadrato della somma (o differenza) dei 2 termini Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+ab+ba+b^{2}\,$

Consideriamo questo trinomio:

$x^{2}+6x+9=\,$

poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:

$(x)^{2}+2\cdot 3\cdot x+(3)^{2}=$

il trinomio di partenza è equivalente a:

$(x+3)^{2}\,$

Cubo di un binomio

Questo metodo viene utilizzato quando ci sono 4 fattori, i quali devono esserci 2 quadrati pefetti. Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

$\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

Consideriamo questo quadrinomio:

$8x^{3}+12x^{2}y+6xy^{2}+y^{3}=\,$

poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:

$\left(2x\right)^{3}+3\left(2x\right)^{2}y+3\left(2x\right)y^{2}+y^{3}=\,$

il quadrinomio di partenza è equivalente a:

$\left(2x+y\right)^{3}\,$

Analogamente:

$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=\left(a-b\right)^{3}\,$

Scomposizione di trinomi di secondo grado

Se il trinomio è in questa forma:

$x^{2}+sx+p\,$

se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.

Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato $p\,$ e sommati diano $s\,$. Se riusciamo a trovarli, chiamando $n_{1}\,$ e $n_{2}\,$ questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto:

$x^{2}+sx+p=\left(x+n_{1}\right)\left(x+n_{2}\right)\,$

Ad esempio:

$x^{2}+7x+6\,$

dato che $6=6\cdot 1\,$ e $7=6+1\,$ si ottiene:

$x^{2}+7x+6=\left(x+6\right)\left(x+1\right)\,$

Somma o differenza di due cubi

Come svolgerlo: prima parentesi: - somma/differenza delle basi; seconda parentesi: -quadrato della prima base -prodotto delle basi (ricorda di cambiare segno) -quadrato della seconda base.

Consideriamo un polinomio formato dalla somma di due cubi:

$a^{3}+b^{3}\,$

è scomponible in:

$\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\,$

Infatti:

$\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}\,$

Facciamo un esempio:

$8x^{3}-y^{3}=\left(2x-y\right)\left(4x^{2}+2xy+y^{2}\right)\,$

In modo simile si ottiene:

$a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\,$

Lasciamo ai lettori volenterosi la semplice dimostrazione.

Collegamenti esterni

• (IT) La Scomposizione dei Polinomi attraverso i modelli geometrici