Matematica per le superiori/Scomposizione di polinomi

Indice del libro

Quando si affrontano le operazioni tra frazioni algebriche è necessario lavorare con minimi comuni multipli, per cui è indispensabile avere una tecnica per scomporre dei denominatori formati da polinomi esattamente come si scompongono i denominatori numerici in prodotti.

Ci sono varie tecniche di scomposizione in fattori di polinomi.

Raccoglimento totaleModifica

Per usare questo metodo bisogna verificare, innanzitutto, che ci siano 4 fattori con un divisore uguale a tutti e 4.

Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, vale la seguente uguaglianza:

 

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza vale anche:

 

È possibile usare quindi l'inversa della proprietà distributiva per scomporre in fattori un polinomio. Scomponiamo ad esempio questo polinomio:

 

Mettiamo in evidenza, in ogni monomio il fattore massimo comun divisore:

 

Poi lo raccogliamo usando la proprietà inversa della distributiva:

 

Raccoglimento parzialeModifica

Consideriamo il polinomio:

 

per usare questo metodo devono esserci 4 o piu fattori per eseguirlo. Si raggruppano 2 a 2 i monomi e si trascrive quello più piccolo. Nella prima parententesi si raggruppa la parte uguale, nella seconda quello fuori dalle parentesi.

in questo caso non è possibile individuare un elemento comune a tutti i monomi appartenenti al polinomio, tuttavia è possibile ottenere comunque un prodotto tra polinomi utilizzando una tecnica di raccoglimento che si sviluppa in due momenti diversi:

 

Prima su porzioni del polinomio:

 

Poi su tutto il polinomio:

 


Differenza di due quadratiModifica

Consideriamo questo polinomio:

 

In questo caso notiamo che ogni monomio è un quadrato perfetto. Riscriviamo dunque il polinomio in un'altra forma:

 

Notiamo quindi che questo polinomio non è altro che il prodotto notevole della differenza di due quadrati.

 

Facciamo un altro esempio:

 
 
 

Quadrato di un binomioModifica

Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di 2 termini, aumenta (o diminuita) del loro prodotto è uguale al quadrato della somma (o differenza) dei 2 termini Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

 

Consideriamo questo trinomio:

 

poiché si possono individuare i quadrati di due monomi e il loro doppio prodotto:

 

il trinomio di partenza è equivalente a:

 

Cubo di un binomioModifica

Questo metodo viene utilizzato quando ci sono 4 fattori, i quali devono esserci 2 quadrati pefetti. Si può utilizzare l'inverso del prodotto notevole:

 

Consideriamo questo quadrinomio:

 

poiché si possono individuare i due cubi e i due tripli prodotti:

 


il quadrinomio di partenza è equivalente a:

 

Analogamente:

 

Scomposizione di trinomi di secondo gradoModifica

Se il trinomio è in questa forma:

 

se cioè il coefficiente del termine di 2° grado è uno, in alcuni casi il trinomio è facilmente scomponibile.

Bisogna cercare due numeri che moltiplicati diano come risultato   e sommati diano  . Se riusciamo a trovarli, chiamando   e   questi due numeri, il trinomio si può scomporre nel seguente prodotto:

 

Ad esempio:

 

dato che   e   si ottiene:

 

Somma o differenza di due cubiModifica

Come svolgerlo: prima parentesi: - somma/differenza delle basi; seconda parentesi: -quadrato della prima base -prodotto delle basi (ricorda di cambiare segno) -quadrato della seconda base.

Consideriamo un polinomio formato dalla somma di due cubi:

 

è scomponible in:

 

Infatti:

 

Facciamo un esempio:

 

In modo simile si ottiene:

 

Lasciamo ai lettori volenterosi la semplice dimostrazione.

Collegamenti esterniModifica