Matematica per le superiori/L'iperbole

Teoria   —   Esercizi


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L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione genericaModifica

Partiamo dal caso più semplice, ovvero quello in cui i fuochi si trovano sull'asse delle ascisse a uguale distanza dal centro:

 
 

L'equazione generica dell'iperbole può essere quindi dedotta dal suo significato geometrico:

 

Ovvero, dato un punto P generico, esso apparterrà all'iperbole solo se soddisferà l'equazione, ovvero se il modulo della differenza delle distanze tra i due fuochi è uguale a una costante, che chiamiamo  .

Sviluppando avremo:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Per comodità possiamo porre:

 

e avremo quindi:

 

Questa è detta equazione canonica dell'iperbole.

Centro e punti notevoliModifica

Chiamiamo centro dell'iperbole il suo punto di simmetria. Possiamo notare come in questo caso il centro coincida con l'origine degli assi; infatti operando la simmetria rispetto all'origine si ottiene la medesima equazione:

 
 

Chiamiamo poi vertici dell'iperbole i due punti più vicini al centro. Si può facilmente intuire come questi punti coincidano con l'intersezione dell'iperbole con l'asse delle ascisse, pertanto avremo:

 
 
 
 

I vertici saranno pertanto:   e  

Iperbole con i fuochi sull'asse delle ordinateModifica

Per ottenere l'equazione dell'iperbole avente i fuochi sull'asse delle ordinate, è sufficiente operare una simmetria rispetto alla retta  . L'equazione diventerà quindi:

 
 

Si può quindi operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

 


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