Matematica per le superiori/La retta

Teoria   —   Esercizi


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Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un equazione a due incognite di primo grado.

Ricavare l'equazioneModifica

Tracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.

Secondo il teorema di Talete, valgono le equazioni:

  e  


Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:

 


Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P1, P e P2 si ottiene

 

Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo  ,   e   si ottiene l'equazione in forma implicita:

 

Il coefficiente angolare e l'intercettaModifica

Se si ricava la y da quell'equazione e si pone   e   si ottiene

 

dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.

  • Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è:
     
    il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0).
  • Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta:
     
    Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti:
     
     
    Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito:
     
     
    L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo
     
    dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti.
    Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:
  30° 45° 60° 90° 135° 150°
m              

Rette parallele e perpendicolariModifica

I coefficienti angolari delle rette il cui rapporto è definibile sono legati matematicamente.

Rette paralleleModifica

 
Fig. 1

Ip.:  

Ts.:  

Dim:
I triangoli ABO e A'B'O sono simili, infatti:

  • Gli angoli AOB e A'OB' sono uguali perché opposti al vertice.
  • Gli angoli ABO e OB'A' sono uguali perché alterni interni.
  • Gli angoli BAO e B'A'O sono uguali perché alterni interni.

 
 
siccome sono simili   e quindi:
  cvd.

Rette perpendicolariModifica

 
Fig. 2

Ip.:  

Ts.:  

Dim:
I triangoli ABO e CDO sono simili.
 

 

 

 

SimmetrieModifica

  • Simmetria rispetto all'asse y: m -> -m; q -> -q
  • Simmetria rispetto all'asse x: m -> -m; q -> q
  • Simmetria rispetto all'origine (composizione delle prime due): m -> m; q -> -q

Lavorare con l'equazioneModifica

Partendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:

 
 
 
  P non appartiene ad r

Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:

Retta per un puntoModifica

 
 
 
 
 
 

Questa formula è equivalente a quella classica,  , da cui deriva, ma in molte situazioni è più comoda da utilizzare.

Retta per due puntiModifica

Dati due punti   e  , per trovare l'equazione della retta corrispondente si può procedere nel seguente modo:

  1. Si trova m:  .
  2. Si sostituiscono nell'equazione le coordinate di uno dei due punti.
  3. Si ricava q dalla stessa equazione.

Distanza di un punto da una rettaModifica

Per "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.

Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:

 
Fig. 3

 
(Equazione in forma implicita)  
  (Retta perpendicolare)
 
           
 

 

Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione:
r in O:      
r in P:  
 

 


Fasci di retteModifica

Un fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.

Come già visto, il fascio per un punto   è ottenibile con la formula  , ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici. Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.

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