Matematica per le superiori/La retta
Nella geometria analitica la retta è la rappresentazione grafica di un equazione a due incognite di primo grado.
Ricavare l'equazione
modificaTracciando una retta generica r su un piano cartesiano si prendono due punti P1(x1;y1) e P2(x2;y2) sulla retta noti e il punto P(x;y), intermedio, incognito. Si tracciano le proiezioni dei punti sugli assi, trovando H1, H e H2 sull'asse delle ascisse e K1, K e K2 su quello delle ordinate.
Secondo il teorema di Talete, valgono le equazioni:
e
Quindi, per proprietà simmetrica, si ottiene:
Riscrivendo l'equazione con le coordinate di P1, P e P2 si ottiene
Mettendo a denominatore comune l'equazione, svolgendo i calcoli e ponendo , e si ottiene l'equazione in forma implicita:
Il coefficiente angolare e l'intercetta
modificaSe si ricava la y da quell'equazione e si pone e si ottiene
dove m è detto coefficiente angolare (o pendenza) e q intercetta od ordinata all'origine.
- Il valore di q corrisponde all'ordinata del punto in cui la retta incontra l'asse delle ordinate, cioè quando x è uguale a 0; le rette passanti per l'origine di conseguenza hanno q uguale a 0 e la loro equazione generica è:
il che è anche logico: se, quando x=0 e annulla il monomio mx, non c'è nessun altro valore a far variare la y, allora anch'essa vale 0, e quindi P(0,0). - Da m dipende invece l'inclinazione della retta. Trascurando q una retta con m>0 riguarderebbe il 1° e il 3° quadrante, mentre con m<0 il 2° e il 4°. L'inclinazione è il rapporto tra la differenza delle y e la differenza delle x di due punti qualsiasi su una retta:
Con m = 0 la retta corrispondente sarà orizzontale, infatti:
Al contrario il coefficiente angolare di una retta verticale tenderà ad infinito:
L'equazione di una tale retta cambia pertanto struttura e diventa del tipo
dove il parametro k indica l'ascissa (costante) dei suoi infiniti punti.
Ad alcuni angoli particolari corrispondono determinati coefficienti angolari:
0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 135° | 150° | |
m |
Rette parallele e perpendicolari
modificaI coefficienti angolari delle rette il cui rapporto è definibile sono legati matematicamente.
Rette parallele
modificaIp.:
Ts.:
Dim:
I triangoli ABO e A'B'O sono simili, infatti:
- Gli angoli AOB e A'OB' sono uguali perché opposti al vertice.
- Gli angoli ABO e OB'A' sono uguali perché alterni interni.
- Gli angoli BAO e B'A'O sono uguali perché alterni interni.
siccome sono simili
e quindi:
cvd.
Rette perpendicolari
modificaIp.:
Ts.:
Dim:
I triangoli ABO e CDO sono simili.
Simmetrie
modifica- Simmetria rispetto all'asse y: m -> -m; q -> -q
- Simmetria rispetto all'asse x: m -> -m; q -> q
- Simmetria rispetto all'origine (composizione delle prime due): m -> m; q -> -q
Lavorare con l'equazione
modificaPartendo dall'equazione di una retta possiamo ottenere informazioni sui punti che la compongono e vice versa; ad esempio si può verificare che un punto appartenga alla retta inserendo una delle sue coordinate nell'equazione:
P non appartiene ad r
Lo stesso vale per il contrario: partendo da uno o due punti possiamo trovare l'equazione di un fascio o di una retta:
Retta per un punto
modifica
Questa formula è equivalente a quella classica, , da cui deriva, ma in molte situazioni è più comoda da utilizzare.
Retta per due punti
modificaDati due punti e , per trovare l'equazione della retta corrispondente si può procedere nel seguente modo:
- Si trova m: .
- Si sostituiscono nell'equazione le coordinate di uno dei due punti.
- Si ricava q dalla stessa equazione.
Distanza di un punto da una retta
modificaPer "distanza di un punto da una retta" (abbreviato in distanza punto-retta) si intende la lunghezza del segmento più breve che unisce il punto alla retta: quello ad essa perpendicolare.
Per calcolare tale misura si può utilizzare una formula la cui validità è provata dalla seguente dimostrazione:
(Equazione in forma implicita)
(Retta perpendicolare)
Naturalmente a questo punto la formula permette di calcolare solo la distanza dall'origine, ma è possibile estenderla operando una traslazione:
r in O:
r in P:
Fasci di rette
modificaUn fascio di rette è l'insieme delle infinite rette passanti per uno stesso punto P, detto sostegno del fascio.
Come già visto, il fascio per un punto è ottenibile con la formula , ma si può anche creare un fascio utilizzando la combinazione lineare a partire da due rette dette generatrici. Per trovare la retta del fascio passante per P naturalmente si impone il passaggio per P sostituendo nell'equazione del fascio le coordinate del punto in questione.