Matematica per le superiori/Probabilità

Indice del libro

La probabilitàModifica

Dato un qualsiasi esperimento casuale, i suoi possibili risultati costituiscono gli elementi di un insieme non vuoto, detto spazio campionario che indichiamo con  , e ciascun evento è un sottoinsieme di  , in pratica un evento è un insieme dei possibili risultati dell'esperimento casuale, ed un risultato dell'esperimento, è un evento elementare. La probabilità è nella sostanza una misura, cioè una funzione che indichiamo con   che associa a ciascun sottoinsieme di eventi un numero reale non negativo tale che la somma delle probabilità di tutti gli eventi sia pari a  .

In merito agli eventi possiamo dire che:

- lo spazio campionario   si verifica ad ogni prova e viene detto quindi evento certo
-   chiamato insieme vuoto, non si verifica mai e viene quindi detto evento impossibile
- l'evento   si verifica se si verificano   o entrambi.
- l'evento   si verifica se e solo se si verificano sia   che  
- se   si verifica e   allora anche   si verifica.

Definiamo classe degli eventi   l'insieme di tutti gli eventi. Tutte le operazioni fatte fra eventi danno come risultato ancora un evento quindi   è un campo, o algebra. E poiché sono possibili anche infinite unioni e intersezioni di sequenze infinite di eventi il cui risultato è ancora un evento, allora la classe   è una  -algebra.

Se noi ad esempio consideriamo l'esperimento aleatorio consistente nel lancio di un dado, i possibili risultati saranno i numeri riportati sulle sei facce del dado e tutti insieme costituiranno un insieme non vuoto  , in questo esempio i possibili risultati sono anche gli eventi e la somma delle probabilità dei singoli eventi sarà pari ad uno. Se noi ripetiamo un esperimento per un numero   di volte ed indichiamo con   il numero di volte per cui si verifica l'evento  , possiamo definire:

 

come la frequenza relativa di   su   prove. Tale frequenza è una funzione reale definita come:

 

che gode delle seguenti proprietà:

  1.  
  2.  
  3. se   sono mutuamente esclusivi   allora  

Dalla definizione di frequenza relativa possiamo quindi passare alla definizione assiomatica della probabilità.

  1.  
  2.  
  3. se   sono mutuamente esclusivi (  se  ) allora  

Vediamo come applicare quanto visto fino ad ora all'esempio del lancio del dado, indichiamo con:   la probabilità che si verifichi l'evento uscita della faccia   del dado e come funzione   di probabilità quella che assegna uguale probabilità ad ogni evento. Applicando quindi gli assiomi della definizione assiomatica della probabilità si ricava che:

 

da cui si desume che  

Nella sostanza, negli spazi finiti o negli spazi di infiniti numerabili è sufficiente determinare la probabilità degli eventi elementari. Il valore della probabilità di qualsiasi altro evento lo si ricava dalla somma delle probabilità degli eventi elementari.

Conseguenze elementari degli assiomiModifica

(1)

 
da cui desumiamo che
  difatti   per cui  

(2)

se   e   sono due eventi
 
considerato che   allora  

(3)

Se   e   sono due eventi con   allora  

Spazi campione uniformiModifica

Gli spazi campione uniformi, sono quegli spazi per cui la probabilità dei singoli eventi è uniforme, ossia sono equiprobabili.

Se   e  

Dato che   questo vuol dire che   quindi  

Probabilità di un evento in spazi uniformiModifica

Negli spazi uniformi si può definire la probabilità come:

sia   un evento formato da   punti di  

allora  

Ad esempio, in un dado sono presenti 6 facce, numerabili da 1 a 6

se   allora  

Probabilità condizionataModifica

Dato un evento  , con probabilità maggiore di zero   per ogni evento   definiamo probabilità condizionata:

 

a cui possiamo dare la seguente interpretazione in frequenza relativa.

Effettuate   prove e posti   come il numero di occorrenze degli eventi  

Approssimati

 

 

 

otteniamo che:

 

Il cui significato è che la probabilità condizionata è uguale alla frequenza relativa dell'evento   considerata solo nella sequenza di prove in cui l'evento   si è verificato.

AppendiceModifica

Teoria degli insiemiModifica

Il diagramma di VennModifica

Il diagramma di Venn (nome completo diagramma di Eulero-Venn) è una rappresentazione grafica che ha lo scopo di illustrare le operazioni fra insiemi. Consiste in una linea chiusa racchiudente una superficie di forma qualsiasi al cui interno possono sussistere singoli elementi consistenti anche in altri diagrammi di Venn. Questi ultimi possono a loro volta sovrapporsi al fine di racchiudere elementi comuni.

 

AppartenenzaModifica

Sia   un elemento e   un insieme, la notazione   ha come significato che   appartiene ad   ossia ne è un suo elemento.

Per contro la notazione   ha come significato che   non appartiene ad   ossia non ne è un suo elemento.

Inclusione ed uguaglianzaModifica

  ha come significato che ogni elemento di   è anche un elemento di  , in pratica   è un sottoinsieme di  .

 

Gli insiemi   e   sono uguali se e solo se ogni elemento dell'insieme   è un elemento dell'insieme   e viceversa.

Ossia deve essere contemporaneamente verificato che:

 

 

Unione ed intersezioneModifica

Definiamo l'unione di due insiemi   oppure   l'insieme i cui elementi appartengono ad   a   o a entrambi.

Definiamo intersezione di due insiemi   oppure   l'insieme i cui elementi appartengono sia ad   che a  .

  e   sono disgiunti se  

Nella notazione corrente è usuale adoperare anche   al posto di   e   al posto di  

 

Unione e intersezione godono delle seguenti proprietà:

Commutativa

 
 

Associativa

 
 

Distributiva

 
 

ComplementoModifica

Dato   definiamo complemento di   rispetto ad   e lo indichiamo con  , l'insieme composto da tutti gli elementi di   che non fanno parte di  .

Per il complemento valgono le seguenti proprietà:

 
 
 

PartizioneModifica

Una partizione di un insieme  , che non sia  , una classe di sottoinsiemi diversi da  , finita o infinita numerabile, che ricopra per intero   senza che vi siano sovrapposizioni.

Deve verificarsi nella sostanza che:

 
 

 

Leggi di De MorganModifica

 
 

Calcolo combinatorioModifica

Disposizioni sempliciModifica

Per disposizione semplice di lunghezza   di elementi di un insieme   di   oggetti, con  , si intende una presentazione ordinata di  ' elementi di   nella quale non ci possono essere ripetizioni di uno stesso oggetto.

 

Ad esempio le disposizioni semplici di lunghezza   degli elementi dell'insieme   sono  

e sono  

PermutazioniModifica

se   le disposizioni semplici si chiameranno permutazioni

 

Ad esempio le permutazioni di lunghezza   elementi dell'insieme   sono  

e sono  

Disposizioni con ripetizioneModifica

Una disposizione con ripetizioni di   oggetti distinguibili è il numero di possibili sequenze ordinate differenti di  oggetti.

 

Ad esempio le disposizioni con ripetizione di lunghezza   degli elementi di   sono  

 

Dove può essere anche  .

Combinazioni sempliciModifica

Una combinazione semplice è una disposizione di elementi che contengono senza ripetizioni gli stessi oggetti presi a gruppi ma in posizioni differenti.

 

Ad esempio le combinazioni semplici di lunghezza 4 degli elementi di {1,2,3,4,5,6} sono 6!/(4!2!) = 15: 1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 2456, 3456.