Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado

Indice del libro

Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma

Queste possono essere di tre tipi:

  • pure (quando , quindi del tipo )
  • spurie (quando , quindi del tipo )
  • complete ()

Equazioni di secondo grado pure

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Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

 , dove quindi scompare il termine di primo grado   (quando cioè si ha che  ).

Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure

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L'equazione diventa quindi:  .

Abbiamo due casi:

  • a e c sono discordi (hanno segno diversi)
  • a e c sono concordi (hanno lo stesso segno)

Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a  , quindi  .

Se   e   sono concordi invece si ha che   è un numero positivo e quindi il suo opposto,  , è negativo. Si ottiene quindi:  <numero_negativo>, ma questa equazione non ha soluzione (in  ) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo. Quindi se   è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.

 

 

 

 

Equazioni di secondo grado spurie

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Si dicono spurie le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma  

Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie

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L'equazione si può ricondurre alla forma  .

Per la legge di annullamento del prodotto,

 
 
 

Le soluzioni sono quindi   e  

Esempio

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  e  

Equazioni di secondo grado complete

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Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

 

Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete

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Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:

  con   e  

Moltiplichiamo entrambi i membri per  :

 

Aggiungiamo quindi   a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:

 

Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:

 

Il secondo membro di questa equazione è chiamato discriminante, in quanto discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca   (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:

  •  
L'equazione non ha soluzioni in  , in quanto la quantità   è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.
  •  
In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:
 
 
 
 
L'equazione ha quindi due soluzioni, una   e una  .
  •  
L'equazione diventa quindi  , cioè  ; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto,  .

Esempio

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Calcoliamo il discriminante:

 

A questo punto risolviamo, con  :

 

 

 

Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado

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Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione:


 

 

Applicazioni

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Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:

 

Dividiamo entrambi i membri per a:

 

Possiamo sostituire quindi   e  :

 

Cioè:  

Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto:  

 

 

 

Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.

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