Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado

Indice del libro

Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma

Queste possono essere di tre tipi:

  • pure (quando , quindi del tipo )
  • spurie (quando , quindi del tipo )
  • complete ()

Equazioni di secondo grado pureModifica

Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

 , dove quindi scompare il termine di primo grado   (quando cioè si ha che  ).

Risoluzione delle equazioni di secondo grado pureModifica

L'equazione diventa quindi:  .

Abbiamo due casi:

  • a e c sono discordi (hanno segno diversi)
  • a e c sono concordi (hanno lo stesso segno)

Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a  , quindi  .

Se   e   sono concordi invece si ha che   è un numero positivo e quindi il suo opposto,  , è negativo. Si ottiene quindi:  <numero_negativo>, ma questa equazione non ha soluzione (in  ) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo. Quindi se   è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.

EsempiModifica

 

 

 

 

Equazioni di secondo grado spurieModifica

Si dicono spurie le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma  

Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurieModifica

L'equazione si può ricondurre alla forma  .

Per la legge di annullamento del prodotto,

 
 
 

Le soluzioni sono quindi   e  

EsempioModifica

 

  e  

Equazioni di secondo grado completeModifica

Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma

 

Risoluzione delle equazioni di secondo grado completeModifica

Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:

  con   e  

Moltiplichiamo entrambi i membri per  :

 

Aggiungiamo quindi   a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:

 

Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:

 

Il secondo membro di questa equazione è chiamato discriminante, in quanto discrimina, differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca   (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:

  •  
L'equazione non ha soluzioni in  , in quanto la quantità   è sempre positiva o nulla, essendo elevata al quadrato.
  •  
In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:
 
 
 
 
L'equazione ha quindi due soluzioni, una   e una  .
  •  
L'equazione diventa quindi  , cioè  ; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto,  .

EsempioModifica

 

Calcoliamo il discriminante:

 

A questo punto risolviamo, con  :

 

 

 

Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo gradoModifica

Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione:


 

 

ApplicazioniModifica

Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:

 

Dividiamo entrambi i membri per a:

 

Possiamo sostituire quindi   e  :

 

Cioè:  

Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto:  

 

 

 

Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.

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