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Si dicono equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita quelle riconducibili alla forma
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
Queste possono essere di tre tipi:
pure (quando
b
=
0
{\displaystyle b=0}
a
x
2
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+c=0\,}
spurie (quando
c
=
0
{\displaystyle c=0}
a
x
2
+
b
x
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx=0\,}
complete (
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
Equazioni di secondo grado pure
modifica
Si dicono pure le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma
a
x
2
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+c=0\,}
b
x
{\displaystyle bx\,}
b
=
0
{\displaystyle b=0\,}
Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure
modifica
L'equazione diventa quindi:
x
2
=
−
c
a
{\displaystyle x^{2}=-{c \over a}}
Abbiamo due casi:
a e c sono discordi (hanno segno diversi)
a e c sono concordi (hanno lo stesso segno) Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a
−
c
a
{\displaystyle -{c \over a}}
x
1
,
2
=
∓
−
c
a
{\displaystyle x_{1,2}=\mp {\sqrt {-{c \over a}}}}
Se
a
{\displaystyle a\,}
c
{\displaystyle c\,}
c
a
{\displaystyle {c \over a}}
−
c
a
{\displaystyle -{c \over a}}
x
2
=
{\displaystyle x^{2}=\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
−
c
a
{\displaystyle -{c \over a}}
2
x
2
−
5
=
0
{\displaystyle 2x^{2}-5=0\,}
x
1
,
2
=
±
5
2
{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {5 \over 2}}}
4
x
2
−
3
=
0
{\displaystyle 4x^{2}-3=0\,}
x
1
,
2
=
±
3
2
{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Equazioni di secondo grado spurie
modifica
Equazioni di secondo grado complete
modifica
Si dicono complete le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
modifica
Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
a
≠
0
,
b
≠
0
,
c
≠
0
{\displaystyle a\not =0,b\not =0,c\not =0}
Moltiplichiamo entrambi i membri per
4
a
{\displaystyle 4a\,}
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
4
a
c
=
0
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}
Aggiungiamo quindi
b
2
{\displaystyle b^{2}\,}
4
a
2
x
2
+
4
a
b
x
+
b
2
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}
Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:
(
2
a
x
+
b
)
2
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}
Il secondo membro di questa equazione è chiamato discriminante , in quanto discrimina , differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
L'equazione non ha soluzioni in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
2
a
x
+
b
)
2
{\displaystyle (2ax+b)^{2}}
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:
(
2
a
x
+
b
)
2
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}
2
a
x
+
b
=
±
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}
2
a
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
L'equazione ha quindi due soluzioni, una
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
L'equazione diventa quindi
(
2
a
x
+
b
)
2
=
0
{\displaystyle (2ax+b)^{2}=0\,}
(
2
a
x
+
b
)
(
2
a
x
+
b
)
=
0
{\displaystyle (2ax+b)(2ax+b)=0\,}
x
1
,
2
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{1,2}=-{b \over 2a}}
x
2
+
3
x
−
10
=
0
{\displaystyle x^{2}+3x-10=0\,}
Calcoliamo il discriminante:
Δ
=
3
2
−
(
−
40
)
=
9
+
40
=
49
{\displaystyle \Delta =3^{2}-(-40)=9+40=49\,}
A questo punto risolviamo, con
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
x
1
,
2
=
−
3
±
49
2
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {49}}}{2}}}
x
1
=
−
3
+
7
2
=
4
2
=
2
{\displaystyle x_{1}={\frac {-3+7}{2}}={\frac {4}{2}}=2}
x
2
=
−
3
−
7
2
=
−
10
2
=
−
5
{\displaystyle x_{2}={\frac {-3-7}{2}}={\frac {-10}{2}}=-5}
modifica
Sussistono particolari relazioni tra le due soluzioni di un'equazione:
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
+
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
2
b
2
a
=
−
b
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}}
x
1
⋅
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
⋅
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
(
−
b
)
2
−
(
b
2
−
4
a
c
)
2
4
a
2
=
b
2
−
b
2
+
4
a
c
4
a
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {(-b)^{2}-({\sqrt {b^{2}-4ac}})^{2}}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}}
Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
Dividiamo entrambi i membri per a:
a
a
x
2
+
b
a
x
+
c
a
=
0
{\displaystyle {\frac {a}{a}}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0}
Possiamo sostituire quindi
−
b
a
{\displaystyle -{\frac {b}{a}}}
c
a
{\displaystyle {\frac {c}{a}}}
x
2
−
(
−
b
a
x
)
+
c
a
=
0
{\displaystyle x^{2}-\left(-{\frac {b}{a}}x\right)+{\frac {c}{a}}=0}
Cioè:
x
2
−
(
x
1
+
x
2
)
x
+
(
x
1
⋅
x
2
)
=
0
{\displaystyle x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+(x_{1}\cdot x_{2})=0}
Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto:
s
=
5
{\displaystyle s=5\,}
p
=
6
{\displaystyle p=6\,}
x
2
−
s
x
+
p
=
0
{\displaystyle x^{2}-sx+p=0\,}
Δ
=
s
2
−
4
p
{\displaystyle \Delta =s^{2}-4p\,}
Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.
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