Matematica per le superiori/Radicali

La potenza, non essendo un'operazione commutativa, ha due operazioni inverse:

• operazione diretta $b^{e}=x\,$,
• prima operazione inversa, per calcolare la base: $x^{e}=p\,\;\Rightarrow \;x={\sqrt[{e}]{p}}$,
• seconda operazione inversa per calcolare l'esponente: $b^{x}=p\,\;\Rightarrow \;x=\log _{b}{p}$,

In questo modulo si tratterà della prima di queste due operazioni: la radice.

L'estrazione di radice, non è un'operazione interna nell'insieme dei numeri razionali. Per poter calcolare le radici dei numeri positivi si deve ampliare l'insieme dei numeri razionali con i numeri irrazionali ottenendo così i numeri reali.

Ma per ottenere un insieme chiuso rispetto all'operazione di radice anche i numeri reali non bastano, si devono inventare dei nuovi numeri, i numeri complessi.

Definizioni e proprietà

La radice quadrata di un numero reale positivo o nullo, è quel numero, positivo o nullo, che, elevato al quadrato, dà come risultato il numero dato.

La radice quadrata si indica con il simbolo: ${\sqrt {}}$

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In generale si definisce radice n-esima di un numero reale, quel numero che elevato alla n da come risultato il numero dato.

In simboli:
Se $a^{n}=b$, dalla definizione di prima otteniamo:
${\sqrt[{n}]{b}}=a$

L'unica proprietà che hanno i radicali è la proprietà invariantiva, che però richiede una dimostrazione. Definizione

Teorema: Il valore di un radicale in non cambia se si moltiplicano l'indice del radicale e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale positivo.

Cioè: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{np}]{a^{mp}}}$

Bisogna dimostrare questa data proprietà:

Eleviamo alla np il primo membro: $({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{np}=[({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{n}]^{p}=(a^{m})^{p}=a^{mp}$

Eleviamo ora il secondo membro alla np: $({\sqrt[{np}]{a^{mp}}})^{np}=a^{mp}$

Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si deduce che è
$({\sqrt[{n}]{a^{m}}})^{np}=({\sqrt[{np}]{a^{mp}}})^{np}$

da cui, si ottiene l'uguaglianza delle basi positive di tali potenze aventi lo stesso esponente np e si ha:

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{np}]{a^{mp}}}$

Campo di esistenza

Prima di tutto c'è da apprendere questo concetto: in R i radicali con indice pari esistono se e solo se il radicando è maggiore o uguale a 0, mentre i radicali con indice dispari esistono sia quando il radicando è positivo sia quando è negativo sia quando è nullo.

Le condizioni di esistenza dei radicali, o campo di esistenza, (abbreviato si indica con C.E.) sono l’insieme dei valori (numeri) da attribuire alle variabili (ossia le lettere) del radicando, affinché il radicale esista (o abbia significato).

Proprio perché dal C.E. dipende l’esistenza o meno dei radicali, la ricerca del C.E. si fa sempre e subito, cioè all’inizio di ogni tipo di esercizio con i radicali. In un esercizio di ricerca del C.E. dei radicali, non si può fare nessun tipo di operazione nel testo poiché non sappiamo se tale radicale esiste o no.

Ma ora passiamo alle cose più importanti: come si calcola il C.E. di un radicale algebrico?

Per poter fare il C.E. di un radicale algebrico è necessario aver studiato le disequazioni. Infatti nei radicali con indice pari il C.E. è formato da tutti i numeri che rendono positivo o nullo, ossia non negativo (≥0), il radicando. In tal caso il C.E. corrisponde alla soluzione della disequazione: radicando ≥0; ossia deve risolvere una disequazione. Ben diverso, e anche più semplice, è il caso in cui i radicali hanno l’indice dispari, perché il radicando può essere positivo, negativo o nullo, e quindi non si deve risolvere una disequazione; il C.E. è tutto R, tranne nel caso in cui i radicandi sono frazionari perché dobbiamo togliere dal C.E. i valori che annullano i denominatori.

Potenze a esponente razionale

A noi è già nota la definizione di potenza che ha per esponente un numero naturale. Adesso proveremo a dare una definizione a una potenza con esponente frazionario.

Come visto prima possiamo applicare la proprietà invariantiva dei radicali: moltiplicando o dividendo il radicando e l'indice della radice per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un radicale equivalente a quello dato.

Grazie a questa proprietà, avendo un radicale di indice n e un radicando elevato a m, possiamo dividere per n: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{\frac {n}{n}}]{a^{\frac {m}{n}}}}$;
adesso il segno di radice si semplifica, dando come risultato: $a^{\frac {m}{n}}$

Definizione

Osservazione importante: La potenza ad esponente razionale è definita se e solo se la base è positiva o nulla (radicando ≥ 0); non si può applicare la stessa cosa a radicandi negativi.

Trasporto di un fattore sotto il segno di radice

Può essere utile trasoportare un fattore sotto il segno di radice. Ciò è possibile se e solo se il fattore è maggiore o uguale a zero.

Consideriamo l'espressione:
$a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}}}{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}$

Quindi si ha: $a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}$ (se e solo se a ≥ 0 ∧ b ≥ 0)

Nel caso in cui il fattore sia negativo è possibile trasportare il suo valore assoluto sotto il segno di radice e lasciare fuori il meno.
Un esempio può essere:

$-2{\sqrt[{n}]{b}}=-{\sqrt[{n}]{2^{n}b}}$

In generale si può scrivere:
$sea<0$
$a{\sqrt[{n}]{b}}=-(-a){\sqrt[{n}]{b}}=-{\sqrt[{n}]{(-a)^{n}b}}$.

Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

L'uguaglianza scritta sopra, se letta al contrario diventa:
${\sqrt[{n}]{a^{n}b}}=a{\sqrt[{n}]{b}}$

Ciò ci permette di trasportare fuori dal segno di radice radicandi con esponente uguale all'indice del radicale. Analizziamo adesso la situazione nel caso in cui l'esponente del radicando non è uguale all'indice del radicale. Si dimostra cioè che:
${\sqrt[{n}]{a^{nq}b}}=a^{q}{\sqrt[{n}]{b}}$

Dimostrazione: ${\sqrt[{n}]{a^{nq}b}}={\sqrt[{n}]{a^{nq}}}{\sqrt[{n}]{b}}=a^{q}{\sqrt[{n}]{b}}$

Per generalizzare, posto q il quoziente tra l'esponente del radicando e l'indice del radicale e r il suo resto si ottiene: ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{q}{\sqrt[{n}]{a^{r}}}$

Esempio: ${\sqrt[{}]{125}}={\sqrt[{}]{5^{3}}}=5\cdot {\sqrt[{}]{5}}$

Prodotto e quoziente di radici

Il prodotto di radicali aventi lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il prodotto dei radicandi. Se i radicali non hanno lo stesso indice, prima si riducono allo stesso indice, poi si applica la regola detta sopra.

Il quoziente di radicali aventi lo stesso indice è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando il quoziente dei radicandi. Se i radicali non hanno lo stesso indice, prima si riducono allo stesso indice, poi si applica la regola precedente.

Razionalizzazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione vuol dire trasformarla in una equivalente, che non abbia radicali al denominatore. Per razionalizzare il denominatore, si applica la proprietà invariantiva, moltiplicando il numeratore e il denominatore per un opportuno fattore, detto fattore razionalizzante, che al denominatore dia una quantità priva di radici.

Si possono presentare 5 casi, che ora andremo ad analizzare.

1° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta solo un fattore radicale quadratico: ${\frac {A}{\sqrt[{}]{B}}}$
Per razionalizzare si moltiplicano i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è ${\sqrt[{}]{B}}$.

${\frac {A}{\sqrt[{}]{B}}}={\frac {A\cdot {\sqrt[{}]{B}}}{{\sqrt[{}]{B}}\cdot {\sqrt[{}]{B}}}}={\frac {A\cdot {\sqrt[{}]{B}}}{({\sqrt[{}]{B}})^{2}}}={\frac {A\cdot {\sqrt[{}]{B}}}{B}}$

2° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta solo un fattore radicale non quadratico: ${\frac {A}{\sqrt[{n}]{B^{m}}}}$ e $m<n.$
Per razionalizzare si moltiplicano i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è ${\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}$.

${\frac {A}{\sqrt[{n}]{B^{m}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{{\sqrt[{n}]{B^{m}}}{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{B^{m+n-m}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{B^{n}}}}={\frac {A{\sqrt[{n}]{B^{n-m}}}}{B}}$

3° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma o la differenza tra due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico: ${\frac {A}{{\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}}}}$ (N.B. in questo esempio c'è la somma di due radicali, ma potrebbe esserci anche la somma (o differenza) tra un radicale quadratico e un numero intero o un numero razionale.)
Per razionalizzare si moltiplicano entrambi i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è la differenza se compare la somma al denominatore, oppure la somma se compare la differenza al denominatore.

Somma: ${\frac {A}{{\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}-{\sqrt[{}]{C}})}{({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})({\sqrt[{}]{B}}-{\sqrt[{}]{C}})}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}-{\sqrt[{}]{C}})}{({\sqrt[{}]{B}})^{2}-({\sqrt[{}]{C}})^{2}}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}-{\sqrt[{}]{C}})}{B-C}}$

Differenza: ${\frac {A}{{\sqrt[{}]{B}}-{\sqrt[{}]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})}{({\sqrt[{}]{B}}-{\sqrt[{}]{C}})({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})}{({\sqrt[{}]{B}})^{2}-({\sqrt[{}]{C}})^{2}}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})}{B-C}}$

4° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma algebrica di tre o più termini, dei quali almeno due sono radicali quadratici: ${\frac {A}{{\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}}-{\sqrt[{}]{D}}}}$
Per razionalizzare si riconduce al caso precedente. Vediamo come.

${\frac {A}{{\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}}-{\sqrt[{}]{D}}}}={\frac {A}{({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})-{\sqrt[{}]{D}}}}={\frac {A[({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})+{\sqrt[{}]{D}}]}{[({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})-{\sqrt[{}]{D}}][({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})+{\sqrt[{}]{D}}]}}={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}}+{\sqrt[{}]{D}})}{({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}})^{2}-({\sqrt[{}]{D}})^{2}}}=$
$={\frac {A({\sqrt[{}]{B}}+{\sqrt[{}]{C}}+{\sqrt[{}]{D}})}{B+2{\sqrt[{}]{BC}}+C-D}}$ e da questo punto si continua come nel caso precedente.

5° caso: Razionalizzazione del denominatore di una frazione che presenta la somma o la differenza tra due termini, dei quali almeno uno è un radicale cubico: ${\frac {A}{{\sqrt[{3}]{B}}+{\sqrt[{3}]{C}}}}$ (N.B. in questo esempio c'è la somma di due radicali, ma potrebbe esserci anche la somma (o differenza) tra un radicale quadratico e un numero intero o un numero razionale.)
Per razionalizzare si moltiplicano entrambi i termini della frazione per il fattore razionalizzante che è il falso quadrato del denominatore (con prodotto semplice con il segno + se compare la differenza, con il prodotto semplice - se compare la differenza).

Somma: ${\frac {A}{{\sqrt[{3}]{B}}+{\sqrt[{3}]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}}+{\sqrt[{3}]{C}})({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}})^{3}+({\sqrt[{3}]{C}})^{3}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}-{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{B+C}}$

Differenza: ${\frac {A}{{\sqrt[{3}]{B}}-{\sqrt[{3}]{C}}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}}-{\sqrt[{3}]{C}})({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{({\sqrt[{3}]{B}})^{3}-({\sqrt[{3}]{C}})^{3}}}={\frac {A({\sqrt[{3}]{B^{2}}}+{\sqrt[{3}]{BC}}+{\sqrt[{3}]{C^{2}}})}{B-C}}$