Matematica per le superiori/L'ellisse

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L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Equazione genericaModifica

 
Fig. 1

L'equazione generica dell'ellisse può essere dedotta dal suo significato geometrico:
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponendo:

 

si ha:  

 

 


È quindi possibile operare una traslazione per spostare il centro dall'origine:

 
 
Fig. 2
  • Nel grafico il valore di a corrisponde a metà dell'estensione orizzontale dell'ellisse, mentre il valore di b a metà di quella verticale.
  • c può essere ricavato dall'equazione  .

 .

  • Un altro valore chiamato eccentricità indica quanto l'ellisse è allungata.

Se i fuochi sono sull'asse x allora  .

Se invece i fuochi sono sull'asse y allora  .


Completamento del quadratoModifica

A volte capita che l'equazione si trovi espressa in forma implicita, come nel caso seguente:
 
Bisogna allora ricostruire i quadrati aggiungendo i termini mancanti:
 
Occorre prestare attenzione a portare fuori dalle parentesi eventuali coefficienti di x e y, che determinano il valore di a e b, e quindi dividere il tutto per il valore a destra.

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