Matematica per le superiori/La circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. PC= r

Equazione generica

$PC={\sqrt {(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}}}$ ${\sqrt {(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}}}=r$ $(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}\!$

L'equazione generica di una circonferenza è un'applicazione della distanza fra due punti in cui una distanza ($r$) ed un punto ($C(x_{c};y_{c})$) rimangono costanti.

Spesso tuttavia l'equazione si trova in forma implicita (con i calcoli sviluppati):

$x^{2}-2x_{c}x+x_{c}^{2}+y^{2}-2yy_{c}+y_{c}^{2}-r^{2}=0$

$x^{2}+y^{2}-2x_{c}x-2y_{c}y+x_{c}^{2}+y_{c}^{2}-r^{2}=0$

È comunque possibile ricostruire i dati fondamentali di una circonferenza (centro e raggio) anche a partire dalla forma implicita:

$a=-2x_{c}\quad \rightarrow \quad x_{c}=-{\frac {a}{2}}$

$b=-2y_{c}\quad \rightarrow \quad y_{c}=-{\frac {b}{2}}$
$\rightarrow C(-{\frac {a}{2}};-{\frac {b}{2}})$ $c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}-r^{2}\quad \rightarrow \quad r={\sqrt {x_{c}^{2}+y_{c}^{2}-c}}$ $\rightarrow \quad r={\sqrt {(-{\frac {a}{2}})^{2}+(-{\frac {b}{2}})^{2}-c}}$

Circonferenza per tre punti

Per tre punti qualsiasi passa una ed una sola circonferenza. Per definirla e trovarne l'equazione si può procedere per via geometrica o algebrica:

• Metodo algebrico: si mettono a sistema tre equazioni generiche di circonferenze sostituendo in ciascuna equazione le coordinate di uno dei tre punti e si risolve tale sistema.

• Metodo geometrico: si ricostruisce l'equazione a partire dal centro, intersezione degli assi dei due segmenti formati dai tre punti, e dal raggio, distanza di uno dei tre punti dal centro.

Rette tangenti alla circonferenza

Una tangente è una retta che incrocia la curva in un punto solo. La si può trovare partendo da un punto della retta esterno o appartenente alla circonferenza (da un punto interno non possono passare tangenti).

Rimane valido il metodo di mettere a sistema la circonferenza e il fascio per P imponendo che il delta sia uguale a 0, ma in entrambi i casi è preferibile utilizzare metodi alternativi e più veloci:

• Punto esterno alla circonferenza, due tangenti: Si applica la formula della distanza punto-retta considerando come punto il centro della circonferenza e come retta il fascio per P.
• Punto appartenente alla circonferenza, una tangente: Si trova la perpendicolare al raggio CP passante per P.

Fasci di circonferenze

Come per le rette, per creare una fascio di circonferenze si parte da due generatrici $\gamma _{1}$ e $\gamma _{2}$. Per le loro due intersezioni passano le infinite circonferenze che costituiscono il fascio.

Esercizi. Torna al sommario