Matematica per le superiori/I polinomi

Definizioni

Polinomio

Definizione

Si dice polinomio ogni somma algebrica di uno o più monomi.

$x^{2}+axb^{4}+2x^{2}+7z$

Può essere inteso quindi anche come la somma di monomi non simili.

Polinomio ridotto

Definizione

Un polinomio costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa, viene detto polinomio ridotto.

Esempio

Il polinomio $ax+b^{2}+yz^{4}$ è un polinomio ridotto, perché è costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa.

Nomenclatura

Alcuni polinomi hanno una nomenclatura particolare: Definizione

Si chiama binomio un polinomio costituito da due monomi

Esistono quindi ad esempio anche trinomi, quadrinomi ecc... (solitamente oltre i quadrinomi non ha più senso utilizzare con nomi specifici).

Grado

Definizione

Si dice grado di un polinomio il massimo grado di tutti i suoi termini (monomi).

Esempio Il grado del polinomio $x^{4}+ax^{2}+bx^{3}+a+x$ è 4, poiché i gradi dei suoi termini sono:

• $x^{4}$: 4;
• $ax^{2}$: 3;
• $bx^{3}$: 4;
• $a$: 1;
• $x$: 1;

e il massimo tra questi è 4.

Operazioni tra polinomi

Addizione

Per sommare due o più polinomi è sufficiente riscriverli effettuando i dovuti cambiamenti di segno che sono necessari. Ad esempio:

$(4a+12b+7c)-(21x-12xy)=4a+12b+7c-21x+12xy$

Nel caso la somma risultasse un polinomio non ridotto, basterà ridurlo.

Moltiplicazione

Per moltiplicare tra loro due polinomi è necessario fare ricorso alla proprietà distributiva. Partiamo dal caso più semplice, la moltiplicazione di un monomio con un binomio:

Il procedimento è quindi lo stesso andando avanti. Quando i polinomi sono costituiti da molti monomi, la cosa più comodo è moltiplicare il primo monomio del primo fattore con i monomi del secondo, e così via in ordine fino all'ultimo.

Esempio

$\left(a+b+c\right)\left(d+e\right)=ad+ae+db+be+cd+ce$

Riduzione delle variabili

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

$\quad p=x^{2}+y+2$

può essere considerato anche come polinomio in x soltanto, dando a y il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in y soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio p ha grado 2 rispetto a x, e solo 1 rispetto a y. Ad esempio, il polinomio

$\quad x^{2}y^{3}+z^{4}$

è di grado 5, ma se visto soltanto nelle singole variabili x, y e z ha grado rispettivamente 2, 3 e 4.

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