Matematica per le superiori/I polinomi

Indice del libro

Definizioni

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Polinomio

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  Definizione

Si dice polinomio ogni somma algebrica di uno o più monomi.

 

Può essere inteso quindi anche come la somma di monomi non simili.

Polinomio ridotto

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  Definizione

Un polinomio costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa, viene detto polinomio ridotto.

Esempio

Il polinomio   è un polinomio ridotto, perché è costituito da monomi che hanno tutti parte letterale diversa.

Nomenclatura

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Alcuni polinomi hanno una nomenclatura particolare:   Definizione

Si chiama binomio un polinomio costituito da due monomi

Esistono quindi ad esempio anche trinomi, quadrinomi ecc... (solitamente oltre i quadrinomi non ha più senso utilizzare con nomi specifici).

  Definizione

Si dice grado di un polinomio il massimo grado di tutti i suoi termini (monomi).

Esempio Il grado del polinomio   è 4, poiché i gradi dei suoi termini sono:

  •  : 4;
  •  : 3;
  •  : 4;
  •  : 1;
  •  : 1;

e il massimo tra questi è 4.

Operazioni tra polinomi

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Addizione

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Per sommare due o più polinomi è sufficiente riscriverli effettuando i dovuti cambiamenti di segno che sono necessari. Ad esempio:

 

Nel caso la somma risultasse un polinomio non ridotto, basterà ridurlo.

Moltiplicazione

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Per moltiplicare tra loro due polinomi è necessario fare ricorso alla proprietà distributiva. Partiamo dal caso più semplice, la moltiplicazione di un monomio con un binomio:

Il procedimento è quindi lo stesso andando avanti. Quando i polinomi sono costituiti da molti monomi, la cosa più comodo è moltiplicare il primo monomio del primo fattore con i monomi del secondo, e così via in ordine fino all'ultimo.

Esempio

 

Riduzione delle variabili

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In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

 

può essere considerato anche come polinomio in x soltanto, dando a y il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in y soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio p ha grado 2 rispetto a x, e solo 1 rispetto a y. Ad esempio, il polinomio

 

è di grado 5, ma se visto soltanto nelle singole variabili x, y e z ha grado rispettivamente 2, 3 e 4.

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