Matematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche

Un insieme è una raccolta di elementi anche non uniformi.

Un insieme è indicato con una lettera, i suoi elementi (o icriteri per stabilirli) si trovano invece espressi in parentesi graffe separati da virgole; se invece è definito un criterio con cui selezionare i membri, la virgola significa "tale che":

$A=\{1,2,3\}$
L'insieme A è formato dai numeri 1, 2 e 3

$B=\{x\in N,x<10\}$
L'insieme $B$ è formato dai numeri naturali inferiori di 10 (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Gli insiemi numerici hanno diverse proprietà:

• La numerabilità di un insieme è data dalla possibilità di assegnare un posto ad ogni elemento dell'insieme.
• Quando è formato da punti isolati, l'insieme si dice discreto, viceversa, quando è impossibile stabilire l'elemento successivo l'insieme si dice denso.

Sottoinsiemi

Un sottoinsieme è un insieme formato da elementi tutti appartenenti ad un altro insieme più vasto.

L'esistenza di un sottoinsieme $S$ in un insieme $A$ implica l'eseisteza di:

• Il 'sottoinsieme complementare' di $S$, formato dagli elementi di $A$ non appartenenti a $S$.
• L'insieme delle parti P(A), formato da tutti i sottoinsiemi di $A$.
• L'insieme unione (U) (Se più di un sottoinsieme), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad almeno uno degli altri sottoinsiemi.
• L'insieme intersezione (Se più di un'intersezione), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad entrambi i sottoinsiemi.
• Il prodotto cartesiano (a·b), insieme delle coppie ordinate di $A$ e $S$.

Insiemi numerici fondamentali

Gli insiemi numerici fondamentali sono insiemi aventi le seguenti caratteristiche:

• Sono infiniti
• Sono rappresentabili su una retta
• È possibile definirvi addizione e moltiplicazione e stabilire delle proprietà

Essi sono

• L'insieme N dei numeri naturali, 'discreto'.
• L'insieme Z, 'discreto' ma senza un primo elemento.
• L'insieme Q dei numeri irrazionali, 'denso'.
• L'insieme R dei numeri reali, 'denso'.

Strutture algebriche

Le strutture algebriche sono particolari strutture che si ottengono associando almeno un'operazione ad un insieme.

Gruppi

Un'operazione $\cdot$ applicata ad un insieme $A$ può costituire un gruppo. Ciò avviene se:

1. · è chiuso in A
2. Vale la proprietà associativa
3. Esiste un elemento neutro
4. Esiste un inverso di un elemento rispetto a ·.

Nel caso valga anche la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo, o abeliano

Campi

Per definire un campo sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un campo se:

• (A,·) è un gruppo
• (A,×) è un gruppo
• Vale la proprietà distributiva

Anelli

Per definire un anello sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un anello se:

• (A,·) è un gruppo commutativo
• (A,×) è un gruppo commutativo
• Vale la proprietà distributiva

Principio di induzione

Il principio di induzione è il quinto dei cinque assiomi di Peano, relativi all'insieme N dei numeri naturali:

1. 0 è un numero naturale
2. Ogni numero naturale ha un successivo
3. Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi
4. 0 non è il successivo di nessun numero naturale
5. Data una proprietà P, se essa si verifica per n=0 (o n=1) e, supposta vera per n, si dimostra vera per n+1 allora la proprietà è vera.

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