Matematica per le superiori/Teoria degli insiemi e strutture algebriche

Teoria   —   Esercizi


  1. Primo anno
  2. Secondo anno
  3. Terzo anno
  4. Quarto anno
  5. Quinto anno
  6. Extra

Un insieme è una raccolta di elementi anche non uniformi.

Un insieme è indicato con una lettera, i suoi elementi (o icriteri per stabilirli) si trovano invece espressi in parentesi graffe separati da virgole; se invece è definito un criterio con cui selezionare i membri, la virgola significa "tale che":


L'insieme A è formato dai numeri 1, 2 e 3


L'insieme è formato dai numeri naturali inferiori di 10 (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Gli insiemi numerici hanno diverse proprietà:

  • La numerabilità di un insieme è data dalla possibilità di assegnare un posto ad ogni elemento dell'insieme.
  • Quando è formato da punti isolati, l'insieme si dice discreto, viceversa, quando è impossibile stabilire l'elemento successivo l'insieme si dice denso.

SottoinsiemiModifica

Un sottoinsieme è un insieme formato da elementi tutti appartenenti ad un altro insieme più vasto.

L'esistenza di un sottoinsieme   in un insieme   implica l'eseisteza di:

  • Il 'sottoinsieme complementare' di  , formato dagli elementi di   non appartenenti a  .
  • L'insieme delle parti P(A), formato da tutti i sottoinsiemi di  .
  • L'insieme unione (U) (Se più di un sottoinsieme), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad almeno uno degli altri sottoinsiemi.
  • L'insieme intersezione (Se più di un'intersezione), sottoinsieme costituito dagli elementi appartenenti ad entrambi i sottoinsiemi.
  • Il prodotto cartesiano (a·b), insieme delle coppie ordinate di   e  .

Insiemi numerici fondamentaliModifica

Gli insiemi numerici fondamentali sono insiemi aventi le seguenti caratteristiche:

  • Sono infiniti
  • Sono rappresentabili su una retta
  • È possibile definirvi addizione e moltiplicazione e stabilire delle proprietà

Essi sono

  • L'insieme N dei numeri naturali, 'discreto'.
  • L'insieme Z, 'discreto' ma senza un primo elemento.
  • L'insieme Q dei numeri irrazionali, 'denso'.
  • L'insieme R dei numeri reali, 'denso'.

Strutture algebricheModifica

Le strutture algebriche sono particolari strutture che si ottengono associando almeno un'operazione ad un insieme.

GruppiModifica

Un'operazione   applicata ad un insieme   può costituire un gruppo. Ciò avviene se:

  1. · è chiuso in A
  2. Vale la proprietà associativa
  3. Esiste un elemento neutro
  4. Esiste un inverso di un elemento rispetto a ·.

Nel caso valga anche la proprietà commutativa il gruppo si dice commutativo, o abeliano

CampiModifica

Per definire un campo sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un campo se:

  • (A,·) è un gruppo
  • (A,×) è un gruppo
  • Vale la proprietà distributiva

AnelliModifica

Per definire un anello sono necessari un insieme A e due operazioni · e ×. Questi costituiscono un anello se:

  • (A,·) è un gruppo commutativo
  • (A,×) è un gruppo commutativo
  • Vale la proprietà distributiva

Principio di induzioneModifica

Il principio di induzione è il quinto dei cinque assiomi di Peano, relativi all'insieme N dei numeri naturali:

  1. 0 è un numero naturale
  2. Ogni numero naturale ha un successivo
  3. Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi
  4. 0 non è il successivo di nessun numero naturale
  5. Data una proprietà P, se essa si verifica per n=0 (o n=1) e, supposta vera per n, si dimostra vera per n+1 allora la proprietà è vera.

Torna al sommario