Matematica per le superiori/Disequazioni lineari

Per disequazione si intende una disuguaglianza tra due espressioni algebriche in cui compaiono una o più incognite. Risolvere una disequazione significa trovare l'insieme, chiamato "insieme di verità" o "insieme di soluzioni", di quei valori che, sostituiti alle incognite, rendono le diseguaglianze vere.

In questo capitolo studieremo le disequazioni lineari o di primo grado ad un'incognita, ovvero che contengono una sola incognita (solitamente la $x$) con esponente non maggiore di 1. Oltre a queste vedremo come trattare le disequazioni che si possono ridurre a prodotti o quozienti di polinomi di primo grado.

Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di verità.

Intervalli

Gli insiemi di verità delle disequazione sono solitamente degli intervalli, ovvero degli insiemi formati da tutti i numeri compresi tra due valori. Se non specificato altrimenti, l'insieme di appartenenza dei numeri dell'intervallo è l'insieme dei numeri reali: $\mathbb {R}$. Gli estremi $a$ e $b$ possono essere inclusi o esclusi. Con riferimento agli estremi si possono avere 4 casi:

Intervallo	Significato
aperto	gli estremi $a$ e $b$ non appartengono all'intervallo
aperto a sinistra e chiuso a destra	l'estremo $a$ non appartiene mentre $b$ appartiene all'intervallo
chiuso a sinistra e aperto a destra	l'estremo $a$ appartiene mentre $b$ non appartiene all'intervallo
chiuso	gli estremi $a$ e $b$ appartengono all'intervallo

Per rappresentare gli intervalli si possono usare diverse notazioni:

Intervallo	Rappr. grafica	Rappr. con i predicati	Rappr. con parentesi miste	Rappr. con parentesi quadre
aperto		$a<x<b\,$	$(a;b)\,$	$]a;b[\,$
aperto a sinistra e chiuso a destra		$a<x\leq b$	$(a;b]\,$	$]a;b]\,$
chiuso a sinistra e aperto a destra		$a\leq x<b$	$[a;b)\,$	$[a;b[\,$
chiuso		$a\leq x\leq b$	$[a;b]\,$	$[a;b]\,$

Ad esempio: nell'insieme dei numeri naturali l'intervallo indicato con $(3;12]$ corrisponde all'insieme {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}: 3 escluso, 12 compreso.

Segno di un'espressione

Prima di affrontare lo studio delle disequazioni è importante capire come studiare il segno di un'espressione contenente una variabile. In questo modo, le disequazioni si ridurranno ad una applicazione dello studio del segno. Studiare il segno di un'espressione che contiene la variabile $x$, vuol dire stabilire per quali valori della variabile l'espressione è positiva e per quali valori è negativa. Come esempio possiamo studiare i valori che assumono i seguenti due binomi al variare di $x$.

espressione	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
$-4x+4$	20	16	12	8	4	0	-4	-8	-12	-16
$3x+6$	-6	-3	0	3	6	9	12	15	18	21

Si può osservare che il primo binomio è sempre positivo finché $x$ è più piccolo di 1, quando $x$ vale proprio 1 il binomio vale 0, quando $x$ è maggiore di 1 il binomio assume un valore negativo. Il secondo binomio ha un comportamento diverso. Finché $x$ si mantiene minore di -2 è negativo, quando $x$ vale -2 il binomio vale 0, quando $x$ supera il valore -2 il polinomio diventa positivo.

In realtà noi abbiamo verificato solo un piccolissimo insieme di valori, ma l'andamento regolare dei risultati dovrebbe convincerci che i segni rimangono immutati anche per valori molto diversi da quelli testati.

Il grafico della funzione $y=f(x)$, dove $f(x)$ è il polinomio, è una retta. In corrispondenza dei valori positivi del polinomio, la retta si trova al di sopra dell'asse $x$ (tratto blu), quando invece il polinomio assume valori negativi, la retta si trova sotto all'asse $x$ (tratto rosso).

Così i due polinomi possono essere associati alle funzioni: $y=-4x+4$ e $y=3x+6$ che hanno le seguenti rappresentazioni nel piano cartesiano:

Disegnare una retta nel piano cartesiano è un'abilità molto utile da possedere, ma per il nostro problema si può tracciare il grafico in modo molto approssimato: sono due gli aspetti che dobbiamo riportare nel grafico:

1. lo zero del polinomio, cioè il punto in cui la retta interseca l'asse $x$;
2. la pendenza della retta: cioè se la retta è crescente o decrescente.

Si capisce facilmente se la retta è crescente o decrescente guardando la sua equazione infatti le rette crescenti hanno il coefficiente della $x$ positivo, mentre le rette decrescenti hanno il coefficiente della $x$ negativo. Quindi i grafici possono essere tracciati semplicemente in questo modo:

Su questi ultimi grafici si possono aggiungere le informazioni che interessano lo studio del segno:

• il valore della $x$ che rende uguale a 0 il polinomio,
• l'intervallo dell'asse $x$ per il quale il polinomio è positivo,
• l'intervallo dell'asse $x$ per il quale il polinomio è negativo.

Riassumendo, per studiare il segno di un binomio di primo grado dobbiamo:

1. calcolare lo zero del polinomio risolvendo un'equazione associata al polinomio: $3x+6=0$,
2. disegnare il grafico di una funzione associata al polinomio, $y=3x+6$, tenendo conto se la retta è crescente o decrescente.
3. riportare su questo grafico lo zero del polinomio e segnare con un "+" i tratti positivi (quelli sopra l'asse delle $x$) e con un "-" i tratti negativi (quelli nei quali la retta è tracciata sotto l'asse delle $x$).

Sempre nei casi precedenti:

Riassumendo, lo studio del segno del binomio di primo grado:$-4x+4$, si riduce a svolgere questi due passi:

Equazione Associata:	$-4x+4=0$	$x=1$
Funzione Associata:	$y=-4x+4$

Segno del prodotto di due binomi

Imparato come studiare il segno di un binomio di primo grado possiamo incominciare a complicare le cose... Se dobbiamo studiare il segno di un trinomio di secondo grado, possiamo seguire un procedimento formato da questi 3 passi:

1. scomporre in fattori il polinomio,
2. studiare il segno di ogni singolo fattore,
3. applicare la regola dei segni.

applichiamo questo procedimento al trinomio di secondo grado: $x^{2}-2x-8$.

1. Scomposizione in fattori: $x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2)$.
2. Studio del segno di ogni fattore:
   1. F₁:
      • E.A.: $x-4=0\Rightarrow x=4$
      • F.A.: $y=x-4\Rightarrow$
   2. F₂:
      • E.A.: $x+2=0\Rightarrow x=-2$
      • F.A.: $y=x+2\Rightarrow$
3. Regola dei segni: costruiamo una tabella con tanti assi $x$ quanti sono i fattori, tante linee verticali quanti sono i diversi zeri calcolati. Intestiamo ogni riga verticale con il valore di uno zero stando ben attenti di riportarli in ordine crescente e intestiamo ogni riga con l'indicazione del fattore di cui vogliamo riportare il segno. Tracciamo un tondino in corrispondenza degli zeri dei polinomi e riportiamo i segni già studiati precedentemente. Sotto ai due assi $x$ disegniamo un terzo asse $x$ sopra al quale riportiamo, il segno del prodotto ottenuto seguendo la solita regola: il prodotto di più fattori è positivo se ha un numero pari di fattori negativi:

Segno del quoziente di polinomi

Dato che la regola del segno del prodotto è uguale alla regola del segno del quoziente si può utilizzare un metodo simile a quello presentato sopra anche per studiare il segno di quozienti di polinomi.

C'è un'unica piccola differenza: perché si possa calcolare una frazione, il suo denominatore deve essere diverso da zero. Quindi gli zeri del denominatore sono dei valori di $x$ che non possiamo mai accettare. Per ricordarci di questo, li indichiamo con una crocetta invece che con un cerchietto.

Applichiamo il procedimento precedente allo studio del segno di questa frazione:

${\frac {x-4x^{3}}{x^{2}+3x-10}}$.

1. Scomposizione in fattori: ${\frac {x(1-2x)(1+2x)}{(x-2)(x+5)}}$.
2. Studio del segno di ogni fattore. Per chiarezza indichiamo con N* i fattori al numeratore e con D* i fattori al denominatore:
   1. N₁:
      • E.A.: $x=0\Rightarrow x=0$
      • F.A.: $y=x\Rightarrow$
   2. N₂:
      • E.A.: $-2x+1=0\Rightarrow x={\frac {1}{2}}$
      • F.A.: $-2x+1\Rightarrow$
   3. N₃:
      • E.A.: $2x+1=0\Rightarrow x=-{\frac {1}{2}}$
      • F.A.: $y=2x+1\Rightarrow$
   4. D₁:
      • E.A.: $x-2=0\Rightarrow x=2$
      • F.A.: $y=x-2\Rightarrow$
   5. D₂:
      • E.A.: $x+5=0\Rightarrow x=-5$
      • F.A.: $y=x+5\Rightarrow$
3. Regola dei segni: costruiamo la solita tabella Ricordandoci di segnare in modo diverso gli zeri del denominatore:

Possiamo concludere che la frazione ${\frac {x-4x^{3}}{x^{2}+3x-10}}$ è:

• positiva per tutti i valori di $x$ minori di $-5$
• non definita per $x=-5$
• negativa per tutti i valori di $x$ compresi tra $-5$ e $-{\frac {1}{2}}$
• zero per $x=-{\frac {1}{2}}$
• positiva per tutti i valori di $x$ compresi tra $-{\frac {1}{2}}$ e $0$
• zero per $x=0$
• negativa per tutti i valori di $x$ compresi tra $0$ e ${\frac {1}{2}}$
• zero per $x={\frac {1}{2}}$
• positiva per tutti i valori di $x$ compresi tra ${\frac {1}{2}}$ e $2$
• non definita per $x=2$
• negativa per tutti i valori di $x$ maggiori di $2$

Riscrivendola in termini logici:

$x\in \mathbb {R} \setminus \{-5,2\}$ (insieme di esistenza)

$f(x)>0\Leftrightarrow x<-5\lor -{\frac {1}{2}}<x<0\lor {\frac {1}{2}}<x<2$

$f(x)=0\Leftrightarrow x=-{\frac {1}{2}}\lor x=0\lor x={\frac {1}{2}}$

$f(x)<0\Leftrightarrow -5<x<-{\frac {1}{2}}\lor 0<x<{\frac {1}{2}}\lor x>2$

Principi di equivalenza delle disequazioni

Per lavorare sulle disequazioni si ricorre a due principi, che derivano direttamente dalle proprietà delle disuguaglianze:

1. Aggiungendo o togliendo la stessa quantità a tutti e due i membri di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente.
2. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per una stessa quantità positiva e diversa da zero si ottiene una disequazione equivalente; moltiplicando o dividendo entrambi i membri per una stessa quantità negativa e cambiando il segno della disuguaglianza si ottiene una disequazione equivalente.

Ora si può osservare che il primo principio è semplice e esattamente uguale a quello delle equazioni, il secondo invece è insidioso... Per fortuna per risolvere le disequazioni basta usare il primo ed al massimo la prima parte del secondo.

Ad esempio:

$3x+2>5x-4$

sommando ad entrambi i membri $-5x+4$ si trasforma in un'altra disequazione equivalente alla precedente per il primo principio di equivalenza:

$-2x+6>0$

Chiamiamo disequazione scritta in forma normale la disequazione trasformata in modo tale da avere il secondo membro uguale a zero.

Soluzione di una disequazione lineare

Usando il primo principio si può sempre scrivere una disequazione lineare in forma normale. Riprendiamo la disequazione precedente:

$-2x+6>0$

I valori che verificano la disequazione sono quelli che rendono il primo membro maggiore di zero, cioè positivo. Ma è semplice studiare il segno del primo membro che è un binomio di primo grado:

Equazione Associata: $-2x+6=0$ → $x=3$

Funzione Associata: $y=-2x+6$ →

Quindi i valori di $x$ che rendono positivo il binomio sono quelli che si trovano a sinistra di 3 cioè quelli minori di 3.

• 

L'ultima immagine è una rappresentazione grafica della soluzione della disequazione. La stessa soluzione può essere rappresentata con il predicato:

• $x<3$

o con gli intervalli rappresentati con parentesi quadre:

• ]-∞; 3[

Riassumendo, per risolvere una disequazione si può seguire questo metodo in 3 passi:

1. scrivere la disequazione in forma normale,
2. studiare il segno dell'espressione a sinistra del predicato,
3. evidenziare, rappresentare gli intervalli che risolvono la disequazione.

Soluzione di una disequazione fratta

Per risolvere una disequazione fratta potremmo pensare di utilizzare lo stesso procedimento delle equazioni fratte:

1. scomposizione in fattori dei denominatori,
2. denominatore comune,
3. campo di esistenza,
4. semplificazione dei denominatori e soluzione dell'equazione intera risultante,
5. verifica che le soluzioni ottenute appartengano al campo di esistenza.

Proviamo con un esempio:

1. ${\frac {-3x+4}{x+2}}\leq -1$
2. ${\frac {-3x+4}{x+2}}\leq {\frac {-x-2}{x+2}}$
3. $x\neq -2$
4. ${-3x+4}\leq {-x-2}\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;-2x+6\leq 0$

Ma di questa disequazione abbiamo già studiato il segno:

e quindi la soluzione di quest'ultima disequazione è:

Ma se proviamo a sostituire l'incognita con un valore minore di 3, ad esempio -4, otteniamo:

${\frac {-3\cdot (-4)+4}{-4+2}}\leq -1\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;-8\leq -1$

scoprendo così che anche valori minori di 3 soddisfano la disequazione! Come mai?

Nel passaggio 4 abbiamo semplificato i denominatori moltiplicando entrambi i membri per una stessa quantità diversa da zero. Ma il secondo principio di equivalenza delle disequazioni è diverso dal corrispondente principio delle equazioni. È più complicato, per applicarlo correttamente dobbiamo sapere se il fattore per cui moltiplichiamo è maggiore o minore di zero, ma contenendo una variabile questa informazione non è immediatamente disponibile.

Per risolvere le disequazioni fratte dobbiamo seguire un'altra strada:

1. spostare tutti i termini a primo membro e sommarli im modo da ottenere una sola frazione e a secondo membro solo lo zero,
2. studiare il segno della frazione,
3. evidenziare, rappresentare gli intervalli che risolvono la disequazione.

Riferendoci all'esercizio precedente:

1. ${\frac {-3x+4}{x+2}}\leq -1\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;{\frac {-3x+4}{x+2}}+1\leq 0$
2. ${\frac {-3x+4+x+2}{x+2}}\leq 0\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;{\frac {-2x+6}{x+2}}\leq 0$

• Segno del numeratore:
  • Equazione Associata: $-2x+6=0$ → $x=3$
  • Funzione associata: $y=-2x+6$ →

• Segno del denominatore:
  • Equazione Associata: $x+2=0$ → $x=-2$
  • Funzione associata: $y=x+2$ →

Mettendo assieme le informazioni si calcola il segno della frazione e poi si evidenziano gli intervalli che soddisfano la disequazione:

• 

Nell'ultima immagine la parte evidenziata è una rappresentazione grafica della soluzione della disequazione. Altri modi per rappresentare la stessa soluzione sono:

• $x<-2\;\;\;\lor \;\;\;x\geq 3$

o con gli intervalli rappresentati con parentesi quadre:

• $]-\infty ;-2[\;\;\;\cup \;\;\;]3;\infty [$

Soluzione di una disequazione letterale

Qualunque sia una disequazione letterale di primo grado nella variabile $x\,$ può sempre essere scritta, utilizzando il primo principio di equivalenza e un po' di calcoli, come:

$Ax+B>0\,$

Alcune osservazioni sulla formula precedente:

• il predicato può essere uno di questi: $\;>,\;<,\;\leq ,\;\geq .$
• A e B sono espressioni letterali contenenti cioè dei parametri.

Partiamo da un esempio e cerchiamo di seguire il metodo già usato:

$k\left(x-1\right)\leq k\left(k-x\right)+x$

Innanzitutto scriviamola in forma normale:

1. $kx-k\leq k^{2}-kx+x$
2. $kx-k-k^{2}+kx-x\leq 0$
3. $2kx-x-k^{2}-k\leq 0$
4. $\left(2k-1\right)x-k^{2}-k\leq 0$

A questo punto si può vedere che il metodo utilizzato fin qui non può più essere seguito pedissequamente infatti l'Equazione Associata non ha un risultato se $2k-1\,$ è uguale a zero e la funzione associata è crescente se $2k-1\,$ è maggiore di zero e decrescente se è minore di zero. Ma il valore dell'espressione $2k-1\,$ dipende dal valore del parametro $k\,$.

Quindi dobbiamo sospendere la soluzione della disequazione iniziale e dedicarci allo studio del segno del coefficiente della $x\,$. Applicando la solita tecnica otteniamo:

Equazione Associata: $2k-1=0\;\;\rightarrow \;\;k={\frac {1}{2}}$

Funzione Associata: $y=2k-1\;\;\rightarrow \;\;$

Ora possiamo studiare i 3 casi che si ottengono a seconda che il parametro $k\,$ renda il coefficiente della $x\,$ negativo, uguale a zero o positivo:

• Se $k<{\frac {1}{2}}\;\;\rightarrow \;\;2k-1<0$

Equazione Associata: $\left(2k-1\right)x-k^{2}-k=0\;\;\rightarrow \;\;x={\frac {k^{2}-k}{2k-1}}$

Funzione Associata: $y=\left(2k-1\right)x-k^{2}-k\;\;\rightarrow \;\;$

• Se $k={\frac {1}{2}}\;\;\rightarrow \;\;0x-{\frac {3}{4}}\leq 0$

Equazione Associata: $0x-{\frac {3}{4}}=0\;\;\rightarrow \;\;$ "Impossibile"

Funzione Associata: $y=\left(2k-1\right)x-k^{2}-k\;\;\rightarrow \;\;$

• Se $k>{\frac {1}{2}}\;\;\rightarrow \;\;2k-1>0$

Equazione Associata: $\left(2k-1\right)x-k^{2}-k=0\;\;\rightarrow \;\;x={\frac {k^{2}-k}{2k-1}}$

Funzione Associata: $y=\left(2k-1\right)x-k^{2}-k\;\;\rightarrow \;\;$

La soluzione della disequazione letterale è:

• Se $k<{\frac {1}{2}}\;\;\rightarrow \;\;x\leq {\frac {k^{2}-k}{2k-1}}$
• Se $k={\frac {1}{2}}\;\;\rightarrow \;\;\forall x\in \mathbb {R}$
• Se $k>{\frac {1}{2}}\;\;\rightarrow \;\;x\geq {\frac {k^{2}-k}{2k-1}}$

Riassumendo, per risolvere una disequazione parametrica si può seguire questo metodo in 3 passi:

1. scrivere la disequazione in forma normale,
2. studiare il segno del coefficiente della $x\,$,
3. risolvere le tre disequazioni che si ottengono a seconda che il segno precedente sia minore, uguale o maggiore di zero.

Sistema di disequazioni

La soluzione di un sistema di disequazioni è l'insieme dei valori della variabile $x\,$ per i quali sono verificate tutte le disequazioni. La soluzione di un sistema è l'intersezione tra le soluzioni di tutte le disequazioni.

Quindi per risolvere un sistema di disequazioni prima si risolvono una alla volta tutte le disequazioni che lo compongono, poi si opera l'intersezione tra tutte le soluzioni. Iniziamo con un sistema semplice:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&2\left(x-5\right)\leq 3+4x\\&6x-4<-3x-2\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Per prima cosa scriviamo le due disequazioni in forma normale:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&2x-10-3-4x\leq 0\\&6x-4+3x+2<0\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&-2x-13\leq 0&\quad {\mbox{(1)}}\\&9x-2<0&\quad {\mbox{(2)}}\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Ora risolviamo singolarmente le due disequazioni:

• ${\mbox{(1)}}$:
  • Equazione Associata: $-2x-13=0\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;x=-{\frac {13}{2}}$
  • Funzione associata: $y=-2x-13\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;$

• ${\mbox{(2)}}$:
  • Equazione Associata: $9x-2=0\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;x={\frac {2}{9}}$
  • Funzione associata: $y=9x-2\;\;\;\;\rightarrow \;\;\;\;$

A questo punto dobbiamo solo eseguire l'intersezione tra i due intervalli che rappresentano le soluzioni delle due disequazioni, per farlo possiamo utilizzare uno schema nel quale riportiamo i due assi con le due soluzioni più un terzo nel quale evidenziamo gli intervalli che sono comuni ai due precedenti:

Osservazione importante: Pur essendo formate entrambe da assi orizzontali e da linee verticali questo schema e quello usato nello studio del segno del prodotto, i due schemi sono completamente diversi: nel primo riportiamo dei segni ed eseguiamo il prodotto di segni, nel secondo riportiamo degli intervalli e eseguiamo l'intersezione tra insiemi.

Come al solito possiamo rappresentare la soluzione in altri modi:

• $-{\frac {13}{2}}\leq x<{\frac {2}{9}}$
• $\left[-{\frac {13}{2}};\;{\frac {2}{9}}\right[$

E con questo il sistema è risolto.

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