Matematica per le superiori/Geometria solida

Teoria — Esercizi

Appendici
- Tavola delle principali notazioni simboliche matematiche Matematica per le superiori/Tavola delle principali notazioni simboliche matematiche

La geometria solida tratta le figure nello spazio a tre dimensioni.

Assiomi, rette e piani nello spazio

I principali postulati della geometria solida

1°) Il modello dello spazio tridimensionale è rappresentato dallo spazio euclideo. Questo è costituito da un insieme infinito di elementi detti punti, contiene infiniti sottoinsiemi detti piani. Ad ogni piano appartengono infiniti sottoinsiemi detti rette. Per ciascun piano valgono gli assiomi del piano euclideo.

2°) Ogni punto appartiene ad infinite rette dello spazio. L'insieme delle infinite rette passanti per un punto dello spazio è detto stella di rette.

3°) Ogni punto appartiene ad infiniti piani dello spazio. L'insieme degli infiniti piani passanti per un punto dello spazio è detto stella di piani.

4°) Ogni retta appartiene e giace su infiniti piani dello spazio. L'insieme di questi infiniti piani passanti per la medesima retta è detto fascio proprio di piani. Inoltre questa retta comune a tutti i piani può essere chiamata asse del fascio.

5°) Per tre punti dello spazio, non allineati, passa sempre uno ed un solo piano.

6°) Un piano nello spazio può essere individuato da una retta ed un punto che però non le appartiene.

7°) Un piano è individuato nello spazio da due rette distinte che hanno un punto in comune.

8°) Una retta può essere individuata da due piani distinti che hanno un punto in comune. Questa retta viene detta retta di intersezione dei due piani.

9°) Un piano divide lo spazio in due parti, chiamate semispazi; il piano è la loro origine o il loro contorno. I due semispazi si dicono opposti l'uno all'altro.

10°) Il segmento che unisce due punti di uno stesso semispazio non ha alcun punto in comune con l'altro semispazio del piano d'origine, mentre il segmento che unisce due punti appartenenti a semispazi opposti e non appartenenti alla loro origine incontra il piano origine in un punto.

Da questi postulati deriva che una retta avente in comune con un piano un solo punto viene divisa da quel punto in due semirette che giacciono in due semispazi opposti. Quando questo fatto si verifica, si dice che la retta incontra o interseca il piano e il punto d'incontro si dice anche punto di intersezione tra retta e piano. Due rette giacenti nello stesso piano si dicono complanari. Due rette complanari distinte o si intersecano in un punto o sono parallele. Se le rette non sono complanari, e dunque né sono parallele né si intersecano, sono dette sghembe.

Esistenza delle rette sghembe

Teorema: Esistono rette che non sono né parallele né incidenti (dette sghembe).

Per provare l'esistenza di rette sghembe fra loro è sufficiente considerare una retta r che intersechi un piano α in uno ed un solo punto qualsiasi P, ed una retta a giacente in α e non passante per P (in figura). Supponendo per assurdo che le rette a ed r si intersechino in un punto X, tale punto dovrebbe, appartenendo ad a, appartenere al piano α. In tal caso la retta r dovrebbe appartenere al piano α, dato che r dovrebbe passare sia per il punto P,sia per il punto X. Il fatto che la retta passi per 2 punti di uno stesso piano ci garantisce che essa appartenga al piano stesso, il che contraddice la tesi. cvd.

Intersezione di due piani

Teorema: Due piani distinti, aventi in comune un punto, hanno in comune una retta che passa per quel punto.

Siano α e β due piani distinti aventi in comune il punto P. Nel piano β tracciamo due semirette qualunque a, b aventi per origine P, situate però da parti opposte rispetto ad α, ma non contenute nella stessa retta. Si congiunga poi un punto A di a con un punto B di b: poiché i due punti A e B, per il modo secondo cui sono stati scelti, si trovano in semispazi opposti rispetto ad α, il segmento AB taglierà il detto piano in un punto C, che è diverso da P, è comune ad α e β. Così la retta PC (per il 2° postulato del piano) appartiene ad entrambi i piani; oltre i punti della retta PC i due piani α e β non possono avere altri punti in comune, altrimenti essi coinciderebbero (per il 1° postulato), il che è contro l'ipotesi secondo la quale α e β erano distinti. c.v.d.

(P\in \alpha \cap \beta )\Longrightarrow (\exists PC=\alpha \cap \beta )

Se due piani hanno un comune una retta, si dice che essi si intersecano o si tagliano lungo quella retta, la quale si chiama allora l'intersezione dei due piani. Da quanto precede, si deduce facilmente che nello spazio due piani distinti si segano secondo una retta oppure non hanno alcun punto in comune.

Per una retta nello spazio passano infiniti piani, che costituiscono un fascio di piani, di cui la retta dicesi asse o sostegno.

Rette e piani perpendicolari

Teorema: una retta si dice perpendicolare ad un piano in un suo punto A, se è perpendicolare a tutte le rette del piano passanti per A.

Sia r la retta perpendicolare alle due rette a e b passanti per il punto P, e sia il α il piano individuato da a e b (ipotesi); dimostriamo che la retta r è perpendicolare a una qualunque altra retta c giacente nel piano α e passante per P (tesi). Si prendano su r, a partire da P, i segmenti congruenti PH e PK e si congiungano H e K con due punti A e B presi rispettivamente su a e b. Supporremo che AB non sia parallelo a c. Essendo a asse del segmento HK sarà

AH\cong \ AK

e, per una ragione analoga, sarà,

BH\cong \ BK

.

Si congiunga ora A con B e si indichi con C il punto in cui tale congiungente interseca la retta c. I due triangoli HAB,KAB sono congruenti per il 3° criterio di congruenza dei triangoli avendo AB in comune, AH≡AK e BH≡BK come dimostrato precedentemente. Da ciò si deduce che HÂC≡KÂC. Ne segue che i due triangoli HAC,KAC sono congruenti per il 1° criterio di congruenza avendo due lati e l'angolo compreso rispettivamente congruenti, cosicché risulta pure HC≡KC. Il triangolo HCK è perciò isoscele e in esso CP, che è mediana della base, ne sarà anche altezza: risulta quindi $CP\perp \ HK$ alla retta c.

Il luogo delle rette perpendicolari ad una retta in un suo punto è un piano.

Siano a,b,c, ...alcune rette perpendicolari alla retta r del punto P (ipotesi); si vuol dimostrare che tali rette giaccono tutte su uno stesso piano (tesi). Sia α il piano determinato da due di tali rette, per esempio a e b, e sia β il piano formato dalla retta r e la retta c. Il piano β, avendo in comune con α il punto P, avrà in comune con tale piano una retta m che, per il teorema precedente, risulterà perpendicolare alla retta r, perché appartiene ad α e passa per P. Siccome nel piano βsi può condurre per P una sola perpendicolare alla retta r, la m deve coincidere con la c e quindi la c appartiene ad α. Lo stesso dicasi per ogni altra retta perpendicolare alla r nel punto P. c.v.d.

Una retta si dice perpendicolare a un piano quando lo incontra ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il suo punto di incontro con il piano.

Tale punto dicesi piede della perpendicolare.

Retta e piano perpendicolari si dicono anche normali oppure ortogonali.

Una retta che incontra un piano senza essergli perpendicolare dicesi obliqua rispetto al piano.

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI. Se una retta e' perpendicolare ad un piano e se dal punto di incontro prendo sul piano una retta che sia perpendicolare ad un'altra retta del piano allora l'ultima retta e' perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette .

Sia a la perpendicolare al piano α (fig. sotto): dal suo piede Q si conduca la retta c perpendicolare alla retta r di α (ipotesi). Si vuol dimostrare che la r è perpendicolare al piano individuato da a e c (tesi).

Siccome la r è già perpendicolare alla c, basterà dimostrare che essa è perpendicolare a un'altra retta appartenente al piano determinato dalle due retta a e c.

A tal fine, detto C il punto di intersezione di r con c, si prendano su questa retta due punti A e B da bande opposte di C e tali che sia CA≡CB, indi si congiungano tali punti con Q e con un altro punto P della retta a. Nel piano α la retta c è asse del segmento AB, perciò QA≡BQ; quindi i triangoli rettangoli PQA, PQB sono congruenti per avere i cateti rispettivamente congruenti. Ne segue che PA≡PB e allora il triangolo APB è isoscele e PC. che è mediana della base, è pure altezza. La retta AB è dunque perpendicolare alla retta CP (che appartiene appunto al piano individuato dalle rette a e c). q.e.d.

Rette parallele nello spazio

Due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele

Siano a e b (figura sotto) due rette perpendicolari al piano α (ipotesi); dobbiamo dimostrare che a e b sono situate in uno stesso piano e che non hanno alcun punto in comune (tesi).

Sia r la retta congiungente i piedi A e B delle due perpendicolari.

Si conduca sul piano α una retta c, perpendicolare alla r in un suo punto H. Poiché a è perpendicolare ad α ed r è perpendicolare alla c, sarà c perpendicolare al piano determinato dalle rette a ed r, in virtù del teorema delle tre perpendicolari.

IMMAGINE

In modo analogo si dimostra che c è perpendicolare al piano determinato dalle rette b ed r. Ma di piani perpendicolari alla c nel punto H ve ne è uno solo, perciò le due rette a e b appartengono a uno stesso piano. Poiché queste due rette sono complanari ed entrambe perpendicolari alla retta r, sono parallele. c.v.d.

Se due rette sono parallele, ogni piano che incontra una delle due incontra anche l'altra.

Siano a e b due rette parallele (figura sotto) ed il piano α intersechi la prima del punto A (ipotesi); si deve dimostrare che lo stesso piano interseca pure la retta b (tesi).

Le due rette a,b individuano un piano β, il quale, avendo con α il punto A in comune, intersecherà detto piano secondo una retta c passante per A. Questa retta c, giacendo nel piano β e intersecando la retta a, interseca pure la sua parallela b situata nello stesso piano β. Ma c appartiene pure ad α, quindi la retta b, incontrando la retta c, ha un punto in comune con α. q.e.d.

IMMAGINE

Angoloidi

Definizioni

È dato nello spazio un numero n ≥ 3 di semirette, aventi la stessa origine V, la figura formata dagli angoli individuati dalle coppie di semirette consecutive si chiama superficie piramidale indefinita. In essa:

V è il vertice della superficie piramidale indefinita;
le semirette a,b,c si chiamano spigoli;
gli angoli si chiamano facce.

L' angoloide convesso è dunque la figura formata dalla superficie piramidale indefinita e da tutti i suoi punti interni.

Un angoloide viene inoltre classificato in base al numero di facce da cui è formato, in particolare si dice triedro, tetraedro, pentaedro ecc. a seconda che abbia tre, quattro, cinque facce ecc.

Infine un angoloide avente facce e diedri congruenti viene detto regolare.

Teorema: Le sezioni di un angoloide con due piani paralleli non passanti per il vertice, sono due poligoni simili, che hanno i perimetri proporzionali alle distanze dei piani dal vertice e le aree proporzionali ai quadrati delle stesse distanze.

Proprietà degli angoloidi:

• In un angoloide ogni faccia è minore della somma di tutte le altre.

• La somma delle facce di un angoloide convesso è minore di un angolo giro

Trasformazioni

Una trasformazione geometrica nello spazio è una corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio e i punti dello spazio stesso.

All'interno delle trasformazioni possiamo distinguere quattro categorie:

Le Isometrie
Le Omotetie
La Composizione di due Trasformazioni
La Similitudine

Isometrie

Le isometrie, cioè le trasformazioni geometriche che conservano le distanze tra coppie di punti corrispondenti, nella geometria solida, hanno le stesse proprietà di quelle del piano.

Tale trasformazione permette ad un segmento e angolo di rasformarsi in un segmento e angolo congruenti.

Nelle isometrie esistono altri sottogruppi per la trasformazione dei solidi:

- La Traslazione

- La Rotazione

- La Simmetria Centrale

- La Simmetria Assiale

- La Simmetria rispetto ad un Piano

Traslazione

Dato un vettore ${\vec {v}}$ una traslazione è quella trassformazione geomtrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto $P^{\prime }$ , tale che ogni vettore ${\overrightarrow {PP'}}$ e uguale a ${\vec {v}}$ .

La figura trasformata è congruente alla figura data.

Rotazione

Data una retta r e un angolo $\alpha$ , la rotazione è quella trasformazione geometrica che sposta tutti i punti di un angolo $\alpha$ rispetto a r.

In una rotazione bisogna ricorare che:

$P^{\prime }$ appartiene al piano $\beta$ passante per P e perpendicolare alla retta r.
Chiamato O il punto di intersezione tra r e il piano $\beta$ , ${\overrightarrow {OP'}}$ $\cong$ ${\overrightarrow {OP}}$ e ${\overrightarrow {POP'}}$ $\cong$ $\alpha$ , con la stessa rotazione.

La figura trasformata è congruente alla figura data.

Simmetria Centrale

Dato un punto O, la simmetria centrale di centro O è quella trasformazione geometrica che:

al punto O (centro della simmetria) fa corrispondere se stesso. Il centro O è l'unico punto unito della simmetria.
a ogni punto P diverso da O fa corrispondere il punto $P^{\prime }$ tale che il segmento $PP^{\prime }$ abbia O come punto medio.

Se due solidi si corrispondono in una simmetria centrale di centro O, sono inversamente congruenti.

Simmetria Assiale

Data una retta r nello spazio, la simmetria di assiale è quella trasformazione geometrica piana che:

a ogni punto appartenente alla retta r fa corrispondere se stesso, quindi la retta r risulta essere costituita da punti uniti;
a ogni punto P, non appartenente a r, fa corrispondere il punto $P^{\prime }$ , diverso da P tale che:

-

P^{\prime }

è sulla retta perpendicolare a r passante per P;

- Le distanze tra P e

P^{\prime }

da r sono congruenti;

-

P^{\prime }

si trova sul semipiano opposto a quello di P.

Tale retta r prende il nome di asse di simmetria.

Una retta a perpendicolare all'asse di simmetria, invece, ha per trasformata se stessa ed è quindi una retta unita. Attenzione: non è una retta di punti uniti, poiché ad ogni punto della retta a corrisponde un punto diverso da se stesso.

Elementi invarianti

La simmetria assiale è un'isometria in quanto la figura trasformata è congruente a quella di partenza; infatti si mantengono costanti:

-la lunghezza dei segmenti (misure lineari);

-l'ampiezza degli angoli (misure angolari);

-il parallelismo.

E' necessario specificare che la simmetria assiale è una simmetria invertente. L'orientamento dei punti della figura trasformata, quindi, risulterà invertito: se inizialmente è orario, dopo la trasformazione risulterà antiorario, e viceversa.

Nonostante sia invertente, la simmetria assiale è comunque una collineazione, infatti, se almeno tre punti sono allineati, anche i loro simmetrici saranno allineati.

La simmetria assiale, infine, è anche involutoria. Se viene applicata due volte consecutivamente, la figura trasformata coincide con la figura di partenza.

Simmetria Rispetto ad un Piano

Data un piano $\alpha$ nello spazio, la simmetria rispetto al piano $\alpha$ è quella trasformazione che:

1) A ogni punto di $\alpha$ fa corrispondere se stesso. (Il piano rimane invariato)

2) A ogni punto P non appartenente ad $\alpha$ , fa corrispondere il punto $P^{\prime }$ , in modo tale che:

-

P^{\prime }

è sulla retta r passante per P e perpendicolare a

\alpha

;

- Le distanze tra P e

P^{\prime }

da

\alpha

sono congruenti.

Il piano $\alpha$ è chiamato piano di simmetria.

Se due solidi si corrispondono in una simmetria rispetto ad un piano $\alpha$ , sono inversamente congruenti.

Omotetie

Dato un punto O e un numero reale k diverso da zero, l'omotetia di centro O e rapporto k è quella trasformazione che al punto O fa corrispondere a se stesso e a ogni altro punto P della solido fa corrispondere il punto $P^{\prime }$ , in modo tale che:

\left({\frac {OP'}{OP}}\right)

= k

Come nel piano, il numero reale k è detto rapporto di omotetia. Se k > 0 allora l'omotetia si dice diretta , invece se k < 0 si dice inversa.

Composizione di due trasformazioni

Similitudini

Poliedri

Alcuni poliedri
Dodecaedro (Poliedro platonico)	Dodecaedro stellato (Poliedro di Keplero-Poinsot)
Icosidodecaedro (Poliedro archimedeo)	Cubo
Triacontaedro rombico (Poliedro di Catalan)	Tetraedro

Superficie poliedrica

Si definisce superficie poliedrica la superficie composta da più poligoni piani detti facce; tali poligoni sono situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato di ognuno di essi sia posto in comune con un altro poligono del poliedro. I poligoni, i loro vertici e i loro lati si dicono rispettivamente facce, vertici e spigoli.

Una superficie poliedrica divide i punti dello spazio in tre sottoinsiemi:

i punti interni al solido;
i punti che appartengono alla superficie;
tutti gli altri punti si dicono esterni.

Definizione di poliedro

Si dice poliedro la figura formata da: una superficie poliedrica convessa chiusa e dai suoi punti interni.

Le facce, i vertici e gli spigoli della superficie corrispondono alle facce, vertici e spigoli del poliedro.

Ad ogni spigolo del poliedro si associa il diedro individuato dalle due facce che contengono quello spigolo(diedro del poliedro).

Ad ogni vertice del poliedro si associa l’angoloide, i cui spigoli contengono quelli del poliedro che escono da quel vertice; esso si dice angoloide del poliedro.

Si dice diagonale del poliedro il segmento che congiunge due vertici non situati sulla stessa faccia.

Alcuni tipi di poliedri:

Poliedro platonico: è un poliedro le cui facce sono poligoni regolari congruenti e i cui angoloidi hanno la stessa estensione.
Poliedro archimedeo: è un poliedro convesso le cui facce sono costituite da due o più tipi di poligoni regolari e i cui vertici sono omogenei.
Poliedro di Catalan: è un poliedro duale di un solido archimedeo, dove con poliedro duale intendiamo un poliedro ottenuto scambiando i ruoli dei

vertici e delle facce del poliedro di partenza.

Poliedro di Keplero-Poinsot : è un poliedro regolare non convesso, in cui tutte le facce sono formate da identici poligoni regolari e che ha lo stesso numero di facce che si incontrano in uno stesso vertice.

Un poliedro che ha 4 facce si chiama tetraedro.

Un poliedro con 5, 6, 8, 12, 20 facce si chiama pentaedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro, icosaedro (solidi platonici - la cui somma degli angoli interni delle facce < 360°).

Un poliedro è una parte finita di spazio, nel senso che non contiene rette o semirette. Le parti finite di spazi sono dette solidi.

Poliedri platonici
I 5 poliedri platonici

Prisma Finito

Si dice prisma finito la figura solida formata dall'intersezione di un prisma indefinito (parte di spazio limitata da una superficie prismatica) con due piani paralleli.

Piramide

Si dice piramide l'intersezione tra un angoloide e il semispazio che contiene il vertice dell'angoloide. Il poligono di base di una piramide é quello che si ottiene dalla sua sezione con un piano parallelo alla base sono simili, inoltre il rapporto di similitudine è uguale al rapporto delle due altezze.

Proprietà dei poliedri

a) Relazione di Eulero: Tra il numero F delle facce, quello V dei vertici e quello S degli spigoli di un qualunque poliedro sussiste la seguente relazione: $F+V=S+2\,$

b) Un poliedro è una figura convessa

c) Un segmento congiungente un punto interno con un punto esterno di un poliedro, incontra il contorno in un punto.

d) Ogni piano passante per un punto interno, taglia il poliedro secondo un poligono convesso, detto sezione del poliedro il quale resta in due poliedri aventi una faccia in comune.

Poliedri regolari

Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi sono congruenti tra loro. Esistono 5 poliedri regolari: Tetraedro, Ottaedro, Icosaedro, Cubo, Dodecaedro.

Dal fatto che la somma delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro si deduce che esistono solo cinque poliedri regolari. Se le facce sono triangoli equilateri, ogni faccia dell’angoloide è uguale a 1/3 di angolo piatto, in gradi 60°; si possono quindi avere tre tipi di poliedri regolari; uno con angoloidi triedri (3· 60°<360°), uno con angoloidi tetraedri (4·60°<360°) e uno con angoloidi pentaedri (5·60°<360°); nella geometria euclidea non sono possibili poliedri regolari con angoloidi esaedri o maggiori, poiché 6·60°=360°.

Se le facce sono quadrati, ogni faccia dell’angoloide è uguale a 90° e si può avere un solo tipo di poliedro regolare, quello con angoloidi triedri (3·90°<360°, poiché già 4·90°>360°).

Se le facce sono pentagoni, ogni faccia dell’angoloide è uguale a 108° e si possono quindi avere solo poliedri regolari con angoloidi triedri (3·108°<360°, poiché già 4·108°>360°).

Proprietà e definizioni dei poliedri regolari

Ogni poliedro regolare ha un centro dal quale sono equidistanti vertici e facce.
La distanza di un vertice dal centro si dice raggio e la distanza di una faccia dal centro si dice apotema del poliedro.
Nei poliedri regolari, tranne nel tetraedro, le facce e gli spigoli sono a due a due paralleli perciò si hanno facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.
I centri delle facce di un poliedro regolare sono i vertici di un altro poliedro. I poliedri si dicono coniugati. Ad esempio sono poliedri coniugati l’icosaedro e il dodecaedro, il cubo e l’ottaedro.

Poliedri semi regolari

Esistono altri tipi di poliedri, oltre a quelli regolari, che prendono il nome di poliedri semi-regolari o archimedei; esistono 13 tipi di questi poliedri, ottenuti tramite il procedimento detto "troncamento". Il troncamento di un poliedro, relativo a un suo vertice V, è l'eliminazione dal poliedro stesso di una sezione di volume data da una piramide che ha come vertice il punto V e come base il poligono ottenuto sezionando il poliedro con un piano che interseca tutti gli spigoli che incidono in V. Posto n come il numero degli spigoli ottenuti alla base, la base della piramide eliminata è un n-agono e costituisce una faccia del nuovo poliedro; quest'ultimo perde un vertice per acquistarne n, acquistando di conseguenza anche n nuovi spigoli.

Intuitivamente, troncare un poliedro può voler dire "limare" un suo vertice V fino a sostituirlo con un poligono che interseca tutti gli spigoli del poliedro che incidevano sul vertice V.

I poliedri troncati archimedei si ottengono troncando tutti i vertici di un poliedro regolare, in modo che il nuovo poliedro abbia tutti gli spigoli di ugual lunghezza.

Cubo

...Troncamento...

Cubo Troncato

Solidi di rotazione

In geometria, per rotazione si intende quel particolare movimento rigido avente come punto fisso

un punto, detto centro (quando si tratta di rotazioni nel piano)
una retta, detta asse di rotazione (quando si tratta di rotazioni nello spazio)

Questo movimento trasla tutti i punti intorno al centro (o asse) di un angolo fissato.

Un solido di rotazione è una figura tridimensionale generata dalla rotazione di una figura piana detta superficie di rotazione S, intorno ad una retta r detta asse di rotazione, secondo un angolo α. Se α corrisponde all'angolo giro (2Π [rad] o 360°) allora la rotazione si dice completa. In una rotazione completa, un punto P descrive una circonferenza C posta sul piano perpendicolare alla retta r e passante per P.

Questo formalizza la percezione sensoriale secondo cui ruotare un oggetto indeformabile equivale a variare l'angolazione di tutti i suoi punti della medesima quantità, lasciando cioè invariate le relazioni angolari reciproche. In particolare, una rotazione è una trasformazione che preserva il prodotto scalare.

I principali solidi di rotazione sono il cilindro retto, il cono retto e la sfera.

Cilindro Retto

Un cilindro retto è un solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati. N.B. Il cilindro retto è un particolare cilindro a base circolare.

Viene definita altezza h del cilindro retto il lato che funge da asse di rotazione, mentre entrambi i lati del rettangolo perpendicolari all'altezza sono detti raggi di base. Nella rotazione, quest'ultimi descrivono due cerchi paralleli e distanti h tra loro, i quali sono detti basi del cilindro retto. In un cilindro retto qualsiasi si possono sempre identificare:

Una Superficie laterale, ovvero la parte della superficie cilindrica descritta dalla rotazione del lato del rettangolo parallelo ad h.
Una Superficie totale, data dall'unione della superficie laterale e la superficie di entrambe le basi.
Il Volume, ovvero la sezione di spazio delimitata dalla superficie del cilindro retto ed interna ad esso.

Un particolare cilindro retto è il cilindro equilatero, la cui altezza è uguale al doppio del raggio di base.

Cono indefinito

Per dare una definizione di cono indefinito dobbiamo considerare due semirette r e g che si incontrino in un punto V e l'angolo α da esse formato. Considerando tutte le infinite rotazione di r attorno all'asse g dall'angolo viene descritta la figura solida in esame.

Possiamo quindi affermare che: si chiama cono indefinito la parte di spazio coinvolta nella rotazione completa di un angolo convesso attorno a uno dei suoi lati, che fa da asse.

La retta r è detta generatrice del cono perché delimita la superficie della figura, detta superficie conica. La superficie conica è considerata una superficie rigata, in quanto la si può pensare formata da infinite rette, formanti tutte lo stesso angolo con l'asse del cono.

inoltre la superficie conica è sviluppabile su un piano, in quanto si può pensare di 'stenderla' in modo che essa si disponga su un piano.

Una particolarità del cono sta nel fatto che sezionando una superficie conica con un piano si ottengono delle curve chiamate appunto coniche. A seconda dei parametri quali inclinazione del piano rispetto all'asse del cono si possono avere ellissi, circonferenze o rami di iperbole.

Cono retto

Si dice cono finito retto (o più semplicemente cono) l'intersezione di un cono indefinito con un semispazio contenente il suo vertice e e delimitato da un piano perpendicolare al suo asse.

Il cerchio formatosi dall'intersezione tra cono indeinito e piano di sezione è la base del cono. Il raggio della circonferenza delimitante la base è detto raggio di base.

Il segmento appartenente alla retta secante perpendicolarmente il piano di sezione e compreso tra base e vertice è chiamato altezza del cono.

Il segmento appartenente alla superficie conica e congiungente il vertice con la circonferenza individuata sul piano di sezione è detto apotema.

In un cono qualsiasi si possono sempre identificare:

Superficie laterale, ovvero la parte di superficie descritta dalla rotazione dell'apotema;
Superficie totale, data dall'unione della superficie laterale e della superficie della base;
Volume, ovvero la sezione di spazio limitata dalla superficie del cono retto ed interna ad esso.

Un particolare cono retto è il cono equilatero, in cui l'apotema è uguale al doppio del raggio di base. La dimostrazione risulta facile, utilizzando il teorema di Pitagora, in quanto questa figura è ottenuta dalla rotazione di un triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60° (metà triangolo equilatero).

Tronco di cono

Sezionando un cono con un piano parallelo alla base otteniamo un cono più piccolo, con le medesime proporzioni di quello di partenza, ed un tronco di cono.

Sfera

Una sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro, che appartiene all'asse di rotazione. La semicirconferenza che ruota genera una superficie detta superficie sferica. Il raggio della semicirconferenza è detto raggio della sfera.

Sia la sfera che la superficie sferica possono essere considerate dei luoghi geometrici:

La sfera è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza dal centro minore o uguale al raggio.
La superficie sferica è il luogo dei punti dello spazio che hanno distanza dal centro uguale al raggio.

Superfici e volumi

• DEFINIZIONE:

Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo. Viene valutato ricorrendo a molte diverse unità di misura. L'unità adottata dal Sistema Internazionale è il metro cubo, simbolo m³.

Il volume di un oggetto solido è un valore numerico utilizzato per descrivere a 3 dimensioni quanto spazio occupa il corpo. Ad oggetti ad una dimensione (come una linea) o a 2 dimensioni (come un quadrato) si assegna per convenzione volume 0 in uno spazio tridimensionale.

Matematicamente i volumi sono definiti mediante l'applicazione di calcolo integrale, come se il corpo fosse formato dalla somma di una grandissima quantità di piccoli cubi. La generalizzazione di volume, arbitrariamente esteso a più dimensioni, viene chiamato contenuto.

Formule geometriche per poliedri

Parallelepipedi

	Diagonale	Superficie laterale	Superficie totale	Volume
Prisma retto		$S_{l}=2p\cdot h$	$S_{t}=S_{l}+2A_{b}\,$	$V=A_{b}\cdot h$
Parallelepipedo retto		$S_{l}=2p\cdot h$	$S_{t}=S_{l}+2A_{b}\,$	$V=A_{b}\cdot h$
Parallelepipedo rettangolo	$d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$	$S_{l}=2p\cdot h$	$S_{t}=S_{l}+2A_{b}\,$	$V=a\cdot b\cdot c$
Cubo	$d=l\cdot {\sqrt {3}}$	$S_{l}=4\cdot l^{2}$	$S_{t}=6\cdot l^{2}$	$V=l^{3}\,$

Parallelepipedo retto

Poligoni

	Poligono regolare	Altezza	Diagonale	Area della superficie	Volume
Tetraedro	Triangolo	$h={\frac {1}{3}}l{\sqrt {6}}$		$S_{t}=l^{2}{\sqrt {3}}$	$V={\frac {1}{12}}l^{3}{\sqrt {2}}$
Cubo	Quadrato		$d=l{\sqrt {3}}$	$S_{t}=6l^{2}\,$	$V=l^{3}\,$
Ottaedro	Triangolo			$S_{t}=2l^{2}{\sqrt {3}}$	$V={\frac {1}{3}}l^{3}{\sqrt {2}}$
Dodecaedro	Pentagono			$S_{t}=15l^{2}{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}$	$V=l^{3}{\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}$
Icosaedro	Triangolo			$S_{t}=l^{2}5{\sqrt {3}}$	$V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)l^{3}$

Icosaedro

Piramidi

	Superficie laterale	Superficie totale	Volume
Piramide qualsiasi		$S_{t}=S_{l}+A_{b}\,$	$V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}$
Piramide retta	$S_{l}={\frac {2p\cdot a}{2}}$	$S_{t}=S_{l}+A_{b}\,$	$V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}$
Tronco di piramide	$S_{l}={\frac {(2p+2p')\cdot a}{2}}$	$S_{t}=S_{l}+A_{b}+A_{b'}\,$	$V={\frac {(A_{b}+A_{b'}+{\sqrt {A_{b}\cdot A_{b'}}})\cdot h}{3}}$

Altri poliedri

	Superficie laterale	Superficie totale	Volume
Cilindro	$S_{l}=2\pi r\cdot h$	$S_{t}=S_{l}+2A_{b}\,$	$V=\pi r^{2}\cdot h$
Cono	$S_{l}=\pi r\cdot a$	$S_{t}=S_{l}+A_{b}\,$	$V={\frac {\pi r^{2}\cdot h}{3}}$
Tronco di cono	$S_{l}=\pi (r1+r2)\cdot a$	$S_{t}=S_{l}+A_{b}+A'_{b}\,$	$V={\frac {(A_{b}+A_{b'}+{\sqrt {A_{b}\cdot A_{b'}}})\cdot h}{3}}$
Sfera		$S=4\pi r^{2}\,$	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Cono

Principio di Cavalieri

Nel piano

“Se due superfici di un piano sono tagliate da un fascio di rette parallele in modo che le corde corrispondenti siano uguali, allora le due superfici sono equivalenti; se le corde corrispondenti stanno tutte nel rapporto r, allora anche le due superfici stanno nel medesimo rapporto”.

È possibile semplificare l’enunciato nel modo seguente, per verificare l'equivalenza tra figure piane:

“Due figure piane sono equivalenti se esiste una retta tale che ogni altra retta parallela ad essa le interseca secondo segmenti di uguale lunghezza”.

Il parallelogramma AFDC viene diviso dalla diagonale CF in due triangoli e si considera il segmento HE chiamandolo indivisibile del triangolo CDF parallelo alla base CD. Prendendo BC = FE e tracciando BM parallelo a CD si individua un indivisibile BM del triangolo ACF il quale è sovrapponibile a HE e quindi equivalente ad esso.

È possibile accoppiare tutti gli indivisibili contenuti nel triangolo CDF con i corrispondenti indivisibili uguali contenuti nel triangolo ACF; i due triangoli hanno dunque aree uguali. Il parallelogramma AFDC è la somma degli indivisibili contenuti nei due triangoli ACF e CDF.

L'area di qualunque figura piana è data dalla sommatoria degli infiniti segmenti che la compongono.

Nello spazio

“Se due solidi sono tagliati da un fascio di piani paralleli in modo che ciascuno di essi determini sezioni equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti; se le sezioni corrispondenti stanno tutte in un rapporto r, allora anche i volumi dei due solidi stanno nel rapporto r”.

È possibile semplificare l’enunciato nel modo seguente, per verificare l'equivalenza tra solidi:

“Due solidi sono equivalenti se esiste un piano tale che ogni altro piano parallelo ad esso li interseca secondo sezioni equivalenti”

Cavalieri considera l’area costituita da un numero indefinito di segmenti paralleli equidistanti e il volume composto da un numero indefinito di aree piane parallele; questi elementi sono detti rispettivamente indivisibili di area e di volume. Cavalieri si rende conto che il numero di indivisibili che costituiscono un’area o un volume deve essere indefinitamente grande, ma non cerca di approfondire questo fatto. Questo enunciato è noto anche come Principio di Cavalieri degli indivisibili.