Matematica per le superiori/Funzioni

Si dice funzione una relazione nella quale ad ogni elemento del primo insieme, chiamato dominio, corrisponde uno e un solo elemento nel secondo insieme, chiamato codominio.

Definizioni

In termini formali possiamo scrivere una funzione generica:

$f:A\to B\,$

$x\mapsto f(x)$

Ovvero: è definita la funzione f con dominio in A e codominio in B che a x associa f(x), dove f(x) è l'elemento del codominio associato da x. f(x) è chiamato immagine di x; ed x è a sua volta controimmagine di f(x).

Ad esempio:

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$x\mapsto x+1$

Abbiamo definito una funzione f da R in R che associa ad ogni numero reale il suo successivo numero reale; ad esempio, a 1 associa 2, ovvero l'immagine dell'elemento 1 è 2 e la controimmagine in A dell'elemento 2 appartenente a B è 1. Potremo scrivere:

$f(1)=2$

Per ogni funzione è possibile definire il cosiddetto insieme immagini cioè l'insieme degli elementi del codominio che hanno una controimmagine nel dominio, cioè l'insieme delle immagini della funzione.

Prendiamo come esempio un'altra funzione:

$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$x\mapsto x^{2}-1$

Questa funzione g associa ad ogni numero reale il precedente del suo quadrato. Ad esempio g(1) = 0, g(3) = 8 e g(12) = 143; possiamo notare però ad esempio che g(-0) = -1 e g(-5) = 24, ossia che il valore di g(x) non sarà mai un numero minore di -1, in quanto x² è sempre positivo o nel peggiore dei casi nullo (e di conseguenza x² -1 sarà sempre maggiore o uguale a -1). In questo caso possiamo dire che l'insieme immagini della funzione g non combacia con il codominio: nel nostro caso infatti equivale a [-1; +&infinity;) (ovvero, tutti i numeri compresi tra -1 e infinito). In altri termini, tutti gli elementi minori di -1 non hanno una controimmagine nel dominio, in quanto non è possibile arrivare ad essi applicando la funzione ad R.