Esercizi di matematica per le superiori/Studio di funzioni

Sommario

Studia le seguenti funzioni:

1. $y=x^{2}+4x+7$
2. $y={\frac {x+4}{x-2}}$
3. $y={\frac {\log _{2}{(x-1)}}{x-2}}$
4. $y=xe^{x}$

Studio della funzione n°1 (Wolfram|Alpha)

$y=x^{2}+4x+7$

Condizioni di esistenza

La funzione è definita per $x\in \mathbb {R}$. Il dominio è quindi $\left(-\infty ,+\infty \right)$.

Simmetrie

Il dominio è simmetrico. La funzione potrebbe essere o pari o dispari. Sostituendo -x ad x risulta:

$f(-x)=(-x)^{2}+4(-x)+7=x^{2}-4x+7\Rightarrow f(-x)\neq -f(x)\lor f(-x)\neq f(x)$

La funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Procediamo con l'intersezione dell'asse x, ovvero poniamo y = 0:

$x^{2}+4x+7=0$

$x_{1,2}={\frac {-4\pm {\sqrt {4^{2}-4*7}}}{2}}$

Il delta è minore di zero, si hanno quindi soluzioni nel dominio dei numeri complessi ma non nei numeri reali. Quindi non vi sono intersezioni con l'asse x.

Procediamo ora con l'intersezione dell'asse y, ovvero poniamo x = 0:

$y=0^{2}+4(0)+7$

$y=7$

La funzione passa quindi per il punto A=(0,7)

Segno della funzione

Poniamo ora y > 0, ovvero la funzione maggiore di zero, in modo da determinare dove la funzione passa sotto e dove sopra l'asse x.

$x^{2}+4x+7>0$

Avevamo già determinato precedentemente che il delta era minore di zero, quindi, dato che c'è corrispondenza tra il segno della disequazione e il segno del coefficiente del monomio di grado maggiore, la funzione è sempre positiva.

Asintoti

Procediamo ora con la determinazione degli asintoti orizzontali, verticali ed obliqui.

1. Asintoto orizzontale:

   $\lim _{x\to \infty }{x^{2}+4x+7}=\lim _{x\to \infty }{\infty ^{2}+4\infty +7}=\infty$

   Non esiste quindi asintoto orizzonate

2. Asintoto verticale:

   Non avendo escluso alcun valore dal CE, non esistono asintoti verticali

3. Asintoto obliqui:

   Dato che $\lim _{x\to \infty }{x^{2}+4x+7}=\infty$, potrebbe esserci quello obliquo. Determiniamo quindi il coefficiente angolare dell'ipotetico asintoto obliquo:

   $\lim _{x\to \infty }{\left({\frac {x^{2}+4x+7}{x}}\right)}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}(1+\not {\frac {4}{x}}+\not {\frac {7}{x^{2}}})}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}=\infty$

   Non esiste quindi asintoto obliquo

Derivata prima

Deriviamo la funzione. Ricordiamo che il dominio della funzione è tutto R.

$f'(x)=2x+4$

Il dominio della funzione derivata è ancora R.

Studio dei punti a tangenza orizzontale

Ricaviamo ora i punti stazionari della funzione. Poniamo, quindi, la derivata uguale a zero.

$2x+4=0$

$x=-2$

In x = -2 la derivata è nulla, quindi probabilmente c'è un massimo o un minimo relativo

Segno della derivata prima

Dato che la derivata prima determina anche la monotonia della funzione, studiamo il segno della derivata per capire quando essa cresce e quando decresce. In questo passaggio possiamo anche capire se x = -2 è un flesso.

$2x+4>0$

$x>-2$

La funzione decresce prima di -2 e cresce successivamente. In -2 c'è quindi un punto di flesso, precisamente è il punto di minimo relativo.

Derivata seconda

Ricaviamo la derivata seconda della funzione.

$f''(x)=2$

Dalla derivata seconda ricaviamo che la concavità del grafico è rivolta verso l'alto, poiché $f''(x)>0\forall x\in R$

{{Cassetto |titolo=Studio della funzione n°2 (Wolfram|Alpha) |testo=

$y={\frac {x+4}{x-2}}$

Condizioni di esistenza

La funzione è definita per $x\in \mathbb {R} -\{2\}$ poiché il denominatore della frazione deve essere diverso da zero ($x-2\neq 0$). Il dominio è quindi $\left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$.

Simmetrie

Il dominio non è simmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Procediamo con l'intersezione dell'asse x, ovvero poniamo y = 0:

${\frac {x+4}{x-2}}=0$

$x=-4$

La funzione passa per il punto A=(-4,0).

Procediamo ora con l'intersezione dell'asse y, ovvero poniamo x = 0:

$y={\frac {0+4}{0-2}}$

$y=-2$

La funzione passa quindi per il punto B=(0,-2)

Segno della funzione

Poniamo ora y > 0, ovvero la funzione maggiore di zero, in modo da determinare dove la funzione passa sotto e dove sopra l'asse x.

${\frac {x+4}{x-2}}>0$

Studiando il segno del numeratore e del denominatore, risulta che la frazione è positiva per $x<-4\lor x>2$. La funzione sarà negativa per i valori compresi tra -4 e 2.

Asintoti

Procediamo ora con la determinazione degli asintoti orizzontali, verticali ed obliqui.

1. Asintoto orizzontale:

   $\lim _{x\to \infty }{\frac {x+4}{x-2}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x(1+\not {\frac {4}{x}})}{x(1-\not {\frac {2}{x}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x}}=1$

   La retta di equazione y=1 è asintoto orizzontale.

2. Asintoto verticale:

   Calcoliamo ora il limite della funzione quando tende ai valori esclusi dal dominio, quindi quando tende a 2

   $\lim _{x\to 2}{\frac {x+4}{x-2}}=\lim _{x\to 2}{\frac {6}{0}}=\infty$

   La retta di equazione x=2 è asintoto verticale. Studiamo ora il comportamento della funzione quando tende a 2^- e a 2⁺. Dato che il polinomio x-2 è positivo per x > 2, $\lim _{x\to 2^{+}}{\frac {6}{0^{+}}}=+\infty$ mentre $\lim _{x\to 2^{-}}{\frac {6}{0^{-}}}=-\infty$

3. Asintoto obliqui:

   Dato che esiste l'asintoto orizzontale non può esiste asintoto obliquo.

Derivata prima

Deriviamo la funzione. Ricordiamo che il dominio della funzione è R-{2}.

$f'(x)={\frac {-6}{(x-2)^{2}}}$

Il dominio della funzione derivata è ancora R-{2}.

Studio dei punti a tangenza orizzontale

Ricaviamo ora i punti stazionari della funzione. Poniamo, quindi, la derivata prima uguale a zero.

${\frac {-6}{(x-2)^{2}}}=0$

$\not \exists x\in R$

Segno della derivata prima

Dato che la derivata prima determina anche la monotonia della funzione, studiamo il segno della derivata per capire quando essa cresce e quando decresce.

${\frac {-6}{(x-2)^{2}}}>0$

Il numeratore è sempre negativo per ogni x mentre il denominatore è sempre positivo per ogni x diverso da 2. La derivata prima è quindi negativa per ogni valore nel dominio.

Derivata seconda

Studio dei punti di flesso

Segno della derivata seconda

}}

Studio della funzione n°3 (Wolfram|Alpha)

$y={\frac {\log _{2}{(x-1)}}{x-2}}$

Condizioni di esistenza

La funzione esiste per $x-2\neq 0\lor x-1>0$ poiché il denominatore della frazione deve essere diverso da zero, così come l'argomento del logaritmo deve essere positivo. La funzione è quindi definita per $x\neq 2\lor x>1$ e il dominio è $\left(1,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$.

Simmetrie

Il dominio non è simmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Procediamo con l'intersezione dell'asse x, ovvero poniamo y = 0:

${\frac {\log _{2}{(x-1)}}{x-2}}=0$

$\log _{2}{(x-1)}=0$

$\log _{2}{(x-1)}=log_{2}{1}$

$x-1=1$

$x=0$

La funzione passerebbe per il punto A=(0,0) se solo x = 0 fosse compreso nel dominio. Perciò la funzione non interseca l'asse x.

Procediamo ora con l'intersezione dell'asse y, ovvero poniamo x = 0: ciò non si può fare poiché x = 0 è escluso dal dominio. La funzione non interseca quindi l'asse y.

Segno della funzione

Poniamo ora y > 0, ovvero la funzione maggiore di zero, in modo da determinare dove la funzione passa sotto e dove sopra l'asse x.

${\frac {\log _{2}{(x-1)}}{x-2}}>0$

Studiando il segno del numeratore e del denominatore, risulta che la frazione è positiva solo per $x>2$, dato che nello studiare il segno bisogna escludere i valori minori di 1, non compresi nel dominio. La funzione sarà negativa per i valori compresi tra 1 e 2.

Asintoti

Procediamo ora con la determinazione degli asintoti orizzontali, verticali ed obliqui.

1. Asintoto orizzontale:

   $\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{2}{(x-1)}}{x-2}}{\stackrel {\left[{\frac {\infty }{\infty }}\right]}{=}}$

2. Asintoto verticale:

   Calcoliamo ora il limite della funzione quando tende ai valori esclusi dal dominio, quindi quando tende a 2

   $\lim _{x\to 2}{\frac {\log _{2}{(x-1)}}{x-2}}{\stackrel {\left[{\frac {0}{0}}\right]}{=}}$

   $\lim _{x\to 2}{\frac {\log _{2}{(x-2+1)}}{x-2}}$

   $\lim _{x\to 2}{\frac {1}{\ln {2}}}$

   Non esiste quindi asintoto verticale.

3. Asintoto obliqui:

Derivata prima

Procediamo con il calcolo della derivata prima della funzione.

1. $f'(x)={\frac {D[\log _{2}{(x-1)}]\cdot (x-2)-\log _{2}{(x-1)}}{(x-2)^{2}}}$

   $f'(x)={\frac {{\frac {1}{(x-2)\ln {2}}}\cdot (x-2)-\log _{2}{(x-1)}}{(x-2)^{2}}}$

   $f'(x)={\frac {1-\log _{2}{(x-1)}\ln {2}}{\ln {2}(x-2)^{2}}}$

Il dominio della funzione derivata coincide con il dominio della funzione iniziale.