Esercizi di matematica per le superiori/Studio di funzioni

Studia le seguenti funzioni:


{{Cassetto |titolo=Studio della funzione n°2 (Wolfram|Alpha) |testo=

Condizioni di esistenza

La funzione è definita per poiché il denominatore della frazione deve essere diverso da zero (). Il dominio è quindi .

Simmetrie

Il dominio non è simmetrico, quindi la funzione non è né pari né dispari.

Intersezioni con gli assi

Procediamo con l'intersezione dell'asse x, ovvero poniamo y = 0:

La funzione passa per il punto A=(-4,0).

Procediamo ora con l'intersezione dell'asse y, ovvero poniamo x = 0:

La funzione passa quindi per il punto B=(0,-2)

Segno della funzione

Poniamo ora y > 0, ovvero la funzione maggiore di zero, in modo da determinare dove la funzione passa sotto e dove sopra l'asse x.

Studiando il segno del numeratore e del denominatore, risulta che la frazione è positiva per . La funzione sarà negativa per i valori compresi tra -4 e 2.

Asintoti

Procediamo ora con la determinazione degli asintoti orizzontali, verticali ed obliqui.

  1. Asintoto orizzontale:
    La retta di equazione y=1 è asintoto orizzontale.
  2. Asintoto verticale:
    Calcoliamo ora il limite della funzione quando tende ai valori esclusi dal dominio, quindi quando tende a 2
    La retta di equazione x=2 è asintoto verticale. Studiamo ora il comportamento della funzione quando tende a 2- e a 2+. Dato che il polinomio x-2 è positivo per x > 2, mentre
  3. Asintoto obliqui:
    Dato che esiste l'asintoto orizzontale non può esiste asintoto obliquo.
Derivata prima

Deriviamo la funzione. Ricordiamo che il dominio della funzione è R-{2}.

Il dominio della funzione derivata è ancora R-{2}.

Studio dei punti a tangenza orizzontale

Ricaviamo ora i punti stazionari della funzione. Poniamo, quindi, la derivata prima uguale a zero.

Segno della derivata prima

Dato che la derivata prima determina anche la monotonia della funzione, studiamo il segno della derivata per capire quando essa cresce e quando decresce.

Il numeratore è sempre negativo per ogni x mentre il denominatore è sempre positivo per ogni x diverso da 2. La derivata prima è quindi negativa per ogni valore nel dominio.

Derivata seconda
Studio dei punti di flesso
Segno della derivata seconda

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