Matematica per le superiori/Trigonometria

Teoria   —   Esercizi


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Misura degli AngoliModifica

Misura in gradi sessagesimaliModifica

Il grado è la 360ª parte dell'angolo giro e a sua volta viene diviso in 60 parti, formando un primo che a sua volta può ulteriormente venire diviso in altre 60 parti, formando il secondo. Ad esempio, con 43°15'22" indichiamo un angolo di 43 gradi, 15 primi e 22 secondi.

Misura in radiantiModifica

Consideriamo un angolo α l'arco sotteso corrispondente sulla circonferenza. L'angolo misura un radiante se la lunghezza di quest'arco è uguale al raggio. Se ad esempio consideriamo un angolo arbitrario β e r il raggio, abbiamo la proporzione

 

ne deriva che

 

semplificando il tutto considerando la circonferenza goniometrica con r=1

 

Si riportano qui alcuni valori in radianti dei corrispondenti gradi sessagesimali.

Gradi 0 18 30 45 60 90 135 150 180 270 360
Radianti 0                    

Funzioni GoniometricheModifica

Per definire le funzioni goniometriche, consideriamo il seguente grafico, rappresentate una circonferenza goniometrica, cioè una circonferenza di equazione x2+y2=1, vale a dire una circonferenza avente raggio pari a 1.

 

anche se ovviamente valgono anche per qualsiasi valore del raggio.

Coseno di un angolo  Modifica

Osservando il triangolo rettangolo POP', il coseno di un generico angolo   è dato dal rapporto tra il lato OP' e il raggio (nel nostro esempio 1).

 

nel caso della circonferenza goniometrica,  .

La funzione coseno è di tipo sinusoidale, cioè che si ripete ciclicamente. Il coseno inizia con valore 1 per l'angolo giro (o nullo), diminuendo progressivamente fino ad essere 0 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto diventa negativo assumento -1, il suo massimo valore negativo a 180º. Superati i tali risale e diventa 0 a 270º per poi ritornare 1 raggiunti i 360º.

Seno di un angolo  Modifica

Considerando lo stesso triangolo, il seno dell'angolo   è dato dal rapporto fra il segmento PP' e il raggio;

 

nel caso della circonferenza goniometrica di raggio=1,

 

La funzione seno è di tipo sinusoidale. Il seno inizia con valore 0 per l'angolo giro (o nullo), aumentando progressivamente fino ad essere 1 quando l'angolo è 90º. Superato l'angolo retto si avvia a ritornare nullo, assumento nuovamente il valore 0 a 180º. Superati i tali diventa negativo e raggiunge -1 a 270º, tornando poi 0 a 360º.


Tangente e cotangente di un angolo  Modifica

La tangente di un angolo è definita come il rapporto tra il seno ed il coseno del medesimo angolo, quindi

 

Possiamo dare anche un'interpretazione geometrica alla funzione tangente. Consideriamo infatti il grafico di una retta

 

L'equazione di questa retta è, come ben noto,  , dove m è il coefficiente angolare. In realtà la tangente è uguale al coefficiente angolare.

Infatti, se  , allora abbiamo che   e quindi, per la definizione data all'inizio di tangente,  .

Osservando la circonferenza goniometrica, la tangente è il segmento AT. La tangente non può esistere quando   dal momento che la retta tangente e il raggio vettore sono paralleli e non hanno quindi punti in comune.

La cotangente, come dice la seconda relazione fondamentale, è invece il reciproco della tangente:

 

Da ciò deriva che la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno dell'angolo e nel grafico della circonferenza goniometrica è rappresentato dal segmento BC

 

Il campo di esistenza della cotangente invece è 

A differenza del seno e del coseno, il grafico delle funzioni tangente e cotangente non formano una sinusoide, ma una tangentoide, pur essendo anch'esse cicliche. Il motivo di questa differenza risiede nel fatto che in alcuni punti la tangente non è definita, e più precisamente nei punti 90º e 270º, dove la funzione assume valori infinitamente grandi.

Il medesimo discorso vale anche per la cotangente, dove assume valore infinito nei punti 0 e 180º.

Valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoliModifica

Per comodità, si riportano i valori delle funzioni goniometriche in alcuni angoli notevoli.

Gradi Radianti seno coseno tangente cotangente
0 0 0 1 0  
15º          
18º          
30º          
45º       1 1
60º          
75º          
90º   1 0   0

Con l'uso di questi valori e con le formule che vedremo in seguito, è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

Archi AssociatiModifica

Abbiamo già visto che il seno ed il coseno assumono valori da -1 a 1 ciclicamente (ovviamente sempre nel caso della circonferenza goniometrica di raggio 1). In questa sezione vediamo come il seno ed il coseno si ripetono e si scambiano al variare dell'angolo e dei quadranti, rendendo quindi così possibile ridurre tutti i valori delle due funzioni al primo quadrante.

Angoli ComplementariModifica

Consideriamo l'angolo   e l'angolo  ;

 

I due triangoli OHP e OH'P' sono uguali (essendo gli angoli uguali) e uguali sono i loro lati, ovvero seno e coseno. Allora:  

Angoli SupplementariModifica

Consideriamo ora l'angolo   e l'angolo  ;

 

Anche in questo caso i triangoli sono uguali (OHP e OH'P' hanno il medesimo angolo  ), e osservando la figura si deduce che

 

 

 

Se invece consideriamo l'angolo  , otteniamo un angolo che differisce di un angolo retto da   e la relazione tra seno e coseno è identica a quella di   e  .

Sono due modi di vedere lo stesso angolo, come ad esempio, possiamo vedere un angolo di 110º sia come 180º-70º sia come 90º+20º.

Angoli che hanno per somma tre angoli rettiModifica

Consideriamo l'angolo   e  ;

 

Anche in questo caso i triangoli sono uguali e osservando la figura si deduce che

 

 

 

 

Possiamo anche vedere la situazione come angoli che differiscono di un angolo piatto, ed in tal caso considerare   e   e arrivare ai precedenti risultati nel medesimo modo, ossia osservando il grafico.

Angoli esplementariModifica

Consideriamo la differenza tra l'angolo giro e un angolo  , ossia  ;

 

Al solito, anche questi triangoli sono uguali e possiamo notare che

 

 

 

 

Anche qui possiamo vedere le cose in modo diverso, ossia sommando un angolo   a 270°, facendo però attenzione perché il risultato è diverso.

Infatti, osservando il grafico

 

abbiamo che

 

 

 

 

Angoli oppostiModifica

Infine consideriamo due angoli opposti   e  , ovvero l'angolo  ;

 

Ovviamente i trinagoli sono uguali e abbiamo che:

 

 

 

 

Operazioni algebriche con le funzioni goniometricheModifica

Osserviamo la figura, dove vengono rappresentati un angolo  ,   e la loro differenza  :

 

Con le funzioni goniometriche abbiamo che

 

e per rendersene conto è sufficiente un semplice esempio:   il cui seno vale  . È ovvio che   perché i rispettivi risultati sono   e 1.

Per avere il coseno e il seno dell'angolo  , è necessario utilizzare delle formule fondamentali da ricordare.

Formule di Sottrazione e AddizioneModifica

Queste formule permettono di ottenere il seno e il coseno di una somma algebrica di due angoli tramite il seno e il coseno dei singoli addendi. Non mi metto a scrivere tutti i calcoli che bisogna fare per arrivare a queste formule (potete ad esempio trovarli nella pagina http://ripmat.it/mate/i/ic/icaaa.html), mi limito a scrivere le formule cosicché puoi memorizzarle e consultarle velocemente.

 

 

 

 

Riguardo tangente e cotangente:

 

 

 

 

Formule di DuplicazioneModifica

Sono formule che derivano dalle formule precedenti, ponendo  .

Il motivo di queste formule deriva dal fatto che in generale:

 

  ecc...

Valgono allora le seguenti formule che permettono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente dell'angolo doppio rispetto a quello dato.

 

 

 

 

Formule di BisezioneModifica

Le formule di bisezione consentono di ottenere il seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un generico angolo  , avendo il coseno di  .

 

 

 

 

Formule di ProstaferesiModifica

Le formule di prostaferesi permettono di trasformare una somma o sottrazione di seni, coseni, ecc... in un prodotto.

 

 

 

 

 

Formule di WernerModifica

Queste formule sono un po' l'inverso delle formule di prostaferesi, ovvero le formule di Werner consentono di trasformare il prodotto di due seni, coseni o un prodotto di seno per un coseno, nelle rispettive somme o differenze.

 

 

 

Formule parametricheModifica

Le formule parametriche consentono di ricavare seno, coseno e cotangente mediante la tangente dell'angolo metà.

 

 

 

 

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