Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

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Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:

Esponente dispari

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La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice   della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla   l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

Esponente pari

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In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in   la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:

  • I valori di x per cui  
  • I valori di x per cui  

I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di   elevando all'indice della radice di  . La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.

Si avranno quindi i seguenti sistemi:

 

Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di  ,   dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di  ; la terza disequazione è quindi superflua.

Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:

 

In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.

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