Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:

${\sqrt[{n}]{A_{(x)}}}\geq B_{(x)}\,$

Esponente dispari

${\sqrt[{3}]{f_{(x)}}}>g_{(x)}\quad \rightarrow \quad f_{(x)}>g_{(x)}^{3}$

La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice $n$ della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla $n$ l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

Esponente pari

${\sqrt {f_{(x)}}}>g_{(x)}$

In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in $\mathbb {R}$ la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:

• I valori di x per cui $g_{(x)}\geq 0$
• I valori di x per cui $g_{(x)}<0\,$

I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di $g(x)$ elevando all'indice della radice di $f(x)$. La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.

Si avranno quindi i seguenti sistemi:

$\left\{{\begin{matrix}g_{(x)}>0\\f_{(x)}\geq 0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.\quad \cup \quad \left\{{\begin{matrix}g_{(x)}\leq 0\\f_{(x)}\geq 0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.$

Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di $g(x)>0$, $f(x)$ dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di $g(x)$; la terza disequazione è quindi superflua.

Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:

$\left\{{\begin{matrix}g_{(x)}>0\\f_{(x)}>g_{(x)}^{2}\end{matrix}}\right.\quad \cup \quad \left\{{\begin{matrix}g_{(x)}\leq 0\\f_{(x)}\geq 0\end{matrix}}\right.$

In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.

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