Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali

Teoria   —   Esercizi


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Per disequazione irrazionale si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:

Esponente dispariModifica

 

La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice   della radice sia dispari: in tal caso è sufficiente elevare alla   l'intera disequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.

Esponente pariModifica

 

In caso di indice pari, in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in   la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:

  • I valori di x per cui  
  • I valori di x per cui  

I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di   elevando all'indice della radice di  . La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.

Si avranno quindi i seguenti sistemi:

 

Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di  ,   dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di  ; la terza disequazione è quindi superflua.

Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:

 

In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.

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