Matematica per le superiori/Integrali

Indice del libro

Gli integrali si dividono in due tipi, gli integrali indefiniti e gli integrali definiti.

Integrali indefinitiModifica

Consideriamo una funzione   in un intervallo in cui esso è continua.

Essa può essere la derivata di una funzione? Se sì, di quale? Di quante? Esiste sempre una funzione di cui essa rappresenta la derivata?

Per rispondere a domande di questo tipo è nato l' integrale indefinito.

DefinizioneModifica

Si definisce integrale indefinito della funzione   in  , e si indica con  , l' insieme di tutte le funzioni primitive di  , cioè tutte quelle funzioni   la cui derivata vale  . Perciò, si può considerare l' integrale indefinito come l' operazione inversa della derivata, infatti:

 .

La presenza del termine additivo C, che può assumere un qualunque valore reale, indica che le primitive di una funzione sono infinite. Questo è giustificato dalla considerazione che, nella derivazione, il termine additivo, in quanto costante, viene eliminato. Perciò:

 .

Di conseguenza, la funzione f(x) contenuta nell'integrale, può rappresentare la derivata di una qualsiasi delle funzioni:

 .

Interpretazione geometricaModifica

Le primitive   della funzione integranda   rappresentano, geometricamente, una famiglia di curve generata dalla traslazione verticale (secondo un vettore di modulo   e direzione verticale) di una qualsiasi di esse. Se ne deduce facilmente che due curve, di cui una sia la traslazione dell'altra, hanno la stessa derivata (nei punti in cui esiste la derivata, ovvero nei punti in cui la curva ha una retta tangente ben definita) se e solo se la traslazione è verticale.

ProprietàModifica

Continuità e integrabilitàModifica

Ogni funzione continua in un intervallo ammette, nell'intervallo stesso, una famiglia di primitive, cioè è integrabile in quell'intervallo. Perciò, la continuità è condizione sufficiente per l'integrazione della funzione stessa.

L' integrale indefinito come operatore lineareModifica

L' integrale è un operatore lineare, cioè:

 .

Ciò significa che l' integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle singole funzioni.

Calcolo di integrali indefinitiModifica

Ricordando che:

 

si ricavano tutte le formule di interazione:

 
 
 ,    con  
 
 
 
 
 
  ne seguono altre direttamente ricavabili dalle loro derivate prime.

Nell'integrale indefinito, il simbolo   (che rappresenta il differenziale di  ), indica la variabile rispetto alla quale si sta integrando la funzione. Nelle formule riportate sopra la variabile secondo cui si integra la funzione è  . Esse rimangono comunque valide nel caso in cui si stia integrando la funzione rispetto ad una qualsiasi variabile o funzione della variabile.

Integrazione di funzioni composteModifica

Data una funzione  , la sua derivata risulta essere:

 
 .

Poiché   rappresenta la derivata prima di x (cioè 1), la quantità   rappresenta la derivata prima di  . Quindi:  . Da cui:  .

Così facendo, si è effettuato un cambio di variabile, cioè si è posta come variabile secondo cui integrare la funzione  , rendendo possibile l' applicazione di una delle formule riportate sopra (sostituendo ogni   con  ).

EsempioModifica

 
 
 
 

Integrazione di funzioni razionali fratteModifica

Nel caso di un integrale del tipo:  , non risolvibile con una delle formule di cui sopra, e detto   il grado di   e   il grado di  , se  , applicando la legge fondamentale della divisione, per la quale:

 

si riduce la frazione alla somma di un polinomio e di un'altra frazione in cui il grado del numeratore sia inferiore a quello del denominatore attraverso una divisione di polinomi. Qualsiasi caso, perciò, si riconduce al caso in cui  . A questo punto, si distinguono tre casi, a seconda del determinante ( ) del polinomio al denominatore (qui considerato al massimo di secondo grado).

 Modifica

In questo caso, il polinomio al denominatore si può scrivere come:  , dove   e   sono due radici (soluzioni) del polinomio. Perciò:

 

Per il principio di identità dei polinomi (due polinomi sono uguali quando hanno lo stesso grado e a termini di uguale grado corrispondono uguali coefficienti, cioè hanno termini ordinatamente uguali):

 

Ricavando   e  , si può scomporre il rapporto di due polinomi in due rapporti fra un numero (  e  ) e un polinomio, riconducibili perciò all'integrale dell' inverso di una funzione (che risulta essere il logaritmo della funzione stessa).

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Si procede come nel caso precedente, con la sola differenza che:   e si pone  .

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In questo caso il polinomio al denominatore non può essere scomposto e, perciò, si deve tentare di ricondurre l' integrale al caso:

 

Perciò, si deve portare   nella forma  . Spesso per farlo è necessario, al denominatore, completare un quadrato e/o raccogliere un valore. Ecco un esempio 'completo':

 

In questo caso, il valore del determinante della funzione risulta  . Innanzitutto, si raccoglie il coefficiente del termine al quadrato:

 

A questo punto, è necessario ottenere al denominatore il quadrato di un binomio. Poiché il termine al quadrato ha coefficiente 1, il primo termine del binomio è necessariamente  . Il termine in cui è presente l' incognita ( ) al primo grado deve rappresentare il doppio (cioè  , dove   è il secondo termine del binomio cercato). Per ottenere un quadrato al denominatore, è sufficiente addizionare e sottrarre al denominatore stesso la quantità   (in quanto, di fatto, si aggiunge zero al denominatore, lasciandolo invariato).

 
 
 
 
 
 
 

Integrazione per sostituzioneModifica

Nel calcolo di integrali può risultare utile, in alcuni casi addirittura indispensabile, sostituire la variabile iniziale (solitamente  ), con un'altra variabile, che rappresenti una funzione della variabile iniziale. Detto in altri termini, potremmo decidere di indicare con una qualsiasi variabile (ad esempio  ) un funzione   della variabile iniziale.

Poiché, però, come detto, il termine   indica la derivata di  , se questa variabile viene sostituita da un'altra che ne rappresenta una funzione, allora anche il termine   deve essere sostituito dalla derivata di  . Perciò:

 
 

La decisione della funzione da sostituire è sempre a discrezione di chi esegue i calcoli, ma esistono alcune sostituzioni 'standard':

  •  
  •  , con  
se  , con   soluzione dell' equazione
se  
  •  

Integrazione per partiModifica

L'integrazione per parti deriva direttamente dalla formula della derivata del prodotto di due funzioni. Infatti, data  

 
 
 

Ricordando che inizialmente si è posto  :

 

Integrali definitiModifica

L' applicazione pratica, effettiva di un integrale si raggiunge con l' integrale definito, ed è il calcolo dell' estensione dell' area sottesa ad un curva di equazione nota.

Le riflessioni usate per calcolare l' area sottesa sono del tutto analoghe a quelle usate per la quadratura del cerchio. Cioè: l' area del cerchio è sempre compresa fra il valore dell' area del poligono circoscritto ed il valore dell' area del poligono inscritto. Inoltre. più il numero di lati dei due poligoni aumenta, più le loro aree si avvicineranno a quella effettiva del cerchio, 'raggiungendola' per un numero infinito di lati. Questo metodo, inventato da Eudosso di Cnido nel IV secolo a.C., è detto di esaustione. Si procede analogamente per quanto riguarda la 'costruzione' dell' integrale definito.

Innanzitutto, nel caso degli integrali definiti si deve considerare una curva solo in un suo intervallo (indicato solitamente con  ) chiuso e limitato, e nel quale la funzione sia continua. Si definisce trapezoide la figura mistilinea formata da: il tratto di curva considerata, il tratto   dell' asse   ed i due segmenti   e  .

DefinizioneModifica

ProprietàModifica

Teorema della mediaModifica

Interpretazione geometricaModifica

La funzione integraleModifica

Teorema fondamentale del calcolo integraleModifica

Formula fondamentale del calcolo integraleModifica

Integrazione per sostituzioneModifica

Integrazione di funzioni pari e dispariModifica

Calcolo dell'area sottesa da una curvaModifica

Misura di un arco di curvaModifica

Teorema di ArchimedeModifica

Volume di un solido di rotazioneModifica

Integrali impropriModifica

Primo tipoModifica

Secondo tipoModifica

Continuità e integrabilitàModifica