Esercizi di matematica per le superiori/Limiti

Richiami di teoria: Limiti.

1 Seleziona i limiti al finito corretti e, dopo averli corretti, trascrivili su un foglio e dimostra che questi limiti sono corretti:

	$\lim _{x\to -3}{\frac {x+3}{1+x^{2}}}=0$
	$\lim _{x\to 8}\log _{2}{(x+8)}=4$
	$\lim _{x\to -1}{\frac {2x^{2}+5x+3}{4x^{2}-3x+2}}=3$
	$\lim _{x\to 1}{(x^{2}+x+8)}=10$
	$\lim _{x\to {\frac {\pi }{3}}}{\frac {\sin {2x}+\cos {x}}{\sin {5x}-\cos {(2x-{\frac {\pi }{3}})}}}=1$
	$\lim _{x\to 3}{(x^{3}+x+1)}=30$
	$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2^{x}}}=1$
	$\lim _{x\to \pi }{\frac {\tan {x}+\cos {x}}{\cos {x}+\sin {2x}}}=0$
	$\lim _{x\to 2}{\frac {x^{2}+4}{2x-4}}=2$
	$\lim _{x\to {\frac {1}{2}}}{\frac {2x^{3}+x^{2}-2x-1}{4x^{2}-1}}+{\frac {5x}{4}}+x=1$

2 Calcola i seguenti limiti al finito di queste funzioni:

$\lim _{x\to 1}-{\frac {x+3}{x-2}}$

$\lim _{x\to 0}\log _{2}{(x+8)}$

$\lim _{x\to -1}{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{2}-7x+12}}-{\frac {7x}{10}}$

$\lim _{x\to 0}\log _{2}{(8^{x}+x^{8}+8)}$

$\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin {x}+\cos {x}}{\sin {2x}-\cos {(x-{\frac {\pi }{2}})}}}$

3 Calcola i seguenti limiti all'infinito di queste funzioni:

$\lim _{x\to +\infty }(-x+3)$

$\lim _{x\to +\infty }\log _{2}{(x+8)}$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{2}-7x+12}}-{\frac {7x}{10}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{5}-3x+2}{12-x^{2}+3x^{5}+x+x^{3}}}$

4 Calcola i seguenti limiti al finito di queste funzioni:

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{3}+x^{2}-x-1}}$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+x}{x^{4}-3x^{2}+1}}$

$\lim _{x\to 1}{\left({\frac {1}{1-x}}-{\frac {3}{1-x^{3}}}\right)}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x}}-1}}$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x+{\sqrt {x}}}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {1+x+x^{2}}}-{\sqrt {1-x+x^{2}}}}{x^{2}-x}}$

$\lim _{x\to 1}{\frac {{\sqrt {x+3}}-{\sqrt {3x+1}}}{x-1}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {1+x^{2}}}-1}{x^{2}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{|x|}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt {1+x\sin {x}}}-1}{x^{2}}}$

$\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\left[\left(1-\tan {x}\right)\tan {2x}\right]}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}{x}}{1-\cos {x^{3}}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {1-{\sqrt {\cos {x}}}}{1-\cos {\sqrt {x}}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {2x}}{\ln {(1+x)}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {3x}-\sin {x}}{\ln {(1+x)}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(x+2)}-\ln {2}}{x}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {(\cos {x})}}{x^{2}}}$

$\lim _{x\to \infty }{\left({\frac {x^{2}+2}{x^{2}}}\right)^{x^{2}+2}}$

$\lim _{x\to 1}{\left({\frac {x-1}{x^{2}-1}}\right)^{x+1}}$

$\lim _{x\to \infty }{\left({\frac {x^{2}+2}{2x^{2}+1}}\right)^{x^{2}}}$

$\lim _{x\to 0}{\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x}}}$

$\lim _{x\to 0}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac {1}{\tan {x}}}}$

$\lim _{x\to +\infty }{x^{\frac {x}{x^{2}+1}}}$

$\lim _{x\to +\infty }{e^{-x}\left(e+{\frac {2}{x}}\right)^{x}}$

$\lim _{x\to 0}{\left(2-\cos {x}\right)^{\csc ^{2}{x}}}$

$\lim _{x\to \infty }{x\left(e^{\frac {1}{x}}-1\right)}$

$\lim _{x\to \infty }{x^{2}\left(1-\cos {\frac {1}{x}}\right)}$

$\lim _{x\to {\frac {\pi }{4}}}{\frac {\cos {2x}}{\sin {x}-\cos {x}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{\sin {2x}}-e^{\sin {x}}}{x}}$

$\lim _{x\to 0^{+}}{\left(1+\sin ^{2}{x}\right)^{\frac {1}{x^{3}}}}$

$\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{x}}$

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {\sqrt {\frac {1+x}{x^{3}}}}{\sin {\frac {1}{x}}}}$

$\lim _{x\to 1}{\left(1-x\right)\tan {\frac {x\pi }{2}}}$

$\lim _{x\to +0}{\left(\tan ^{2}{\sqrt {x}}+1\right)^{\frac {1}{2x}}}$