Matematica per le superiori/Numeri complessi

I numeri immaginari

Definizione

I numeri immaginari 'nascono' per dare soluzione a equazioni del tipo $x^{2}+1=0$.

Perciò, come il numero 1 è l' unità dei numeri reali, è definita un'unità dei numeri immaginari (il cui insieme è quello degli immaginari, appunto, ed è indicato da $\mathbb {I}$). Questi numeri sono chiamati immaginari perché l' unità di questo insieme di numeri è definita come $i={\sqrt {-1}}$.

Perciò, i numeri immaginari sono definiti come il prodotto di un numero reale a per l' unità immaginaria i. Quindi: $\forall a\in \mathbb {R} \Rightarrow a\cdot i\in \mathbb {I}$.

Quindi un qualsiasi numero, ad esempio ${\sqrt {-36}}$ può essere scritto come prodotto di un numero reale e dell' unità immaginaria, ad esempio $6\cdot i$.

L' insieme degli immaginari è completamente separato da quello dei reali, fatta eccezione per lo zero, che può anche essere scritto come $0\cdot i$.

Proprietà

I numeri immaginari seguono tutte le proprietà dei numeri reali, con l' eccezione dell' ordinamento. Infatti, il valore di $i$ è ignoto, cioè non può essere paragonato a nessun numero reale. Per questo motivo, non si può determinare la relazione fra due numeri immaginari: $\forall a<b\in \mathbb {R}$, non si può 'decidere' se $a\cdot i<b\cdot i$ o $a\cdot i>b\cdot i$ o $a\cdot i=b\cdot i$.

Per questo motivo le disequazioni non possono essere effettuate con i numeri immaginari

Riassumendo: $\forall a,b,c\in \mathbb {R}$

$a\cdot i+b\cdot i=(a+b)\cdot i$

$(a\cdot i)\cdot (b\cdot i)=(a\cdot b)\cdot i^{2}=(a\cdot b)\cdot (-1)=-(a\cdot b)$

${\frac {a\cdot i}{b\cdot i}}={\frac {a}{b}}$

Naturalmente, la somma si intende come una somma algebrica, e quindi comprende anche la sottrazione. Inoltre, da notare come somma e sottrazione di numeri immaginari forniscano come risultato sempre un numero immaginario, mentre prodotto e divisione di numeri immaginari forniscano come risultato un numero reale.

Per quanto riguarda le potenze, si deve notare che:

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=i^{2}\cdot i=(-1)\cdot i=-i$

$i^{4}=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot (-1)=1$

$i^{5}=i^{3}\cdot i^{2}=(-i)\cdot (-1)=i$

...

Si nota subito che il valore di $i^{n}$ si ripete con un ciclo di quattro valori. Per questo motivo: $i^{n}=i^{k}$, con $k=n\mod 4$.

I numeri immaginari vengono rappresentati su una retta orientata, esattamente come i numeri reali, in cui ogni punto rappresenta un valore del coefficiente (reale) di $i$, con la sola differenza che, solitamente, la retta è in posizione verticale, con la parte positiva rivolta verso l' alto (si capirà più avanti il perché).

Numeri complessi

Si definisce numero complesso un numero formato dalla somma di un numero reale ed uno immaginario. Quindi: $\forall a,b\in \mathbb {R} \Rightarrow a+b\cdot i\in \mathbb {C}$.

$a$ è detta parte reale, $\cdot i$ è detta parte immaginaria e $b$ è detto coefficiente dell' immaginario.

L' insieme dei numeri complessi, indicato con $\mathbb {C}$, comprende al suo interno sia l' insieme dei reali che quello degli immaginari. Infatti dato un numero complesso $c=a+b\cdot i$:

se $b=0$ e $a\not =0\Rightarrow c\in \mathbb {R}$

se $a=0$ e $b\not =0\Rightarrow c\in \mathbb {I}$

se $b=0$ e $a=0\Rightarrow c=0$

Se due numeri complessi hanno uguale parte reale e parti immaginarie opposte, si dicono coniugati. Se due numeri complessi hanno parti reali e parti immaginarie opposte, si dicono opposti.

Proprietà

La somma algebrica di due numeri complessi o il loro prodotto non comporta particolari problemi, in quanto:

$(a+b\cdot i)\pm (c+d\cdot i)=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$

$(a+b\cdot i)\cdot (c+d\cdot i)=(a\cdot c-b\cdot d)+(b\cdot c+a\cdot d)\cdot i$

La divisione di due numeri complessi, invece, presenta più problemi, in quanto essi si presentano nella forma: ${\frac {a+b\cdot i}{c+d\cdot i}}$. Per ovviare a questo problema, innanzitutto si deve notare che: ${\frac {a+b\cdot i}{c+d\cdot i}}=(a+b\cdot i)\cdot {\frac {1}{c+d\cdot i}}$. Dopodiché, si definisce la norma di un numero complesso: è quel numero che, moltiplicato per il numero complesso dato, fornisce come risultato uno. Esso è quindi uguale all' inverso del numero complesso dato.

Quindi, la norma di un numero complesso $c=a+b\cdot i$ è quel numero $n$ tale che: $c\cdot n=1$.

La norma di un qualsiasi numero complesso $c$ vale: ${\frac {a-b\cdot i}{a^{2}+b^{2}}}$.

Infatti: $(a+b\cdot i)\cdot {\frac {a-b\cdot i}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a^{2}-(b\cdot i)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=1$.

Quindi la norma di un numero può essere sostituita all' inverso del numero stesso, facendo sì che la divisione di due numeri complessi si riduca al prodotto di numeri complessi diviso un numero reale. Quindi:

${\frac {a+b\cdot i}{c+d\cdot i}}=(a+b\cdot i)\cdot {\frac {1}{c+d\cdot i}}=(a+b\cdot i)\cdot {\frac {c-d\cdot i}{c^{2}+d^{2}}}={\frac {(a+b\cdot i)\cdot (c-d\cdot i)}{c^{2}+d^{2}}}=$

$={\frac {(a\cdot c-b\cdot d)+(b\cdot c+a\cdot d)\cdot i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({\frac {a\cdot c-b\cdot d}{c^{2}+d^{2}}}\right)+\left({\frac {b\cdot c+a\cdot d}{c^{2}+d^{2}}}\right)\cdot i$.

Rappresentazione

Piano di Argand-Gauss

Poiché le 'variabili' di un numero complesso $c=a+b\cdot i$ sono il valore della parte intera ($a$) e del coefficiente dell' imaginario ($b$), essi possono essere rappresentati nel cosiddetto piano di Argand-Gauss (spesso il nome di Argand è eclissato da quello del più famoso Gauss, e quindi questo piano è spesso detto 'di Gauss'). In questo particolare piano, l' asse x è l' asse dei numeri reali (con la parte positiva rivolta a destra), mentre l' asse y è l' asse dei numeri immaginari (con la parte positiva rivolta verso l' alto). In questo modo, ogni numero complesso è rappresentato univocamente da un punto (affissa) del piano, cioè da una coppia ordinata di valori che rappresentano le coordinate del punto sul piano, in cui la prima è la parte reale e la seconda il coefficiente dell' immaginario.

Si nota immediatamente che numeri opposti sono simmetrici rispetto all' origine, mentre numeri coniugati sono simmetrici rispetto all' asse dei reali.

Vettori e coordinate polari

Con questa rappresentazione dei numeri complessi, si viene a creare una corrispondenza con i vettori, in quanto il vettore che 'congiunge' l' origine delle due rette (cioè il numero 0) con l' affissa del numero complesso rappresenta il numero stesso e, se scomposto secondo le direzioni dei due assi, fornisce la parte reale e il coefficiente dell' immaginario del numero.

La corrispondenza può essere estesa alle coordinate polari, in cui numero complesso $c=a+b\cdot i$ è rappresentato dalla coppia di coordinate: $\left(r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}};\theta =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)\right)$.

Per quanto riguarda lo zero complesso, esso ha $r=0$ e $\theta$ indeterminato. I numeri immaginari hanno $\theta ={\frac {\pi }{2}}+k\cdot \pi$, con $k\in \mathbb {N}$, mentre i numero reali hanno $\theta =k\cdot \pi$, con $k\in \mathbb {N}$. Numeri coniugati hanno uguale $r$ e angoli ($\theta$) esplementari fra loro, mentre numeri opposti hanno modulo opposto e angoli($\theta$) esplementari fra loro.

Forma trigonometrica di un numero complesso

Da questa seconda corrispondenza, deriva un nuovo modo di esprimere i numeri complessi, infatti del numero complesso $c=a+b\cdot i$, a (cioè la parte reale) vale $r\cdot \cos(\theta )$, mentre b (cioè il coefficiente dell' immaginario) vale $r\cdot \sin(\theta )$.

Perciò, il numero si può esprimere come: $c=r\cdot \cos(\theta )+r\cdot \sin(\theta )=r\cdot (\cos \theta +i\cdot \sin \theta )$.

Questa è detta forma trigonometrica di un numero complesso.

Operazioni

Le operazioni con i numeri complessi possono essere svolte anche con i numeri espressi in forma trigonometrica. Infatti, dati due numeri complessi:

$c_{1}=r_{1}\cdot (\cos \theta _{1}+i\cdot \sin \theta _{1})$

$c_{2}=r_{2}\cdot (\cos \theta _{2}+i\cdot \sin \theta _{2})$

valgono le seguenti formule:

• prodotto

$c_{1}\cdot c_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\cdot (\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+i\cdot \sin \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+i\cdot \cos \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+i^{2}\cdot \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2})=$

$=r_{1}\cdot r_{2}\cdot [(\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}-\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2})+i\cdot (\sin \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\cos \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2})]=$

$r_{1}\cdot r_{2}\cdot [\cos(\theta _{1}+\theta _{2})+i\cdot \sin(\theta _{1}+\theta _{2})]$

• elevamento a potenza $n$-esima

[applicando la formula di moltiplicazione]

$c_{1}^{n}=r_{1}^{n}\cdot [\cos(\underbrace {\theta _{1}+\theta _{1}+...+\theta _{1}} )+i\cdot \sin(\underbrace {\theta _{1}+\theta _{1}+...+\theta _{1}} )]=$

dove le due parentesi graffe in basso rappresentano la somma di $n$ termini.

$=r_{1}^{n}\cdot [\cos(n\cdot \theta _{1})+i\cdot \sin(n\cdot \theta _{1})]$

• rapporto

${\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\frac {r_{1}\cdot (\cos \theta _{1}+i\cdot \sin \theta _{1})}{r_{2}\cdot (\cos \theta _{2}+i\cdot \sin \theta _{2})}}\cdot {\frac {(\cos \theta _{2}-i\cdot \sin \theta _{2})}{(\cos \theta _{2}-i\cdot \sin \theta _{2})}}=$

questa operazione è lecita in quanto la quantità per cui viene moltiplicato il rapporto fra i due numeri complessi vale uno (avendo numeratore e denominatore uguali).

$={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot {\frac {\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}-i\cdot \cos \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+i\cdot \sin \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}-i^{2}\cdot \sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}}{\cos ^{2}\theta _{2}-i^{2}\cdot \sin ^{2}\theta _{2}}}=$

$={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot {\frac {\cos \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}+i\cdot (\cos \theta _{1}\cdot \sin \theta _{2}-\sin \theta _{1}\cdot \cos \theta _{2})}{\cos ^{2}\theta _{2}+\sin ^{2}\theta _{2}}}=$

$={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot {\frac {\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\cdot \sin(\theta _{1}-\theta _{2})}{1}}\Rightarrow$

$\Rightarrow {\frac {c_{1}}{c_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\cdot [\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+i\cdot \sin(\theta _{1}-\theta _{2})]$

• radice $n$-esima

Innanzitutto, consideriamo un numero complesso c. Di questo possiamo certamente dire che la sua radice $n$-esima è un altro numero complesso $w=\sigma \cdot (\cos \varphi +i\cdot \sin \varphi )$, tale per cui ${\sqrt[{n}]{C}}=w\Leftrightarrow w^{n}=c$. Perciò:

$c=w^{n}\Rightarrow r\cdot (\cos \theta +i\cdot \sin \theta )=\sigma ^{n}\cdot [\cos(n\cdot \varphi )+i\cdot \sin(n\cdot \varphi )]$

Da qui si ricava immediatamente che:

$\sigma ={\sqrt[{n}]{r}}$ e che

$n\cdot \varphi =\theta +2k\pi$, con k = 0, 1,..., $n-1$.

$\Rightarrow \varphi ={\frac {\theta }{n}}+{\frac {k}{n}}\cdot 2\pi$

Quindi: ${\sqrt[{n}]{c}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot \left[\cos \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {k}{n}}\cdot 2\pi \right)+i\cdot \sin \left({\frac {\theta }{n}}+{\frac {k}{n}}\cdot 2\pi \right)\right]$, con k = 0, 1,..., $n-1$.

Da un punto di vista grafico significa che, sul piano di Argand-Gauss, le radici di un numero complesso si dispongono su un poligono regolare inscritto in una circonferenza di raggio ${\sqrt[{n}]{r}}$ e centro nell' origine degli assi. Gli angoli che insistono su ogni lato del poligono sono uguali fra loro (come anche i lati e gli archi relativi, poiché il poligono è regolare) e valgono ${\frac {\theta }{n}}$.

Forma esponenziale di un numero complesso

Innanzitutto va definita la cosiddetta prima formula di Nepero, cioè:

$e^{i\cdot \theta }=cos\theta +i\cdot \sin \theta$

Questa formula è lecita, in quanto si dimostra facilmente che i due termini dell' uguaglianza si comportano allo stesso modo in tutte le condizioni.

Perciò, il nostro (ormai famoso) numero complesso $c$, si può scrivere anche come $c=r\cdot e^{i\cdot \theta }$. Questa è detta forma esponenziale di un numero complesso.

Dalla prima formula di Eulero deriva direttamente la seconda formula di Eulero:

$e^{i\cdot (-\theta )}=cos(-\theta )+i\cdot \sin(-\theta )=cos\theta -i\cdot \sin \theta$.

La terza formula di Eulero deriva dalla somma delle prime due e qualche semplice manipolazione:

$\cos \theta ={\frac {e^{i\cdot \theta }+e^{-i\cdot \theta }}{2}}$

La quarta formula di Eulero deriva, invece, dalla differenza delle prime due, sempre con qualche semplice manipolazione:

$\sin \theta ={\frac {e^{i\cdot \theta }-e^{-i\cdot \theta }}{2\cdot i}}$

Ovviamente, tutte le operazioni sui numeri complessi possono essere svolte anche quando essi si presentano in forma esponenziale.