Matematica per le superiori/Sistemi di primo grado

Definizione

Un sistema è un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente. Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono.

Un sistema si rappresenta facendo precedere l'elenco delle equazioni da una parentesi graffa:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x+y+2x-7-2x+4y=-4\\&2x-4x+2y+2x-6y=-8\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Il grado di un sistema si ottiene moltiplicando i gradi delle singole equazioni.

Un sistema si dice di primo grado o lineare se tutte le sue equazioni sono di primo grado.

Un sistema si dice scritto in forma normale quando tutte le incognite sono scritte a primo membro, ordinate e i termini noti a secondo membro:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\\&a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

La soluzione di un sistema è un insieme di valori che sostituiti alle incognite rende vere tutte le equazioni.

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Un sistema può risultare possibile o impossibile. Un sistema è impossibile se non ammette soluzioni. Un sistema possibile può essere determinato o indeterminato. Un sistema è determinato se ammette solo alcune soluzioni. (un sistema di primo grado una sola soluzione). Un sistema è indeterminato se ammette infinite soluzioni.

Se una delle due equazioni del sistema contiene una frazione avente a denominatore l'incognita ($x$ o $y$), è necessario imporre il denominatore diverso da zero, e alla fine verificare che la soluzione calcolata (se esiste) sia compatibile col campo di esistenza iniziale. Altrimenti, il sistema è impossibile.

Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione è uno dei quattro metodi per risolvere un sistema lineare di primo grado a due o più incognite. Come prima cosa bisogna scrivere il sistema in forma normale:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x+y+2x-7-2x+4y=-4\\&2x-4x+2y+4x-6y=-8\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x+5y=3\\&2x-4y=-8\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Una volta portato il sistema in forma normale bisogna esplicitare una delle due incognite in una delle due equazioni (in questo caso conviene esplicitare la x della prima equazione):

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5y\\&2x-4y=-8\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Dopo aver esplicitata l'incognita si sostituisce quest'ultima nell'altra equazione:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5y\\&2(3-5y)-4y=-8\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

In questo modo si ottiene una equazione con una sola incognita, ed è quindi possibile ricavare il valore di y:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5y\\&6-10y-4y=-8\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5y\\&-14y=-14\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5y\\&y=1\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Una volta trovato il valore di y, sostituiamo nell'altra equazione il valore ricavato ottenendo così un'altra equazione ad una sola incognita dalla quale è possibile ricavare il valore di x:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5\cdot (1)\\&y=1\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=3-5\\&y=1\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=-2\\&y=1\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Possiamo riassumere questo metodo di soluzione in 4 punti fondamentali.

1. Ricavare un'incognita, in funzione dell'altra, da una delle due equazioni.
2. Sostituire l'espressione trovata per l'incognita nell'altra equazione; si ottiene un'equazione in una sola incognita.
3. Risolvere l'equazione così ottenuta.
4. Sostituire la soluzione trovata nell'equazione che contiene l'incognita ancora da determinare ricavando così la seconda incognita.

Metodo del confronto

Il metodo del confronto può essere visto come un caso particolare di quello di sostituzione, si articola nelle fasi seguenti.

Per risolvere un sistema col metodo di confronto:

• Si esplicita in entrambe le equazioni l'incognita $y\,$ (oppure $x\,$):

  $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=f(x)\\&y=g(x)\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

• Per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si ottiene un'equazione con una sola incognita uguagliando fra di loro le due espressioni che si trovano a destra dell'uguale:

  $f(x)=g(x)\,$

• Si risolve l'equazione;
• Si sostituisce il risultato in una delle due equazioni del sistema trovando così il valore dell'altra variabile.

Seguiremo con un esempio partendo un sistema già ridotto in forma normale.

Esempio

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x+y=2\\&2x-y=-5\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Primo passaggio: esplicitiamo l'incognita $y\,$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&y=-x+2\\&y=+2x+5\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Secondo passaggio: confrontando le due equazioni trovate otteniamo un'equazione in una sola incognita

$2-x=5+2x\,$

Terzo passaggio: risolviamo l'equazione ottenuta

$-x-2x=5-2\,$

$-3x=3\,$

$x=-1\,$

Quarto passaggio: sostituendo il valore di $x\,$ in un'equazione del sistema, troviamo il valore dell'altra incognita

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=-1\\&y=2-(-1)\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=-1\\&y=3\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

e quindi la soluzione del sistema iniziale che è la coppia di numeri $(-1;3)\,$.

La soluzione del sistema può essere riportata in un piano cartesiano trovando così l'intersezione di 2 rette.

Ricordando che per due punti passa una e una sola retta (V postulato di Euclide), per ognuna delle due equazioni del sistema è sufficiente calcolare la coppia di coordinate per due punti scelti opportunamente a piacere (as esempio in corrispondenza dei due assi cartesiani: per $x=0$, e $y=0$).
In questo modo si possono tracciare le due rette nel grafico che descrive la soluzione. Si hanno tre casi:

• le rette si intersecano in un punto: sistema determinato, esiste un'unica soluzione nelle coordinate del punto di intersezione.
• le rette sono parallele: sistema indeterminato, ammette infinite soluzioni.
• le rette sono coincidenti: sistema impossibile, non esiste nessuna soluzione.

Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione richiede di sommare o sottrarre membro a membro le due equazioni dopo aver moltiplicato entrambi i membri delle equazioni per opportuni valori.

Come primo esempio risolviamo il seguente sistema già scritto in forma normale in cui sommeremo membro a membro le due equazioni:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}3x-4y&=27\\2x+8y&=-14\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Per eliminare l'incognita y moltiplichiamo i due membri della prima equazione per 2 e sommiamo le due equazioni membro a membro:

${\underline {\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}6x-8y&=54\\2x+8y&=-14\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.}}$

${\begin{matrix}{\begin{aligned}&&8x\quad &=40\\&&x&=5\,\end{aligned}}\end{matrix}}$

Per determinare il valore di $y\,$ si può procedere in due modi:

• sostituire $x\,$ con $5\,$ in una delle due equazioni e ricavare $y\,$:

  $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=5\\&2\cdot 5+8y=-14\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

  $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=5\\&y=-3\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

• eliminare l'incognita $x\,$; a tal fine, moltiplicando i due membri della seconda equazione per $-3\,$ e sottraendo le due equazioni membro a membro:

  ${\underline {\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&6x-8y&=54\\&-6x-24y&=42\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.}}$

  ${\begin{matrix}{\begin{aligned}-32y&=96\\y&=-3\,\end{aligned}}\end{matrix}}$

La soluzione del sistema, in tutti e due i casi, è $(5;-3)\,$

Metodo di Cramer

Matrici

Definizione

Le matrici sono delle tabelle di valori disposti su righe e colonne.

Esempio:

${\begin{bmatrix}2&5&7\\4&6&9\\\end{bmatrix}}$

Matrici quadrate

Le matrici che vengono utilizzate per la risoluzione dei sistemi di lineari, a due incognite, con il metodo di Cramer, sono di tipo quadrato $2\times 2$.

Es:

${\begin{bmatrix}3&5\\-2&8\\\end{bmatrix}}$

Le matrici che vengono utilizzate per la risoluzione dei sistemi di lineari, a tre incognite, con il metodo di Cramer, sono di tipo quadrato $3\times 3$.

Es:

${\begin{bmatrix}9&6&7\\4&5&3\\1&8&2\\\end{bmatrix}}$

Da ogni matrice quadrata si può ricavare un numero detto determinante.

• Il determinante di matrici quadrate di ordine 2 si trova sottraendo al prodotto dei numeri che si trovano nella diagonale che parte in alto a sinistra il prodotto dei numeri situati sull'altra diagonale:

$det{\begin{bmatrix}3&5\\-2&8\\\end{bmatrix}}$ = ${\begin{vmatrix}3&5\\-2&8\\\end{vmatrix}}$ $=(3\cdot 8)-(-2\cdot 5)=24-(-10)=24+10=34$

34 è il determinante della matrice.

• Il determinante di una matrice di ordine 3 si può trovare con il seguente meccanismo (detta anche Regola di Sarrus):

1. Nel primo passo si ricopiano, a destra della matrice, le prime due colonne:

   det = ${\begin{bmatrix}9&6&7\\4&5&3\\1&8&2\\\end{bmatrix}}$ = ${\begin{vmatrix}9&6&7\\4&5&3\\1&8&2\\\end{vmatrix}}$ $\left.{\begin{matrix}9&6\\4&5\\1&8\\\end{matrix}}\right|$ = ...

2. Il secondo passo è quello di sommare il prodotto dei numeri che sono sulla diagonale che parte dall'angolo in alto a sinistra con il prodotto dei numeri che si trovano sulle due diagonali a essa parallele e sottrarre invece in prodotto dei numeri che si trovano sulle altre 3 diagonali.

   ...= ${\begin{vmatrix}9&6&7\\4&5&3\\1&8&2\\\end{vmatrix}}$ $\left.{\begin{matrix}9&6\\4&5\\1&8\\\end{matrix}}\right|$ $=(9\cdot 5\cdot 2)+(6\cdot 3\cdot 1)+(7\cdot 4\cdot 8)-(1\cdot 5\cdot 7)-(8\cdot 3\cdot 9)-(2\cdot 4\cdot 6)=33$

Sistemi con 2 equazioni

consideriamo il seguente sistema, già ridotto a forma normale:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&2x+3y=-5\\&6x-4y=2\\\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

scriviamo le seguenti tre matrici e calcoliamo i rispettivi determinanti: La prima matrice si ottiene considerando i coefficienti delle incognite $x$ e $y$. La seconda sostituendo la prima colonna con i termini noti. La terza matrice sostituendo la seconda colonna con i termini noti.

$\Delta =\left|{\begin{array}{ccc}+2&+3\\+6&-4\\\end{array}}\right|=-8-18=-26$

$\Delta _{x}=\left|{\begin{array}{ccc}-5&+3\\+2&-4\\\end{array}}\right|=+20-6=14$

$\Delta _{y}=\left|{\begin{array}{ccc}+2&-5\\+6&+2\\\end{array}}\right|=+4+30=+34$

potremo ricavare $x$ e $y$ in modo semplice:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x={\Delta _{x} \over \Delta }={14 \over -26}=-{7 \over 13}\\&y={\Delta _{y} \over \Delta }={34 \over -26}=-{17 \over 13}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Sistemi con 3 equazioni

I sistemi con tre equazioni, per esempio:

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&-3y+5z=4-2x\\&-x+3y+6=8z\\&9x+3z+4y-z=-3\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

possono essere risolti anche con il metodo di Cramer per mezzo delle matrici (operazioni matematiche). A differenza dei sistemi con due equazioni in cui utilizziamo le matrici 2x2, nei sistemi a tre equazioni è necessario usare le matrici 3x3. Lo scopo di queste operazioni è trovare il determinante del sistema e di ogni incognita, per poi calcolarne il valore.

Prima di tutto bisogna ridurre le equazioni in forma normale e ordinarle.

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&2x-3y+5z=4\\&-x+3y-8z=-6\\&9x+4y+2z=-3\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Ora si può procedere con la risoluzione tramite il metodo di Cramer.Innanzi tutto troviamo il determinante del sistema.

$\Delta =\left|{\begin{array}{ccc}2&-3&5\\-1&3&-8\\9&4&2\\\end{array}}\right.$ $\left|{\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&3\\9&4\\\end{array}}\right|=12+216-20-135+64-6=131$

Adesso si modifica la matrice sostituendo i coefficienti delle $x\,$ con i termini noti e si calcola il determinante della matrice così ottenuta::

$\Delta _{x}=\left|{\begin{array}{ccc}4&-3&5\\-6&3&-8\\-3&4&2\\\end{array}}\right.$ $\left|{\begin{array}{ccc}4&-3\\-6&3\\-3&4\\\end{array}}\right|=24-72-120+45+128-36=-31$

Poi si ripete lo stesso procedimento per ottenere il determinante relativo all'incognita $y\,$:

$\Delta _{y}=\left|{\begin{array}{ccc}2&4&5\\-1&-6&-8\\9&-3&2\\\end{array}}\right.$ $\left|{\begin{array}{ccc}2&4\\-1&-6\\9&-3\\\end{array}}\right|=-24-288+15+270-48+8=-67$

Ed infine, nello stesso modo, si calcola il determinante relativo a $z\,$:

$\Delta _{z}=\left|{\begin{array}{ccc}2&-3&4\\-1&3&-6\\9&4&-3\\\end{array}}\right.$ $\left|{\begin{array}{ccc}2&-3\\-1&3\\9&4\\\end{array}}\right|=77$

Adesso possiamo esplicitare le incognite $x\,$, $y\,$, $z\,$: $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x=-{31 \over 131}\\&y=-{67 \over 131}\\&z={77 \over 131}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Questa è la soluzione trovata: $(-{31 \over 131},{67 \over 131},-{59 \over 131})$.
Si noti che se il determinante del sistema $\Delta$ è diverso da zero, la soluzione esiste ed è unica.
Infatti, $\Delta$ compare al denominatore per ciascuna incognita, e deve essere quindi non nullo.

Sistemi letterali

Vediamo questo esercizio.

Consideriamo il seguente sistema e risolviamolo $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&ax+by=1\\&x+y=-2\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Conviene risolvere il sistema con la Regola di Cramer:

Calcoliamo il determinate del sistema:

Δ = $\left|{\begin{array}{ccc}a&b\\1&1\\\end{array}}\right|=a-b$

Ora bisogna discutere quando $\Delta$ = 0 e quando $\Delta$ ≠ 0.

Nel primo caso scriviamo l'equazione che annulla $\Delta$: $a-b=0$ Ricaviamo a in funzione di b

$a=b$

Quindi se a = b il sistema non è determinato.

Sostituiamo ciò che abbiamo trovato nel sistema e vediamo se esso è indeterminato o impossibile.

$\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&ax+by=1\\&x+y=-2\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$ $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&bx+by=1\\&x+y=-2\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione e otteniamo: $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&0x+0y=1+2b\\&0x+0y=1+2b\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

Esso può essere indeterminato se b = $-{1 \over 2}$ o impossibile se b ≠ $-{1 \over 2}$ .

Se, invece, a ≠ b si calcola $\Delta _{x}$ e $\Delta _{y}$

$\Delta _{x}=\left|{\begin{array}{ccc}1&b\\-2&1\\\end{array}}\right|=1+2b$

$\Delta _{y}=\left|{\begin{array}{ccc}a&1\\1&-2\\\end{array}}\right|=-2a-b$

E adesso determiniamo $x,y$: $\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&x={1b+2c \over b-c}\\&y={2c+a \over b+c}\end{aligned}}\end{matrix}}\right.$

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