Matematica per le superiori/Sistemi di numerazione

Scrittura in altre basi

Per sistema numerico decimale nel linguaggio comune e matematico occidentale si intende il sistema di numerazione posizionale a base 10 che, per rappresentare i numeri, utilizza dieci cifre da 0 a 9. In senso matematico stretto un sistema decimale è un sistema con una base costituita da dieci elementi, che non necessariamente deve essere posizionale, ad esempio il sistema romano o l'attuale sistema cinese. Prima dei Greci della tetraktys di Pitagora, già i Sumeri e le popolazioni indoeuropee facevano uso di una numerazione in base dieci, molto prima che fossero effettivamente inventate le cifre, e certamente molto prima che si diffondesse la scrittura posizionale. Il successo di questa particolare base di numerazione è dovuto certamente a varie cause: la base dieci, a differenza, ad esempio, della base tre, permette di enumerare anche quantità considerevoli senza utilizzare troppi gradi della "scala gerarchica dei numeri": per le necessità dei popoli indoeuropei, certamente bastavano quasi sempre i numeri da 1 a 99, ovvero due soli gradi a differenza, ad esempio, della base sessagesimale (60), i simboli o le parole da ricordare sono pochi il dieci è un numero intrinsecamente legato al corpo dell'uomo, che probabilmente ha trovato il primo ausilio al conto proprio nelle dita delle sue mani. Come notò Aristotele,[senza fonte] l'uso del sistema decimale non fu altro che il risultato del fatto anatomico accidentale che l'uomo è nato con dieci dita dei piedi e dieci dita delle mani. In epoca più moderna, il sistema numerico decimale è stato senza dubbio il maggior propulsore per l'introduzione (con la rivoluzione francese) e la diffusione del sistema internazionale di unità di misura, in cui tutte le principali unità di misura hanno multipli e sottomultipli corrispondenti a potenze positive e negative di 10.

Le cifre

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Addizione

L'addizione è un'operazione aritmetica che a due numeri detti addendi associa un terzo numero detto somma. Questa operazione è inizialmente definita sui numeri naturali: in quel contesto, la sua definizione può essere data in termini insiemistici. Dati due numeri naturali a e b, consideriamo due insiemi A e B che abbiano, rispettivamente, a e b come numero di elementi, e che siano disgiunti (cioè non abbiano elementi in comune). Allora la somma a + b è il numero di elementi dell'insieme unione A ∪ B. Per fare un esempio concreto, se in un sacchetto abbiamo 3 mele e in un altro sacchetto abbiamo 2 mele, mettendo insieme il contenuto dei due sacchetti avremo 3 + 2 = 5 mele. Un bambino che impara a sommare usando le dita delle mani o un abaco non fa altro che applicare questa definizione. In realtà, per definire rigorosamente l'addizione in questo modo occorrerebbe anche dimostrare che il risultato dell'operazione non dipende dai particolari insiemi che si stanno considerando (che siano mele, dita, sassolini, ecc.). Esiste un modo diverso di introdurre astrattamente l'addizione fra numeri interi attraverso i postulati dell'aritmetica, ad esempio nella formulazione di Giuseppe Peano. Dall'insieme dei numeri naturali l'addizione può essere estesa agli altri insiemi numerici che lo contengono (numeri interi relativi, numeri razionali, numeri reali, numeri complessi). Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione.

Notazione

Se i termini sono scritti individualmente, l'addizione è rappresentata dal carattere "+", che si interpone tra un numero e l'altro. La sequenza di addendi è chiusa dal simbolo "=". Sono addizioni valide:

$3+2=5$

$998+1+1=1000$

$1+1+2+3+5+8+13+21=54$

e si leggono, indifferentemente,

• "tre più due è uguale a cinque",
• "tre più due uguale cinque",
• o anche sottintendendo il segno di uguale, soprattutto nelle addizioni brevi, nella forma "tre più due cinque".

Negli scritti precedenti al XVI secolo è possibile trovare un altro simbolo indicante l'addizione. Si tratta di una "P" in corsivo che rimpiazzava la parola "più".

Il simbolo dell'addizione

Il precedente simbolo dell'addizione. Una P in corsivo.

Se i termini non sono scritti individualmente ma la sequenza degli addendi si ricava facilmente dalla scrittura, la somma si può indicare con un'ellissi ("...") per indicare i termini mancanti: la somma dei numeri naturali da 1 a 100 si può dunque scrivere come 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050. In alternativa, la somma può essere rappresentata con il simbolo di sommatoria, rappresentato dalla lettera greca Sigma maiuscola. In particolare data una sequenza di numeri denotati con $x_{1},\,...,x_{m},\,...x_{n},\,...$, la somma degli n-m+1 compresi fra quello di posizione m e quello di posizione n può essere espressa con la scrittura

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.$

Proprietà elementari

Per l'addizione sono valide le seguenti proprietà:

• la proprietà commutativa, la quale afferma che cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia:

$a+b=b+a$

Ad esempio: $2+3=5=3+2=5$

o anche

$a+b+c=b+a+c=b+c+a=c+a+b=c+b+a$

La proprietà commutativa: aggiungere tre mele ad un gruppo di due equivale ad aggiungerne due ad un gruppo di tre

• la proprietà associativa, la quale afferma che sostituendo due addendi con la loro somma il risultato non cambia:

$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$

Ad esempio: $3+5+2=10(3+5)+2=3+(5+2)$

$8+2$		$3+7$
$10$	$=$	$10$

• La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

$k(a+b)=ka+kb$

Ad esempio: $3*(4+5)=(3*4)+(3*5)=12+15=27$

Sottrazione

In matematica, la sottrazione è una delle quattro operazioni aritmetiche fondamentali. È di solito denotata con un segno meno infisso: "−" I nomi tradizionali per i termini della sottrazione c − b = a sono minuendo (c), sottraendo (b), e differenza (a). La sottrazione viene utilizzata per modellare i tre processi fisici seguenti. Data una collezione di oggetti, togliere (sottrarre) un certo numero di oggetti. Combinare una data misura, come ad esempio un movimento verso destra o un deposito, con una misura in senso opposto, come un movimento verso sinistra o un prelievo. Confrontare due oggetti tra loro per trovare la loro differenza. Ad esempio, per trovare la differenza tra 800 € e 500 €, si sottrae 800−500 e si ottiene il risultato di 300 €. Matematicamente è spesso utile vedere la sottrazione non come un'operazione separata, ma come addizione dell'opposto del sottraendo. Così, 7-3 diventa la somma di 7 e di "−3". In questo modo, si possono applicare alla sottrazione tutte le regole familiari e la nomenclatura dell'addizione. Si consideri inoltre che la sottrazione non è commutativa né associativa, ma l'addizione di quantità con segno sì; questo significa che un matematico non userà spesso le parole "minuendo" e "sottraendo" ma considererà 7-3 come la somma degli addendi "7" e "−3".

La sottrazione vista graficamente

Prendiamo un segmento di lunghezza b disegnato per terra con l'estremo di sinistra chiamato a e quello destro c.

Partendo dalla posizione a, saranno necessari b passaggi per raggiungere la posizione c. Questo movimento verso destra, chiamato addizione, può essere scritto come:

a + b = c

Dalla posizione c, saranno necessari b passaggi per ritornare all'estremo a. Questo movimento verso sinistra, chiamato sottrazione, può essere scritto come:

c − b = a

Immaginiamo ora un segmento le cui posizioni siano contrassegnate dai numeri 1, 2 e 3.

Dalla posizione 3, per rimanere alla posizione 3 non è necessario nessun passaggio, quindi

3 − 0 = 3

Dalla posizione 3, per andare alla posizione 2 è necessario 1 passaggio, quindi

3 − 1 = 2

Dalla posizione 3, per andare alla posizione 1 sono necessari 2 passaggi, quindi

3 − 2 = 1

Cosa succederebbe se si continuasse nel processo andando per 3 volte verso sinistra dalla posizione 3? Per il nostro esempio, si andrebbe oltre la linea disegnata, cosa che non sarebbe permessa. Quindi per fare questo la linea deve essere estesa.

Per la sottrazione dei numeri naturali, la linea dovrebbe avere tutti i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, ...) su di essa.

Usando la linea dei numeri naturali, dalla posizione 3, tornando per 3 volte verso sinistra si raggiungerebbe la posizione 0, quindi

3 − 3 = 0

Ma per i numeri naturali, 3 − 4 sarebbe una operazione non valida. Per eseguirla dobbiamo ulteriormente estendere la linea.

Usando la linea dei numeri interi (…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …), dalla posizione 3, togliendo 4 arriveremmo alla posizione −1, quindi

3 − 4 = −1

La sottrazione in colonna

Per fare una sottrazione in colonna bisogna prima scrivere il minuendo, e sotto, il sottraendo: 86 - 34 = 52

86-

34=

--

52

Si prende il primo numero da destra e gli si sottrae quello che ha sotto (6-4=2). Si fa la stessa cosa con quello a sinistra (8-3=5). Si scrivono i due risultati sotto le corrispondenti sottrazioni.

Proprietà invariantiva della sottrazione

Aggiungendo uno stesso termine al minuendo e al sottraendo la differenza non cambia:

${\begin{aligned}a-b=c\\(a+d)-(b+d)=c\end{aligned}}$

Moltiplicazione

Definizione di moltiplicazione

La moltiplicazione è una delle quattro operazioni. Con il concetto di operazioni si intende un procedimento che si effettua allo scopo di ottenere un risultato, mentre la parola moltiplicazione significa addizionare tanti addendi uguali al primo numero, quante sono le unità del secondo numero. Esempio:

                               $3+3+3+3+3=15\;$
                                         

Alla coppia ordinata di numeri 3 e 5 la moltiplicazione associa quindi come risultato il numero 15.

L'operazione di moltiplicazione si indica con due diversi simboli:

                            :$3{x}5=15,oppure,3\cdot 5=15\;$

I termini della moltiplicazione:

                                   $3\cdot 5=15\;$
                                      ↓     ↓
                                 termini prodotto

Se si osserva una qualsiasi tabella della moltiplicazione di numeri naturali, si nota che nessuna casella risulta vuota: ciò significa che la moltiplicazione di due numeri naturali è sempre possibile e che il risultato è ancora un numero naturale.

x	4	5	6	7	10
2	8	10	12	14	20
3	12	15	18	21	30
5	20	25	30	35	50
8	32	40	48	56	80
9	36	45	54	63	90

Proprietà della moltiplicazione

Le proprietà della moltiplicazione sono quattro:

La proprietà commutativa: scambiando l'ordine dei fattori il risultato non cambia.

Esempio:

       $5\cdot 25=125\;$

Proprietà associativa: se al posto di alcuni fattori si mette la loro somma il risultato non cambia.

Esempio:

      $(5\cdot 2)\cdot (3\cdot 9)=270\;$
          ↓    ↓
         $10\cdot 27=270\;$

Proprietà dissociativa: se a uno o a più prodotti se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito il prodotto non cambia.

Esempio:

             $25\cdot 14=350\;$
                   ↓
            $25\cdot 7\cdot 2=125\;$

Proprietà distributiva: scomponendo un fattore si può moltiplicare l'altro fattore per ciascun termine dell'addizione (o della sottrazione) ed addizionare poi i prodotti parziali ottenuti.

Esempio:

         $6\cdot 14=84\;$
         $6\cdot (10+4)=84\;$
         $(6\cdot 10)+(6\cdot 4)=84\;$

Nella moltiplicazione l'elemento neutro è il numero 1 perché la moltiplicazione di qualsiasi numero per zero ha zero come risultato.

Esempio:

        $a\cdot 0=0\;$
        $16\cdot 0=0\;$

Per questo motivo si dice che:

• la moltiplicazione è un'operazione interna all'insieme N
• l'insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione

Se si indicano con le lettere a e b due numeri qualsiasi, questa proprietà della moltiplicazione si esprime, utilizzando il linguaggio insiemistico, con la scrittura:

                                 a,b;∈ N → axb∈N

Divisione

In matematica, specialmente in aritmetica elementare, la divisione è l'operazione aritmetica inversa della moltiplicazione. Più specificamente, se a × b = c, dove b è diverso da zero, allora a = c : b . Ad esempio, 6 : 3 = 2 , 2 × 3 = 6. La divisione per zero non viene definita. Nell'espressione sopra, a rappresenta il quoziente (quoto nel caso di divisione senza resto), b il divisore (cioè la quantità che divide) e c il dividendo (cioè la quantità da dividere). http://it.wikipedia.org/wiki/Divisione_(matematica)

proprietà della divisione: proprietà invariantiva: il risultato tra 2 numeri non cambia se ad entrambi i numeri moltiplico o divido lo stesso numero , diverso da zero . esempio : 150 : 50 = 3  ; (150 : 10 =15) : (50:10=5) = 15:5= 3

proprietà distributiva: per dividere una somma indicata (o una differenza indicata) per un numero, purché tutti i termini della somma o della differenza siano divisibili per essa, basta dividere ciascun termine della somma (o della differenza) per quel numero ed addizionare (o sottrarre) tutti i quoti parziali ottenuti.