Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

I diversi tipi di integrale definitoModifica

1) integrale lineareModifica

a) definizioniModifica

  intervallo (a, b) dell'asse x,
 
 

essendo   la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

b) significato geometricoModifica

L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

c) teorema della mediaModifica

 

essendo   un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua,   essendo: a<c<b.

d) formule di integrazione approssimataModifica

 

essendo:   e   le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

 

avendo   lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

e) formula per il cambiamento di variabileModifica

Se si pone:   si ha :

 

quando la funzione   è continua in   e le funzioni   sono continue in   ed inoltre  

2) integrale curvilineoModifica

1° tipoModifica

a) definizioni  

 
 

essendo   l'arco   avente per estremi i punti:

 

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva   è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

 



b) significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipoModifica

a) definizioni: 

con   arco della curva ,

 
 

essendo   con   e  

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

 

b) significato geometrico:

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco   e altezza variabile data da:  

3) integrale doppio di campoModifica

a) definizioniModifica

  regione semplice   del piano   limitata da archi :
  archi inferiori ,
  archi superiori ,
  archi a sinistra ,
  archi a desra .


  con   variabili indipendenti,
 
avendo posto:
 

dove   è il rettangolo circoscritto alla regione   limitato dalle rette  

b) calcolo per integrazioni successiveModifica

 

Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

c) significato geometricoModifica

Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

d) teorema della mediaModifica

  essendo   area della regione   e   dove   e   sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di   in  

Se   è continua in     esendo   un punto di  

e) teorema di GaussModifica

 
 

essendo   una funzione continua in   e   il contorno chiuso di  

f) formula di Green o di StokesModifica

 

essendo   e   funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice  ,   il contorno chiuso della regione  

Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.

g) formula per il cambiamento di variabiliModifica

Se si pone:

 

essendo le   e   continue in una regione   del piano   e se   in   si ha la formula :

 

dove   è la regione di   corrispondente alla regione   di  

Se in particolare si pone:

  (trasformazione polare),
 

e la formula diventa :

 

4) integrale triploModifica

a) definizioniModifica

  regione semplice spaziale  
  con   variabili indipendenti\ ,
 
 

dove   è il parallelepipedo circoscritto alla regione   con le facce parallele ai piani coordinati e

 

b) calcolo per integrazioni successiveModifica

 

essendo :   e   le ascisse dei punti   in cui una parallela generica all'asse   incontra la superficie limitatrice della regine     e   sono le   di contatto   delle tangenti parallele all'asse   alla seione della superficie con un piano parallelo al piano   per la retta   infine le   e   sono le   dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano  

c) significato fisicoModifica

rappresenta la massa della regione   quando   ne rappresenti la densità.

d) teorema della mediaModifica

 

essendo   il volume della regione   ed avendo   il solito significato .

e) formula per il cambiamento di variabiliModifica

Se si pone  

essendo le   funzioni continue in una regione   dello spazio   e   si ha :

 

f) teorema della divergenzaModifica

 

essendo :   con   componenti di   ed   un elemento della superficie   che chiude