Analisi matematica/Tipi di integrali definiti

Indice del libro

Integrale lineare

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Definizioni

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  intervallo (a, b) dell'asse x,
 
 

essendo   la funzione primitiva di f(x) che si annulla per x=a.

Significato geometrico

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L'integrale considerato rappresenta:

"L'area della regione compresa fra l'asse x, la curva y=f(x) e le ordinate x=a, x=b".

Se la curva attraversa l'asse x, l'area risulta uguale alla differenza dei due integrali ralativi alle due parti in cui la y=f(x) viene divisa dall'asse x.

Teorema della media

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essendo   un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f(x) in (a,b).

Se la funzione è continua,   essendo: a<c<b.

Formule di integrazione approssimata

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essendo:   e   le ordinate corrispondenti alle ascisse a,a+h,...a+nh=b. (metodo di Bezout).

 

avendo   lo stesso significato di prima. (metodo di Simpson).

Formula per il cambiamento di variabile

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Se si pone:   si ha :

 

quando la funzione   è continua in   e le funzioni   sono continue in   ed inoltre  

Integrale curvilineo

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1° tipo

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a) definizioni  

 
 

essendo   l'arco   avente per estremi i punti:

 

L'integrale considerato si calcola quindi come un integrale lineare.

Se la curva   è dta mediante equazioni parametriche cioè se: x=x(t), y=y(t), allora l'intervallo curvilineo diventa:

 

b) significato geometrico :

rappresenta l'area della regione di piano limitata dall'assex dalle rette x=a, x=b e dall'arco di curva y=g(x) compreso fra queste rette.

2° tipo

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a) definizioni: 

con   arco della curva ,

 
 

essendo   con   e  

Se la curva fosse data in forma parametrica, si avrebbe:

 

b) significato geometrico:

rappresenta l'area della regione cilindrica avente per base l'arco   e altezza variabile data da:  

Integrale doppio di campo

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Definizioni

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  regione semplice   del piano   limitata da archi:
  archi inferiori,
  archi superiori,
  archi a sinistra,
  archi a destra.
  con   variabili indipendenti,
 
avendo posto:
 

dove   è il rettangolo circoscritto alla regione   limitato dalle rette  

Calcolo per integrazioni successive

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Il valore dell'integrale doppio è indipendente dall'ordine delle due integrazioni successive .

Significato geometrico

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Rappresenta il volume del solido limitato dal piano xy, dalla superficie z=f(x, y) e dalla superficie cilindrica che proietta una parte della superficie z=f(x,y) nella regione Ω ; se la superficie data attraversa il piano xy, il volume risulta uguale alla differenza degli integrali doppi relativi alle due parti in cui la z=f(x,y) viene divisa dal piano xy.

Teorema della media

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  essendo   area della regione   e   dove   e   sono rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di   in  

Se   è continua in     esendo   un punto di  

Teorema di Gauss

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essendo   una funzione continua in   e   il contorno chiuso di  

Formula di Green o di Stokes

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essendo   e   funzioni date con le loro derivate prime in un'area semplice  ,   il contorno chiuso della regione  

Le formule esposte servono a trasformare un integrale doppio di campo in un integrale curvilineo o viceversa.

Formula per il cambiamento di variabili

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Se si pone:

 

essendo le   e   continue in una regione   del piano   e se   in   si ha la formula :

 

dove   è la regione di   corrispondente alla regione   di  

Se in particolare si pone:

  (trasformazione polare),
 

e la formula diventa :

 

Integrale triplo

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Definizioni

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  regione semplice spaziale  
  con   variabili indipendenti\ ,
 
 

dove   è il parallelepipedo circoscritto alla regione   con le facce parallele ai piani coordinati e

 

Calcolo per integrazioni successive

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essendo :   e   le ascisse dei punti   in cui una parallela generica all'asse   incontra la superficie limitatrice della regine     e   sono le   di contatto   delle tangenti parallele all'asse   alla seione della superficie con un piano parallelo al piano   per la retta   infine le   e   sono le   dei punti di contatto con la superficie limitatrice dei piani tangenti alla superficie stessa, parallela al piano  

Significato fisico

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rappresenta la massa della regione   quando   ne rappresenti la densità.

Teorema della media

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essendo   il volume della regione   ed avendo   il solito significato .

Formula per il cambiamento di variabili

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Se si pone  

essendo le   funzioni continue in una regione   dello spazio   e   si ha :

 

Teorema della divergenza

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essendo :   con   componenti di   ed   un elemento della superficie   che chiude