Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni
a
{\displaystyle \ a}
(
a
∈
R
)
{\displaystyle \ \left(a\in R\right)}
b
{\displaystyle \ b}
(
b
∈
R
)
{\displaystyle \ \left(b\in R\right)}
ρ
{\displaystyle \ \rho }
θ
{\displaystyle \ \theta }
i
{\displaystyle \ i}
Una coppia ordinata
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ (a,b)}
a
)
:
(
a
,
b
)
=
(
a
,
,
b
,
)
{\displaystyle a):\qquad (a,b)=(a^{,},b^{,})}
a
=
a
,
,
b
=
b
,
,
{\displaystyle \ a=a^{,},b=b^{,},}
b
)
:
(
a
,
0
)
=
a
{\displaystyle b):\qquad (a,0)=a}
c
)
:
(
a
,
b
)
+
(
a
,
,
b
,
)
=
(
a
+
a
,
,
b
+
b
,
)
,
{\displaystyle c):\qquad (a,b)+(a^{,},b^{,})=(a+a^{,},b+b^{,}),}
d
)
:
(
a
,
b
)
⋅
(
a
,
,
b
,
)
=
(
a
a
,
−
b
b
,
,
a
b
,
+
a
,
b
)
,
{\displaystyle d):\qquad (a,b)\cdot (a^{,},b^{,})=(aa^{,}-bb^{,},ab^{,}+a^{,}b),}
definisce un numero detto numero complesso.
Esso può rappresentarsi in varie forme:
algebrica
(
a
,
b
)
=
a
+
i
b
,
{\displaystyle \ (a,b)=a+ib,}
i
=
(
0
,
1
)
=
{\displaystyle \ i=(0,1)=}
trigonometrica
a
+
i
b
=
ρ
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
{\displaystyle \ a+ib=\rho (cos\theta +i\ sin\theta )}
geometrica
P
≡
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ P\equiv (a,b)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle \ (a,b)}
P
{\displaystyle \ P}
La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.
z
1
=
a
+
i
b
{\displaystyle \ z_{1}=a+ib}
z
2
=
a
′
+
i
b
′
{\displaystyle \ z_{2}=a'+ib'}
z
3
=
z
1
+
z
2
=
(
a
+
i
b
)
+
(
a
′
+
i
b
′
)
=
(
a
+
a
′
)
+
i
(
b
+
b
′
)
{\displaystyle \ z_{3}=z_{1}+z_{2}=(a+ib)+(a'+ib')=(a+a')+i(b+b')}
La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.
z
1
=
a
+
i
b
{\displaystyle \ z_{1}=a+ib}
z
2
=
a
′
+
i
b
′
{\displaystyle \ z_{2}=a'+ib'}
z
3
=
z
1
−
z
2
=
(
a
+
i
b
)
−
(
a
′
+
i
b
′
)
=
(
a
−
a
′
)
+
i
(
b
−
b
′
)
{\displaystyle \ z_{3}=z_{1}-z_{2}=(a+ib)-(a'+ib')=(a-a')+i(b-b')}
(
a
+
i
b
)
⋅
(
a
′
+
i
b
′
)
=
a
a
′
−
b
b
′
+
i
(
a
b
′
+
a
′
b
)
,
{\displaystyle \ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),}
ovvero:
[
ρ
(
c
o
s
θ
+
i
sin
θ
)
]
⋅
[
ρ
′
(
cos
θ
′
+
i
sin
θ
′
)
]
=
ρ
ρ
′
[
c
o
s
(
θ
+
θ
′
)
+
i
sin
(
θ
+
θ
′
)
]
,
{\displaystyle \ [\rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [\rho '(\cos \theta '+i\sin \theta ')]=\rho \rho '[cos(\theta +\theta ')+i\sin(\theta +\theta ')],}
cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
a
+
i
b
a
′
+
i
b
′
=
(
a
+
i
b
)
(
a
′
−
i
b
′
)
a
′
2
+
b
′
2
=
a
a
′
+
b
b
′
+
i
(
a
′
b
−
a
b
′
)
a
′
2
+
b
′
2
{\displaystyle {a+ib \over a'+ib'}={(a+ib)(a'-ib') \over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab') \over a'^{2}+b'^{2}}}
ovvero:
ρ
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
ρ
′
(
c
o
s
θ
′
+
i
sin
θ
′
)
=
ρ
ρ
′
[
c
o
s
(
θ
−
θ
′
)
+
i
sin
(
θ
−
θ
′
)
]
{\displaystyle {\rho (\cos \theta +i\sin \theta ) \over \rho '(cos\theta '+i\sin \theta ')}={\rho \over \rho '}[cos(\theta -\theta ')+i\sin(\theta -\theta ')]}
(
a
+
i
b
)
n
=
[
ρ
(
c
o
s
θ
+
i
sin
θ
)
]
n
=
ρ
n
(
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
)
{\displaystyle \ (a+ib)^{n}=[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}
(formula di Moivre).
In particolare:
i
4
k
+
1
=
i
i
4
k
+
2
=
−
1
i
4
k
+
3
=
−
i
i
4
k
+
4
=
1
{\displaystyle i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1}
Potenza con esponente immaginario
modifica
e
i
x
=
c
o
s
x
+
i
s
i
n
x
{\displaystyle \ e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x}
(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:
ρ
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
ρ
e
i
θ
=
e
l
o
g
ρ
+
i
θ
{\displaystyle \rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )=\rho e^{i\theta }=e^{log\rho +i\theta }}
a
+
i
b
n
=
ρ
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
n
=
ρ
n
[
c
o
s
θ
+
2
k
π
n
+
i
s
i
n
θ
+
2
k
π
n
]
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+ib}}={\sqrt[{n}]{\rho \ (cos\theta +i\ sin\theta )}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\ [cos{\theta +2k\pi \over n}+i\ sin{\theta +2k\pi \over n}]}
con
:
k
=
0
,
1
,
2...
n
−
1.
{\displaystyle :\qquad \ k=0,1,2...n-1.}
Questi
n
{\displaystyle \ n}
x
n
=
a
+
i
b
.
{\displaystyle \ x^{n}=a+ib.}
In particolare:
1
n
=
c
o
s
2
k
π
n
+
i
s
i
n
2
k
π
n
,
−
1
n
=
c
o
s
(
2
k
+
1
)
π
n
+
i
sin
(
2
k
+
1
)
π
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=cos{2k\pi \over n}+i\ sin{2k\pi \over n},\qquad {\sqrt[{n}]{-1}}=cos{(2k+1)\pi \over n}+i\ \sin {(2k+1)\pi \over n}}
dove
:
k
=
0
,
1
,
2...
n
−
1
{\displaystyle :\qquad k=0,1,2...n-1}
Logaritmo di un numero complesso
modifica
log
[
ρ
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
]
=
l
o
g
ρ
+
i
θ
+
2
k
π
i
,
k
=
0
,
1
,
2...
{\displaystyle \log[\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )]=log\ \rho +i\theta +2k\pi i,\qquad k=0,1,2...}
Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.
Due numeri:
z
1
=
a
+
i
b
{\displaystyle \ z_{1}=a+ib}
z
2
=
a
−
i
b
{\displaystyle \ z_{2}=a-ib}
si dicono: complessi coniugati
z
2
=
z
1
¯
{\displaystyle \ z_{2}={\overline {z_{1}}}}
I numeri complessi coniugati
la loro somma è
2
a
{\displaystyle \ 2a}
il loro prodotto è
a
2
+
b
2
{\displaystyle \ a^{2}+b^{2}}
i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse
x
{\displaystyle \ x}
Due numeri:
z
1
=
a
+
i
b
{\displaystyle \ z_{1}=a+ib}
z
2
=
−
a
−
i
b
{\displaystyle \ z_{2}=-a-ib}
si dicono contrari contrari
Due numeri complessi si dicono reciproci
i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse
x
{\displaystyle \ x}
i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro
0
{\displaystyle \ 0}
1
{\displaystyle \ 1}
![{\displaystyle \ [\rho (cos\theta +i\sin \theta )]\cdot [\rho '(\cos \theta '+i\sin \theta ')]=\rho \rho '[cos(\theta +\theta ')+i\sin(\theta +\theta ')],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b946a29b4c296273c20ee1f26d8f3de1b5061d9)
![{\displaystyle {\rho (\cos \theta +i\sin \theta ) \over \rho '(cos\theta '+i\sin \theta ')}={\rho \over \rho '}[cos(\theta -\theta ')+i\sin(\theta -\theta ')]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f74f3b14f439bda9b15ac0ae03e104ef881d32)
![{\displaystyle \ (a+ib)^{n}=[\rho (cos\theta +i\sin \theta )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5659214353a89e4a9615bb2ab520a02cafae126e)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+ib}}={\sqrt[{n}]{\rho \ (cos\theta +i\ sin\theta )}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\ [cos{\theta +2k\pi \over n}+i\ sin{\theta +2k\pi \over n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7780bfa8f6db9e72a85618e3bda2fe92e760573)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=cos{2k\pi \over n}+i\ sin{2k\pi \over n},\qquad {\sqrt[{n}]{-1}}=cos{(2k+1)\pi \over n}+i\ \sin {(2k+1)\pi \over n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8a782339f7cdbe8163a81d7fba70b9a3874a96)
![{\displaystyle \log[\rho (cos\ \theta +i\ sin\ \theta )]=log\ \rho +i\theta +2k\pi i,\qquad k=0,1,2...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2454e8db4149b63ef27e17e63ebce2503ad87669)
