Analisi matematica/Numeri complessi

NomenclaturaModifica

Iniziamo introducendo gli elementi fondamentali necessari per definire i numeri complessi e le loro rappresentazioni

  = parte reale  ;

  = parte immaginaria  ;

  = modulo;

  = fase (o argomento);

  = unità immaginaria

DefinizioniModifica

Una coppia ordinata   di numeri reali, tali che:

  se  

  numero reale,

 

 

definisce un numero detto numero complesso.

Esso può rappresentarsi in varie forme:

  1. algebrica:  dove   unità immaginaria;
  2. trigonometrica:  
  3. geometrica: mediante un punto   di coordinate   in un sistema cartesiano; il punto   si dice indice del numero ed il piano dei numeri complessi è detto piano di Gauss.

OperazioniModifica

AddizioneModifica

La somma di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali, e la parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie.

 

 

 

SottrazioneModifica

La sottrazione di due numeri complessi è un numero complesso la cui parte reale è la differenza delle parti reali, e la parte immaginaria è la differenza delle parti immaginarie.

 

 

 

MoltiplicazioneModifica

 

ovvero:

 

cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.

DivisioneModifica

 

ovvero:

 

Elevazione a potenzaModifica

 

(formula di Moivre).

In particolare:

 

Potenza con esponente immaginarioModifica

 

(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:

 

Estrazione di radiceModifica

 

con 

Questi   numeri sono le soluzioni dell'equazione binomia:  

In particolare:

 
dove  


Logaritmo di un numero complessoModifica

 

Questa formula da per il logaritmo infinite soluzioni.

Legami particolari tra numeri complessiModifica

Numeri complessi coniugatiModifica

Due numeri:

 

 

si dicono: complessi coniugati e si indica  .

I numeri complessi coniugati hanno le proprietà che:

  1. la loro somma è  ;
  2. il loro prodotto è  ;
  3. i loro indici sono due punti simmetrici rispetto all'asse  

Numeri contrariModifica

Due numeri:

 

 

si dicono contrari. Due numeri contrari hanno gli indici simmetrici rispetto all'origine.


Numeri reciprociModifica

Due numeri complessi si dicono reciproci se:

  1. i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse  
  2. i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro   e raggio