Forma tipica
A
(
x
,
y
)
d
x
+
B
(
x
,
y
)
d
y
=
0
{\displaystyle \ A(x,y)dx+B(x,y)dy=0}
con la condizione:
∂
A
∂
y
=
∂
B
∂
x
{\displaystyle \ {\partial A \over \partial y}={\partial B \over \partial x}}
Soluzione : Si considera
y
{\displaystyle \ y}
costante e si pone l'integrale generale nella forma:
u
(
x
,
y
)
=
∫
x
0
x
A
(
x
,
y
)
d
x
+
φ
(
y
)
,
{\displaystyle \ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\varphi (y),}
si determina poi la funzione
φ
(
y
)
{\displaystyle \ \varphi (y)}
con la condizione:
∂
u
∂
y
=
B
(
x
,
y
)
o
v
v
e
r
o
:
{\displaystyle \ {\partial u \over \partial y}=B(x,y)\qquad ovvero:}
B
(
x
,
y
)
=
∫
x
0
x
∂
A
∂
y
d
x
+
φ
′
(
y
)
=
∫
x
0
x
∂
B
∂
x
d
x
+
φ
′
(
y
)
{\displaystyle \ B(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial A \over \partial y}\,dx+\varphi '(y)=\int _{x_{0}}^{x}{\partial B \over \partial x}\,dx+\varphi '(y)}
Da cui:
φ
′
(
y
)
=
B
(
x
0
,
y
)
e
φ
(
y
)
=
∫
y
0
y
B
(
x
0
,
y
)
d
y
.
{\displaystyle \ \varphi '(y)=B(x_{0},y)\qquad e\qquad \varphi (y)=\int _{y_{0}}^{y}B(x_{0},y)\,dy.}
Si ha così la formula risolutiva:
u
(
x
,
y
)
=
∫
x
0
x
A
(
x
,
y
)
d
x
+
∫
y
0
y
B
(
y
0
,
y
)
d
y
=
C
{\displaystyle \ u(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(y_{0},y)\,dy=C}
Esempio :
(
x
+
y
)
d
x
+
(
x
+
S
i
n
[
y
]
)
d
y
=
0
{\displaystyle (x+y)dx+(x+Sin[y])dy=0}
L'equazione è esatta, perché:
∂
(
x
+
y
)
∂
y
=
∂
(
x
+
S
i
n
[
y
]
)
∂
x
=
1
{\displaystyle \ {\partial (x+y) \over \partial y}={\partial (x+Sin[y]) \over \partial x}=1}
Si ha quindi:
(
1
)
u
(
x
,
y
)
=
∫
x
o
x
(
x
+
y
)
d
x
+
φ
(
y
)
=
x
2
2
+
x
y
−
(
x
o
2
2
+
x
o
y
)
+
φ
(
y
)
{\displaystyle \ (1)\qquad u(x,y)=\int _{x_{o}}^{x}(x+y)dx+\varphi (y)={x^{2} \over 2}+xy-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y)+\varphi (y)}
con la condizione:
∂
u
∂
y
=
∫
x
o
x
∂
(
x
+
S
i
n
[
y
]
)
∂
x
)
d
x
+
φ
′
(
y
)
,
{\displaystyle \ {\partial u \over \partial y}=\int _{x_{o}}^{x}{\partial (x+Sin[y]) \over \partial x)}dx+\varphi '(y),}
cioè:
x
+
S
i
n
[
y
]
=
x
+
S
i
n
[
y
]
−
(
x
o
+
S
i
n
[
y
]
)
+
φ
′
(
y
)
{\displaystyle \ x+Sin[y]=x+Sin[y]-(x_{o}+Sin[y])+\varphi '(y)}
da cui si trae:
φ
′
(
y
)
=
x
o
+
S
i
n
[
y
]
,
{\displaystyle \ \varphi '(y)=x_{o}+Sin[y],}
ovvero integrando:
φ
(
y
)
=
x
o
y
−
C
o
s
[
y
]
−
(
x
o
y
o
−
C
o
s
[
y
o
]
)
.
{\displaystyle \ \varphi (y)=x_{o}y-Cos[y]-(x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]).}
Sostituendo in (1) si trova infine:
u
(
x
,
y
)
=
x
2
2
+
x
y
−
C
o
s
[
y
]
−
(
x
o
2
2
+
x
o
y
o
−
C
o
s
[
y
o
]
)
,
{\displaystyle \ u(x,y)={x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}]),}
onde l'integrale generale dell'equazione è:
x
2
2
+
x
y
−
C
o
s
[
y
]
−
(
x
o
2
2
+
x
o
y
o
−
C
o
s
[
y
o
]
)
=
C
.
{\displaystyle \ {x^{2} \over 2}+xy-Cos[y]-({x_{o}^{2} \over 2}+x_{o}y_{o}-Cos[y_{o}])=C.}
Forma tipica:
A
d
x
+
B
d
y
=
0
{\displaystyle Adx+Bdy=0}
Essendo:
A
(
x
,
y
)
e
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle \ A(x,y)eB(x,y)}
funzioni omogenee e
A
x
+
B
y
≠
0
;
{\displaystyle \ Ax+By\neq 0;}
il fattore integrante è:
1
A
x
+
B
y
.
{\displaystyle \ {1 \over Ax+By}.}
(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per
A
x
+
B
y
{\displaystyle \ Ax+By}
, e si ottiene così una equazione esatta che si
risolve come è stato indicato per il
2
d
o
{\displaystyle \ 2do}
tipo.
(II°) metodo di soluzione: Si pone:
y
=
t
{\displaystyle \ y=t}
, onde
d
y
=
t
d
x
+
x
d
t
{\displaystyle \ dy=tdx+xdt}
e l'equazione data diventa:
t
d
x
+
x
d
t
d
x
=
f
(
1
,
t
)
{\displaystyle \ {tdx+xdt \over dx}=f(1,t)}
da cui, separando le variabili:
d
x
x
=
d
t
f
(
1
,
t
)
−
t
{\displaystyle \ {dx \over x}={dt \over f(1,t)-t}}
e integrando:
log
c
x
=
∫
1
f
(
1
,
t
)
−
t
d
t
.
{\displaystyle \ \log cx=\int _{}{}{1 \over f(1,t)-t}\,dt.}
Esempio :
2
x
y
d
x
+
(
y
2
−
x
2
)
d
y
=
0
{\displaystyle 2xydx+(y^{2}-x^{2})dy=0}
Risolvendo rispetto a y' si ha:
d
y
d
x
=
2
x
y
x
2
−
y
2
,
o
v
v
e
r
o
d
y
d
x
=
2
y
x
1
−
(
y
x
)
2
(
y
≠
x
)
{\displaystyle \ {dy \over dx}={2xy \over x^{2}-y^{2}},\qquad ovvero{dy \over dx}={2{y \over x} \over {1-({y \over x})^{2}}}\qquad (y\neq x)}
Poniamo:
y
=
t
x
{\displaystyle \ y=tx}
onde: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \ dy=t dt+x dt}
e l'equazione diviene:
t
d
x
+
x
d
t
d
x
=
2
t
1
−
t
2
o
v
v
e
r
o
:
d
x
x
=
1
−
t
2
t
+
t
2
d
t
{\displaystyle \ {tdx+xdt \over dx}={2t \over 1-t^{2}}\qquad ovvero\ :{dx \over x}={1-t^{2} \over t+t^{2}}dt}
.Integrando si ottiene:
C
x
=
x
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle \ Cx={xy \over x^{2}+y^{2}}}
ovvero:
C
(
x
2
+
y
2
)
=
y
{\displaystyle \ C(x^{2}+y^{2})=y}
che
è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y .
Forma tipica:
f
(
x
y
)
y
d
x
+
g
(
x
y
)
x
d
y
=
0
{\displaystyle f(xy)ydx+g(xy)xdy=0}
Fattore integrante:
1
A
x
−
B
y
,
e
s
s
e
n
d
o
A
x
−
B
y
≠
0
{\displaystyle \ {1 \over Ax-By},\qquad essendo\ Ax-By\neq 0}
Esempio : Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle (x^2y^2+xy) ydx+(x^2y^2-1) x dy=0, }
Fattore integrante:
1
x
2
y
2
+
x
y
.
{\displaystyle \ {1 \over x^{2}y^{2}+xy}.}
Dividendo l'equazione per
x
2
y
2
+
x
y
{\displaystyle \ x^{2}y^{2}+xy}
si ha:
y
d
x
+
(
x
−
1
y
)
d
y
=
0
,
{\displaystyle \ ydx+(x-{1 \over y})dy=0,}
che è una equazione esatta.Integrando si ottiene:
x
y
+
l
o
g
C
=
l
o
g
y
{\displaystyle \ xy+log\ C=log\ y}
da cui l'integrale generale:
y
=
C
e
x
y
.
{\displaystyle \ y=Ce^{xy}.}
Forma tipica:
A
d
x
+
B
d
y
=
0
1
B
(
∂
A
∂
y
−
∂
B
∂
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle Adx+Bdy=0\qquad {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial x})=f(x)}
Quando:
1
B
(
∂
A
∂
y
−
∂
B
∂
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial x})=f(x)}
Fattore integrante:
ρ
=
e
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \ \rho =e^{\int _{}^{}f(x)dx}.}
Esempio :
(
x
2
+
y
2
+
2
x
)
d
x
+
2
y
d
y
=
0
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+2x)dx+2ydy=0}
Si ha:
1
B
(
∂
A
∂
y
−
∂
B
∂
y
)
=
1
2
y
2
y
=
1
{\displaystyle \ {1 \over B}({\partial A \over \partial y}-{\partial B \over \partial y})={1 \over 2y}2y=1}
onde il fsattore integrante è:
ρ
=
e
∫
d
x
=
e
x
.
{\displaystyle \ \rho =e^{\int _{}^{}dx}=e^{x}.}
Si deduce quindi l'equazione esatta:
e
x
(
x
2
+
y
2
+
2
x
)
d
x
+
2
e
x
y
d
y
=
0
,
{\displaystyle \ e^{x}(x^{2}+y^{2}+2x)dx+2e^{x}ydy=0,}
da cui integrando si ha:
e
x
(
x
2
+
y
2
)
=
C
.
{\displaystyle \ e^{x}(x^{2}+y^{2})=C.}
Forma tipica:
A
d
x
+
B
d
y
=
0
1
A
(
∂
B
∂
x
−
∂
A
∂
x
)
=
φ
(
y
)
{\displaystyle Adx+Bdy=0\qquad {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial x})=\varphi (y)}
Quando:
1
A
(
∂
B
∂
x
−
∂
A
∂
y
)
=
φ
(
y
)
,
{\displaystyle \ {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})=\varphi (y),}
Fattore integrante:
ρ
=
e
∫
φ
(
y
)
d
y
{\displaystyle \ \rho =e^{\int _{}^{}\varphi (y)dy}}
Esempio : Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle y^2 dx+(x y+1)=0}
Si ha:
1
A
(
∂
B
∂
x
−
∂
A
∂
y
)
=
−
1
y
,
{\displaystyle \ {1 \over A}({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y})=-{1 \over y},}
onde il fattore integrante è:
ρ
=
e
∫
−
1
y
d
y
=
1
y
.
{\displaystyle \ \rho =e^{\int _{}^{}-{1 \over y}dy}={1 \over y}.}
Dividendo quindi l'equazione per y , si ha l'equazione esatta:
y
d
x
+
(
x
+
1
y
)
d
y
=
0
,
{\displaystyle \ ydx+(x+{1 \over y})dy=0,}
il cui integrale generale è:
x
y
+
l
o
g
y
=
C
.
{\displaystyle \ xy+logy=C.}