Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine

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Equazioni differenziali di primo ordineModifica

 

Forma tipica:

 .

Soluzione: Si dividono i due membri per il prodotto  

 

che è a variabili separate, basta quindi integrare separatamente i due termini (eseguire le quadrature) e cioè scrivere:

 

Esempi:

 

Si dividono i due membri per:  

 

da cui, integrando:

 
 

funzione che dà l' integrale generale.

 

Forma tipica

 

con la condizione:  

Soluzione: Si considera   costante e si pone l'integrale generale nella forma:

 

si determina poi la funzione   con la condizione:

 
 

Da cui:

 

Si ha così la formula risolutiva:

 

 

L'equazione è esatta, perché:  

Si ha quindi:

 

con la condizione:  

cioè:  

da cui si trae:  

ovvero integrando:  

Sostituendo in (1) si trova infine:

 

onde l'integrale generale dell'equazione è:

 
 
 
 

essendo:   funzioni omogenee e   il fattore integrante è: 

(I°) metodo di soluzione: Si divide l'equaqzione per  , e si ottiene così una equazione esatta che si

risolve come è stato indicato per il   tipo.

(II°) metodo di soluzione: Si pone:  , onde   e l'equazione data diventa:

  da cui, separando le variabili:  

e integrando:  

 

Risolvendo rispetto a y' si ha:

 

Poniamo:   onde:   e l'equazione diviene:

 .

Integrando si ottiene:   ovvero:   che è l'equazione di una famiglia di circonferenze aventi il centro sull'asse y.

 
 

fattore integrante:  

 

fattore integrante:  

Dividendo l'equazione per   si ha:

  che è una equazione esatta.

Integrando si ottiene:   da cui l'integrale generale:

 
 
 

quando:  

fattore integrante:  

 

Si ha:  

onde il fsattore integrante è:  

Si deduce quindi l'equazione esatta:

 

da cui integrando si ha:  

 
 

quando:  

fattore integrante:  

 

Si ha:  

onde il fattore integrante è:  

Dividendo quindi l'equazione per y, si ha l'equazione esatta:

 

il cui integrale generale è: