Analisi matematica/Sistemi lineari

Sistemi lineari

n equazioni in n incognite non omogenee

Cioè sistemi quadrati.

$\ sistema\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=k_{1}\\a_{21}x_{2}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\..........\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=k_{n}\end{cases}}$

$\ soluzione\ (regola\ di\ Cramer)\qquad x_{1}={D_{1} \over D},x_{2}={D_{2} \over D},...,x_{n}={D_{n} \over D}$

dove D è il determinante dei coefficienti e $\ D_{r}$ è quello che si deduce da esso sostituendo la colonna dei coefficienti dell'incognita $\ x_{r}$ con la colonna dei termini noti.

Il sistema è determinato se $\ D\neq 0;$ il sistema è impossibile se D=0 e qualche $\ D_{r}\neq 0;$ se infine $\ D=D_{1}=...=D_{n}=0,$ il sistema dato è indeterminato o impossibile.

m equazioni in n incognite non omogenee

$\ sistema\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x(n)=k_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=k_{2}\\...........\\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=k_{m}\end{cases}}$.

Condizione di esistenza delle soluzioni:

la matrice dei coefficienti e quella dei coefficienti e termini noti devono avcere la stessa caratteristica.(teorema di Rouchè-Capelli)

soluzione: Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il loro determinante sia $\ \neq 0$, allora, assegnando alle residue n-r incognite valori arbitrari, si risolve il sistema con la regola di Cramer.

Le rimanenti $\ m-r$ equazioni sono conseguenza delle prime $\ r;$ la relazione che lega linearmente una di queste alle precedenti $\ r$ è:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&....&a_{1r}&U_{1}\\a_{21}&a_{22}&....&a_{2r}&U_{2}\\...&...&...&...&...\\a_{r1}&a_{r2}&....&a_{rr}&U_{r}\\a_{\alpha 1}&a_{\alpha 2}&....&a_{\alpha r}&U_{\alpha }\end{vmatrix}}=0,$

dove $\ U_{i}$ rappresenta il primo membro della $\ i^{ma}$ equazione del sistema uguagliata a $\ 0$ ed il determinante do ordine $\ r$ formato con i coefficienti delle prime $\ r$ equazioni è $\neq 0.$ Il sistema è $\ (n-r)$ volte indeterminato.

n equazioni lineari omogenee in n incognite

sistema$:\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\\a_{21}x{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\\...............\\a_{n1}x{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\end{cases}}$

Condizione di esistenza di soluxioni in cui non tutte le x_i siano 0: il determinante del sistema deve essere 0.

soluzione: Se r è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso B.

m equazioni lineari omogenee in n incognite

sistema$:\qquad {\begin{cases}a_{11}x_{1}\ +....+a_{1n}x_{n}\ =0\\.............\\a_{m1}x_{1}+....+a_{mn}x_{n}=0\end{cases}}$

Condizioni di esistenza di soluzioni proprie, in cui cioènon tutte le x_i siano 0: la caratteristica della matrice dei coefficienti deve essere minore del numero delle incognite.

Soluzione. Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il determinante del sistema sia ≠0 e si risolve con la regola di Cramer portando n-r incognite nei secondi membri. Le rimanenti m-r equazioni sono conseguenza delle prime r.

Se in particolare la caratteristica è n-1, le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine n-1: A₁, A₂, ...A_n, che figurano nella matrice formata dalle n-1 equazioni indipendenti; precisamente si ha: x_{i}=(-1)^{i-1}ρA_i, essendo A_i il minore ottenuto sopprimendo la colonna i^ma e ρ un fattore di proporzionalità.

Sistemi non lineari

Per tali sistemi si procede in generale col metodo di eliminazione cercando di ottenere una risolvente ad una sola incognita, risolta la quale si possono calcolare le altre incognite con successive sostituzioni.