Analisi matematica/Sistemi lineari

Sistemi lineariModifica

=== n equazioni in n incognite non omogenee:=== cioè sistemi quadrati

 
 

dove D è il determinante dei coefficienti e   è quello che si deduce da esso sostituendo la colonna dei coefficienti dell'incognita   con la colonna dei termini noti.

Il sistema è determinato se   il sistema è impossibile se D=0 e qualche   se infine   il sistema dato è indeterminato o impossibile.

m equazioni in n incognite non omogenee:Modifica

 .
Condizione di esistenza delle soluzioni:

la matrice dei coefficienti e quella dei coefficienti e termini noti devono avcere la stessa caratteristica.(teorema di Rouchè-Capelli)

soluzione: Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il loro determinante sia  , allora, assegnando alle residue n-r incognite valori arbitrari, si risolve il sistema con la regola di Cramer.

Le rimanenti   equazioni sono conseguenza delle prime   la relazione che lega linearmente una di queste alle precedenti   è:

 

dove   rappresenta il primo membro della   equazione del sistema uguagliata a   ed il determinante do ordine   formato con i coefficienti delle prime   equazioni è   Il sistema è   volte indeterminato.

n equazioni lineari omogenee in n incognite:Modifica

sistema 

Condizione di esistenza di soluxioni in cui non tutte le xi siano 0: il determinante del sistema deve essere 0.

soluzione: Se r è la caratteristica, per la ricerca delle soluzioni si procede come nel caso B.

m equazioni lineari omogenee in n incognite:Modifica

sistema 

Condizioni di esistenza di soluzioni proprie, in cui cioènon tutte le xi siano 0: la caratteristica della matrice dei coefficienti deve essere minore del numero delle incognite.

Soluzione. Se la caratteristica è r, si considerano r equazioni in r incognite in modo che il determinante del sistema sia ≠0 e si risolve con la regola di Cramer portando n-r incognite nei secondi membri. Le rimanenti m-r equazioni sono conseguenza delle prime r.

Se in particolare la caratteristica è n-1, le incognite risultano proporzionali ai minori di ordine n-1: A1, A2, ...An, che figurano nella matrice formata dalle n-1 equazioni indipendenti; precisamente si ha: x_{i}=(-1){i-1}ρAi, essendo Ai il minore ottenuto sopprimendo la colonna ima e ρ un fattore di proporzionalità.

sistemi non lineariModifica

Per tali sistemi si procede in generale col metodo di eliminazione cercando di ottenere una risolvente ad una sola incognita, risolta la quale si possono calcolare le altre incognite con successive sostituzioni.