Analisi matematica/Esempi di integrali generalizzati

1. $\qquad \int _{0}^{1}{1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}dx,$

   la funzione $\ y={1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}$ ha un punto di infinito per $\ x=0$ di ordine ${1 \over 2}$, onde si ha:

   $\lim _{\delta \to 0}I(\delta )=\lim _{\delta \to 0}\int _{\delta }^{1}{1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}dx=\lim _{\delta \to 0}\left(2{\sqrt[{2}]{x}}+{2 \over 3}{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\right)_{\delta }^{1}={8 \over 3}$

2. $\int \int _{c}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}},$

   essendo $\ \Omega$ un quadrato di lato $\ 1$ con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione $\ {1 \over x+y}$ ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:

   $\lim _{c\to 0}\int \int _{\Omega -\omega }^{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}=\lim _{c\to 0}\left[\int \int _{\Omega _{1}}{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}+2\int \int _{\Omega _{2}}^{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}\right],$

   dove $\ \omega$ è un quadratino di lato $\ c$ con un vertice nell'origine, $\ \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}$ le parti in cui è diviso $\ Omega$ dalle parallele agli assi per i punti $\ (c,0),(0,c).$

   Eseguendo i calcoli si trova:

   $\lim _{c\to 0}\int _{c}^{1}dy\int _{c}^{1}{dx \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}+2\int _{0}^{c}dy\int _{c}^{1}{dx \over {\sqrt[{2}]{x+y=}}}={8 \over 3}\left({\sqrt[{2}]{2}}-1\right)$

3. $\int _{a}^{\infty }{dx \over x^{2}}$

   La funzione $\ y={1 \over y^{2}}$ per $\ {x\to \infty }$ è infinitesima di ordine 2.

   si ha:

   $\lim _{m\to \infty }\int _{a}^{m}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{m\to \infty }\left(-{1 \over x}\right)_{a}^{m}=\lim _{m\to \infty }\left(-{1 \over m}+{1 \over a}\right)={1 \over a}$.

4. $\int _{\Omega }^{}{dxdy \over (1+x^{2})(1+y^{2})}$

   essendo $\ \Omega$ il primo quadrato cartesiano. Allora si ha:

   $\lim _{{a\to \infty } \over {b\to \infty }}\int _{0}^{a}{dx \over 1+x^{2}}\int _{0}^{b}{dy \over 1+y^{2}}=\lim _{{a\to \infty } \over {b\to \infty }}(\arctan a\cdot \arctan b)={\pi \over 4}.$