Analisi matematica/Esempi di integrali generalizzati
- la funzione
ha un punto di infinito per
di ordine
, onde si ha:
![{\displaystyle \lim _{\delta \to 0}I(\delta )=\lim _{\delta \to 0}\int _{\delta }^{1}{1+x \over {\sqrt[{2}]{x}}}dx=\lim _{\delta \to 0}\left(2{\sqrt[{2}]{x}}+{2 \over 3}{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\right)_{\delta }^{1}={8 \over 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3f8ac0127d640dfbcaa15217b1df8490c8567c)
- essendo
un quadrato di lato
con un vertice nell'origine e due lati sugli assi. La funzione
ha un punto di infinito nell'origine. Si ha quindi:
![{\displaystyle \lim _{c\to 0}\int \int _{\Omega -\omega }^{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}=\lim _{c\to 0}\left[\int \int _{\Omega _{1}}{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}+2\int \int _{\Omega _{2}}^{}{dxdy \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0436752da2df4cc1e27741aae1c2b67f1f2a923a)
- dove
è un quadratino di lato
con un vertice nell'origine,
le parti in cui è diviso
dalle parallele agli assi per i punti
- Eseguendo i calcoli si trova:
![{\displaystyle \lim _{c\to 0}\int _{c}^{1}dy\int _{c}^{1}{dx \over {\sqrt[{2}]{x+y}}}+2\int _{0}^{c}dy\int _{c}^{1}{dx \over {\sqrt[{2}]{x+y=}}}={8 \over 3}\left({\sqrt[{2}]{2}}-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4277c74010367fd16fefa68336f1dbf54ca6c4b8)
- La funzione
per
è infinitesima di ordine 2.
- si ha:
.
- essendo
il primo quadrato cartesiano. Allora si ha:
