Analisi matematica/Continuità
Continuità
modificaa) definizioni
- Una funzione f(P) definita in un campo C a una o più dimensioni si dice continua in quando si ha:
-
- cioè quando, dato un numero arbitrario, esiste un intorno di tale che, qualunque sia P interno ad esso, si ha:
-
-
- Una funzione continua in ogni punto P di un campo C, in cui è definita, si dice continua in C.
- Una funzione continua in un campo C ad eccezione che in un numero finito di punti si dice generalmente continua in C.
- Una funzione continua in un campo C ad eccezione che in un insieme di punti rinchiudibile, cioè tale che esista un numero finito di campi elementari, la somma delle cui misure si possa rendere piccola a piacere, si dice continua quasi dappertutto.
- Una funzione, definita in um campo C, tale che, assegnato un arbitrario, in qualunque parte del campo di misura minore di , l'oscillazione della funzione (differenza fra il limite superiore e inferiore nella parte del campo sia minore di , si dice uniformemente continua nel campo.
- Una funzione, definita in un campo C, tale che, assegnato un arbitraio, e diviso comunque il campo in parti di misura , in ciascuna delle quali l'oscillazione sia , esista un per cui si abbia:
b) proprietà fondamentali
- Una funzione continua in un campo chiuso, vi è uniformemente continua. (teorema di Cantor).
- Una funzione continua in un campo chiuso è limitata.
- Una funzione continua in un campo chiuso ammette un massimo ed un minimo (assoluti).
- Una funzione continua in un campo chiuso assume almeno in un punto un valore qualsiasi compreso fra il massimo ed il minimo.
Serie numeriche
modificaa) definizioni
Data la serie: e posto:
possono presentarsi tre casi:
- ) lim Sn=S finito, nel qual caso la serie è convergente;
- ) lim Sn=∞, nel qual caso la serie è divergente;
- ) lim Sn non esiste, nel qual caso la serie è indeterminata.
Ne primo caso il numero S si dice somma della serie.
- esempi:
- serie geometrica:
1° caso) q<1,
- la serie è convergente.
2° caso) q>1,
- ,
- la serie è divergente.
3° caso) q=1
- la serie è divergente.
4° caso) q= -1,
- la serie non ha limite, è indeterminata.
5° caso) q< -1,
- il non esiste; la serie è indeterminata e la serie dei valori assoluti è divergente.
b) Criterio generale di convergenza Criterio generale per le serie a termini qualunque.
Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza è che da un certo n in poi si abbia: con arbitrariamente piccolo e p intero positivo arbitrario. Per p =1 il criterio da una condizione necessaria ma non sufficiente; per una serie alternata: se decresce e tende a 0, la serie converge.
c) Criterio di convergenza per le serie a termini positivi
1) criteri di confronto fra serie:
- a) quando se converge la , converge la , se diverge la , diverge la (criterio della serie maggiorante).
- b) se con , quando converge converge anche .
- c) se con , quando diverge, anche diverge.
2) criterio di Cauchy o della radice
- Se da un certo in poi la serie converge, se da un certo in poi la serie diverge.
- Se , il criterio non serve.
3) criterio di d'Alembert o del rapporto.
- Se da un certo n in poi la serie converge,
- se da un certo n in poi la serie diverge.
- Il criterio non serve quando .
4) criteri di Kummer.
- a) se è una successione di numeri positivi,
- e se la serie converge.
- b) Se la serie converge o diverge e si ha da un certo in poi: la serie converge o diverge.
- Se il criterio non serve.
5) regola di Raabe
- Se da un certo in poi si ha: la serie converge; se invece la serie diverge.
- Si ricava dal criterio di Kummer ponendovi e ricordando che la serie armonica è divergente.