formula di Lagrange se
f
(
x
)
=
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
.
.
+
a
n
x
+
a
n
{\displaystyle \ f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+..+a_{n}x+a_{n}}
e
f
(
x
0
)
=
A
0
,
f
(
x
1
)
=
A
1
,
.
.
.
+
f
(
x
n
)
=
A
n
{\displaystyle \ f(x_{0})=A_{0},\quad f(x_{1})=A_{1},...+\quad f(x_{n})=A_{n}}
essendo x0 ...xn ; A0 ...An numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A0 f0 (x)+A1 f1 (x)+...+An fn (n),
d
o
v
e
:
f
i
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
.
.
.
(
x
−
x
i
−
1
)
(
x
−
x
i
+
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
(
x
i
−
x
0
)
(
x
i
−
x
1
)
.
.
.
(
x
i
−
x
i
−
1
)
(
x
i
−
x
i
+
1
)
.
.
.
(
x
i
−
x
n
)
{\displaystyle \ dove:\qquad f_{i}(x)={(x-x_{0})(x-x_{1})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_{n}) \over (x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})...(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})...(x_{i}-x_{n})}}
Da questa formula consegue:
a
)
t
e
o
r
e
m
a
d
i
R
u
f
f
i
n
i
:
{\displaystyle \ a)\qquad teorema\ di\ Ruffini:}
Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinimio si annulli per
x
=
x
0
{\displaystyle \ x=x_{0}}
è che esso sia divisibile per
x
−
x
0
.
{\displaystyle \ x-x_{0}.}
b
)
p
r
i
n
c
i
p
i
o
d
i
i
d
e
n
t
i
t
a
′
d
e
i
p
o
l
i
n
o
m
i
:
{\displaystyle \ b)\qquad principio\ di\ identita'\ dei\ polinomi:}
Condizione necessaria e sufficientee perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della
x
,
{\displaystyle \ x,}
è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della
x
.
{\displaystyle \ x.}
potenza del binomio
(
x
+
y
)
n
{\displaystyle \ (x+y)^{n}}
con n intero e positivo Modifica
(
x
+
y
)
n
=
x
n
+
(
n
1
)
x
n
−
1
y
+
(
n
2
)
x
n
−
2
y
2
+
.
.
.
+
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
+
.
.
.
+
(
n
n
)
y
n
,
{\displaystyle \ (x+y)^{n}=x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+...+{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+...+{\binom {n}{n}}y^{n},}
dove
:
(
n
k
)
=
n
(
n
−
1
)
.
.
.
(
n
−
k
+
1
)
k
!
{\displaystyle :\qquad {\binom {n}{k}}={n(n-1)...(n-k+1) \over k!}}
Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k . Il denominatore, che si dice fattoriale di k , rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero
(
n
k
)
=
C
n
,
k
{\displaystyle {\binom {n}{k}}=C_{n,k}}
che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k .
I coefficienti binomiali godono delle proprietà:
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
;
(
n
k
−
1
)
+
(
n
k
)
=
(
n
+
1
k
)
;
(
n
k
)
=
(
n
k
−
1
)
n
−
k
+
1
k
;
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}};\quad {\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}={\binom {n+1}{k}};\quad {\binom {n}{k}}={\binom {n}{k-1}}{n-k+1 \over k};}
(
n
0
)
+
(
n
1
)
+
.
.
.
+
(
n
n
)
=
2
n
;
(
n
0
)
+
(
n
2
)
+
(
n
4
)
+
.
.
=
(
n
1
)
+
(
n
3
)
+
.
.
.
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+...+{\binom {n}{n}}=2^{n};\quad {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{2}}+{\binom {n}{4}}+..={\binom {n}{1}}+{\binom {n}{3}}+...}
potenza del polinomio
(
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
)
m
{\displaystyle \ (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{m}}
con m intero e positivo: Modifica
(
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
)
m
=
∑
m
!
λ
1
!
λ
2
!
.
.
.
λ
n
!
x
1
λ
1
x
2
λ
2
.
.
.
x
n
λ
n
,
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+...+x_{n})^{m}=\sum {m! \over \lambda _{1}!\lambda _{2}!...\lambda _{n}!}\ x_{1}^{\lambda _{1}}x_{2}^{\lambda _{2}}...x_{n}^{\lambda _{n}},}
la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ1 ,λ2 ,..λn interi tali che λ1 +λ2 +...+λn =m. .
scomposizione di un polinomio in fattori Modifica
L'equazione
:
f
(
x
)
=
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
a
n
−
1
x
+
a
n
=
0
{\displaystyle :\qquad f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}
può avere:
k
{\displaystyle \ k}
radici reali semplici
:
α
1
,
α
2
.
.
.
.
α
k
{\displaystyle \ :\quad \alpha _{1},\alpha _{2}....\alpha _{k}}
h
{\displaystyle \ h}
radici reali multiple
:
β
1
,
β
2
,
.
.
.
β
h
;
{\displaystyle \ :\quad \beta _{1},\beta _{2},...\beta _{h};}
con i rispettivi ordini di moltiplicità:
r
1
,
r
2
,
.
.
.
r
h
{\displaystyle \ r_{1},r_{2},...r_{h}}
s
{\displaystyle \ s}
radici complesse semplici
:
γ
m
±
i
ε
m
c
o
n
m
=
1
,
2
,
.
.
.
s
;
{\displaystyle \ :\quad \gamma _{m}\pm i_{\varepsilon _{m}}\quad con\ m=1,2,...s;}
t
{\displaystyle \ t}
radici complesse multiple
:
(
μ
m
±
i
ν
m
)
{\displaystyle \ :\quad (\mu _{m}\pm i_{\nu _{m}})}
con
m
=
1
,
2
,
.
.
.
t
{\displaystyle \ m=1,2,...t}
e con i rispettivi ordini di moltiplicità
l
1
,
l
2
,
.
.
.
l
t
{\displaystyle \ l_{1},l_{2},...l_{t}}
e sarà:
k
+
r
1
+
r
2
+
.
.
+
r
h
+
2
s
+
2
(
l
1
+
l
2
+
.
.
+
l
t
)
=
n
.
{\displaystyle \ k+r_{1}+r_{2}+..+r_{h}+2s+2(l_{1}+l_{2}+..+l_{t})=n.}
In conseguenza il polinomio
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
è divisibile per le funzioni:
x
−
α
m
m
=
1....
k
,
{\displaystyle \ x-\alpha _{m}\qquad m=1....k,}
ovvero
:
(
x
−
β
m
)
r
m
m
=
1....
h
,
{\displaystyle :\qquad (x-\beta _{m})^{r_{m}}\qquad m=1....h,}
ovvero
:
(
x
−
γ
m
)
2
+
ε
m
2
m
=
1...
s
,
{\displaystyle :\qquad (x-\gamma _{m})^{2}+\varepsilon _{m}^{2}\qquad m=1...s,}
ovvero
:
[
(
x
−
μ
m
)
2
+
ν
m
2
]
l
m
m
=
1....
t
{\displaystyle :\qquad [(x-\mu _{m})^{2}+\nu _{m}^{2}]^{l_{m}}\qquad m=1....t}
Se
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
ha
:
3
{\displaystyle \ :\qquad 3}
radici reali semplici
:
α
1
,
α
2
,
α
3
{\displaystyle \ :\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}
1
{\displaystyle \ 1}
radice reale tripla
:
β
{\displaystyle \ :\quad \beta }
2
{\displaystyle \ 2}
radici complesse semplici
:
γ
±
i
ε
{\displaystyle \ :\quad \gamma \pm i_{\varepsilon }}
2
{\displaystyle \ 2}
radici complesse doppie
:
μ
±
i
ν
{\displaystyle \ :\quad \mu \pm i_{\nu }}
il polinomio
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
è decomponibile in fattori nel seguente modo:
f
(
x
)
=
a
0
(
x
−
α
1
)
(
x
−
α
2
)
(
x
−
α
3
)
(
x
−
β
)
3
[
(
x
−
γ
)
2
+
ε
2
]
[
(
x
−
μ
)
2
+
ν
2
]
2
.
{\displaystyle \ f(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})(x-\alpha _{3})(x-\beta )^{3}[(x-\gamma )^{2}+\varepsilon ^{2}][(x-\mu )^{2}+\nu ^{2}]^{2}.}
Se
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
invece ha
n
{\displaystyle \ n}
radici reali semplici si ha:
f
(
x
)
=
a
0
(
x
−
α
1
)
(
x
−
α
2
)
.
.
.
.
(
x
−
α
n
)
.
{\displaystyle \ f(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})....(x-\alpha _{n}).}
trasformazione di funzioni algebriche razionali fratte Modifica
a
)
x
m
−
a
m
x
−
a
=
x
m
−
1
+
a
x
m
−
2
+
a
2
x
m
−
3
+
.
.
.
.
+
a
m
−
2
+
a
m
−
1
{\displaystyle \ a)\quad {x^{m}-a_{m} \over x-a}=x^{m-1}+ax^{m-2}+a^{2}x^{m-3}+....+a^{m-2}+a^{m-1}}
b
)
x
2
m
−
a
2
m
x
+
a
=
x
2
m
−
1
−
a
x
2
m
−
2
+
.
.
.
.
−
a
2
m
−
1
{\displaystyle \ b)\quad {x^{2m}-a^{2m} \over x+a}=x^{2m-1}-ax^{2m-2}+....-a^{2m-1}}
c
)
x
2
m
+
1
+
a
2
m
+
1
x
+
a
=
{\displaystyle \ c)\quad {x^{2m+1}+a^{2m+1} \over x+a}=}
d
)
f
(
x
)
(
x
−
α
1
)
(
x
−
α
2
)
.
.
.
(
x
−
α
n
)
=
{\displaystyle \ d)\quad {f(x) \over (x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})...(x-\alpha _{n})}=}
dove
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
è un polinomio di grado
<
n
{\displaystyle \ <n}
e le
c
{\displaystyle \ c}
sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente
x
=
α
1
,
α
2
,
.
.
.
α
n
.
{\displaystyle \ x=\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n}.}
e
)
f
(
x
)
(
x
−
α
)
[
(
x
−
β
)
2
+
γ
2
]
=
c
1
x
−
α
+
c
2
x
+
c
3
(
α
−
β
)
2
+
γ
2
{\displaystyle \ e)\quad {f(x) \over (x-\alpha )[(x-\beta )^{2}+\gamma ^{2}]}={c_{1} \over x-\alpha }+{c_{2}x+c_{3} \over (\alpha -\beta )^{2}+\gamma ^{2}}}
f
)
f
(
x
)
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
r
=
c
1
(
x
−
α
)
+
c
2
(
x
−
β
+
c
2
(
x
−
β
)
2
+
.
.
.
+
c
r
+
1
(
x
−
β
)
r
{\displaystyle \ f)\quad {f(x) \over (x-\alpha )(x-\beta )^{r}}={c_{1} \over (x-\alpha )}+{c_{2} \over (x-\beta }+{c_{2} \over (x-\beta )^{2}}+...+{c_{r+1} \over (x-\beta )r}}
Le costanti
c
i
{\displaystyle \ c_{i}}
si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.
relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0 Modifica
{
x
1
+
x
2
+
.
.
.
+
x
n
=
−
a
1
a
0
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+
.
.
.
+
x
n
−
1
x
n
=
a
2
a
0
.
.
.
∑
x
1
x
2
.
.
.
x
r
=
(
−
1
)
r
a
r
a
0
x
1
x
2
.
.
.
.
x
n
=
(
−
1
)
n
a
n
a
0
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=-{a_{1} \over a_{0}}\\x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+...+x_{n-1}x_{n}={a_{2} \over a_{0}}\\...\\\sum x_{1}x_{2}...x_{r}=(-1)^{r}{a_{r} \over a_{0}}\\x_{1}x_{2}....x_{n}=(-1)^{n}{a_{n} \over a_{0}}.\end{cases}}}
Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.
discriminante di un'equazione algebrica Modifica
è la funzione simmetrica delle radici:
D
=
a
0
2
n
−
2
|
1
1
.
.
.
.
.
1
x
1
x
2
.
.
.
.
.
x
n
x
1
2
x
2
2
.
.
.
.
.
x
n
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
1
n
−
1
x
2
n
−
1
.
.
.
.
.
x
n
n
−
1
|
{\displaystyle \ D=a_{0}^{2n-2}{\begin{vmatrix}1&1&.....&1\\x_{1}&x_{2}&.....&x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&.....&x_{n}^{2}\\...&...&...&...\\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&.....&x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}}
Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ f(x)=0}
esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.
Per l'equazione
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}
si ha:
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle \ D=b^{2}-4ac}
e per l'equazione
x
3
+
p
x
+
q
=
0
,
{\displaystyle \ x^{3}+px+q=0,}
si ha:
D
=
−
108
(
p
3
27
+
q
2
4
)
.
{\displaystyle \ D=-108({p^{3} \over 27}+{q^{2} \over 4}).}
risultante di due equazioni algebriche Modifica
campo di razionalità Modifica
Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.