Analisi matematica/Funzioni algebriche razionali

funzioni algebriche razionali notevoliModifica

  1. formula di Lagrange
se  
e  

essendo x0 ...xn; A0...An numeri noti, il polinomio f(x) è dato dalla formula: f(x)=A0f0(x)+A1f1(x)+...+Anfn(n),

 

Da questa formula consegue:

  Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinimio si annulli per   è che esso sia divisibile per  

  Condizione necessaria e sufficientee perché due polinomi siano identicamente uguali, cioè uguali per ogni valore della   è che abbiano uguali i coefficienti delle stesse potenze della  

potenza del binomio   con n intero e positivoModifica

 

dove  

Il numeratore di questa frazione rappresenta il numero delle disposizioni di n elementi a k a k. Il denominatore, che si dice fattoriale di k, rappresenta il numero delle permutazioni di k elementi. Infine il numero   che si dice coefficiente binomiale rappresenta il numero delle combinazioni di n elementi a k a k.

I coefficienti binomiali godono delle proprietà:

 
 

potenza del polinomio   con m intero e positivo:Modifica

 

la somma essendo estesa a tutti quei gruppi di numeri λ12,..λn interi tali che λ12+...+λn=m..

scomposizione di un polinomio in fattoriModifica

L'equazione 

può avere:

  radici reali semplici  
  radici reali multiple  

con i rispettivi ordini di moltiplicità:  

  radici complesse semplici  
  radici complesse multiple  

con   e con i rispettivi ordini di moltiplicità   e sarà:

 

In conseguenza il polinomio   è divisibile per le funzioni:

 

ovvero 

ovvero 

ovvero 

Se   ha   radici reali semplici  

  radice reale tripla  
  radici complesse semplici  
  radici complesse doppie  

il polinomio   è decomponibile in fattori nel seguente modo:

 

Se   invece ha   radici reali semplici si ha:

 

trasformazione di funzioni algebriche razionali fratteModifica

 

 

 

 

dove   è un polinomio di grado   e le   sono costanti da determinare, riducendo i due membri a forma intera e poi applicando ai medesimi il principio di identità dei polinomi, ovvero ponendo successivamente  

 

 

Le costanti   si determinano ancora riducendo l'eguaglianza a forma intera ed applicando poi il principio di identità dei polinomi.

relazioni fra radici e coefficienti dell'equazione: f(x)=0Modifica

 

Queste relazioni permettono di costruire un'equazione note le sue radici.

discriminante di un'equazione algebricaModifica

è la funzione simmetrica delle radici:

 

Questo determinante si può anche esprimere come funzione rszionale intera con coefficienti interi dei coefficienti dell'equazione data. L'annullarsi del discriminante dell'equazione   esprime la condizione necessaria e sufficiente perché l'equazione abbia raici multiple.

Per l'equazione   si ha:   e per l'equazione   si ha:  

risultante di due equazioni algebricheModifica

campo di razionalitàModifica

Un sistema di numeri reali o complessi forma un campo di razionalità quando le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con divisore ≠0), riproducono numeri del sistema stesso. I numeri del sistema sono gli elementi del campo.