Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari

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Equazioni riducibili lineariModifica

 
Forma tipica: 

Si pone :   onde   e ponendo in questa l'espressione di y' si

ha l'equazione:

  che è lineare in z.

 

Si pone:   e l'equazione diventa:
 

che risolta da:  


 
Forma tipica: 

essendo a, b, e C funzioni date di x:

Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo
 

essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.

 

Questa equazione ammette l'integrale particolare;   per cui ponendo:  

l'equazione diventa:   che si integra subito separando levariabili e si trova:

  pere cui l'integrale generale della data è:

 

Se si pone :   l'equazione data si trasforma in una equazione lineare.


 
Forma tipica: 
Si derivano i due membri rispetto a xe si pone:  , onde l'equazione diventa:
 

Ovvero: 

che è lineare nell'incognita  

L'integrale generale si trova così in forma parametrica:
 

Se in particolare:   l'equazione si dice di Clairaut.


 

 

 

Derivando e ponendo poi   si ha l'equazione lineare nell'incognita x:

 

Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova

 

Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:

 


 

 
Derivando e ponendo   si trova:
 

L'equazione:   fornisce l'integrale generale, poiché:   che confrontata con la data diventa:  

L'altra equazione:   da l'integrale singolare che è:   da cui   equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcella famiglia costituita dall'integrale

generale.