Forma tipica:
−
d
y
d
x
+
a
(
x
)
y
=
b
(
x
)
y
n
.
{\displaystyle \ -\qquad {dy \over dx}+a(x)y=b(x)y^{n}.}
Si pone :
z
=
y
1
−
n
,
{\displaystyle \ z=y^{1-n},}
z
′
=
(
1
−
n
)
y
−
n
y
′
{\displaystyle \ z'=(1-n)y{-n}y'}
y' si
ha l'equazione:
1
1
−
n
d
z
d
x
+
a
z
=
b
,
{\displaystyle \ {1 \over 1-n}{dz \over dx}+az=b,}
z .
d
y
d
x
+
2
x
y
=
y
3
x
3
{\displaystyle {dy \over dx}+{2 \over x}y={y^{3} \over x^{3}}}
Si pone:
z
=
y
−
2
,
z
′
=
−
2
y
−
3
y
′
{\displaystyle \ z=y^{-2},\quad z'=-2y^{-3}y'}
d
z
d
x
=
4
x
−
2
x
3
,
{\displaystyle \ {dz \over dx}={4 \over x}-{2 \over x^{3}},}
che risolta da:
z
=
1
3
x
2
+
C
x
4
o
v
v
e
r
o
:
1
y
2
=
1
x
2
+
C
x
4
.
{\displaystyle \ z={1 \over 3x^{2}}+Cx^{4}\qquad ovvero:{1 \over y^{2}}={1 \over x^{2}}+Cx^{4}.}
Forma tipica:
−
d
y
d
x
+
a
y
2
+
b
y
+
C
=
0.
{\displaystyle \ -\qquad {dy \over dx}+ay^{2}+by+C=0.}
Essendo a , b , e C funzioni date di x:
Se si conosce un integrale particolare y_1, ponendo
y
=
y
1
+
z
{\displaystyle \ y=y_{1}+z}
Essa si trasforma in una equazione di Bernoulli.
d
y
d
x
−
x
y
2
+
2
x
2
y
−
x
3
−
1
=
0.
{\displaystyle {dy \over dx}-xy^{2}+2x^{2}y-x^{3}-1=0.}
Questa equazione ammette l'integrale particolare;
y
1
=
x
,
{\displaystyle \ y_{1}=x,}
y
=
x
+
z
{\displaystyle \ y=x+z}
d
x
d
x
=
x
z
2
{\displaystyle \ {dx \over dx}=xz^{2}}
z
=
−
1
x
2
2
+
C
{\displaystyle \ z=-{1 \over {x^{2} \over 2}+C}}
y
=
x
−
2
x
2
+
2
C
=
x
3
+
2
C
x
−
2
x
2
+
2
C
.
{\displaystyle \ y=x-{2 \over x^{2}+2C}={x^{3}+2Cx-2 \over x^{2}+2C}.}
Se si pone :
y
=
y
1
+
1
z
,
{\displaystyle \ y=y_{1}+{1 \over z},}
Forma tipica:
−
y
=
α
(
y
′
)
x
+
β
(
y
′
)
.
{\displaystyle \ -\qquad y=\alpha (y')x+\beta (y').}
Si derivano i due membri rispetto a xe si pone:
y
′
=
t
{\displaystyle \ y'=t}
[
t
−
α
(
t
)
]
d
x
d
t
=
α
′
(
t
)
x
+
β
′
(
t
)
,
{\displaystyle \ [t-\alpha (t)]{dx \over dt}=\alpha '(t)x+\beta '(t),}
Ovvero:
−
d
x
d
t
=
α
′
(
t
t
−
α
(
t
)
x
+
β
′
(
t
)
t
−
α
(
t
)
[
s
e
t
=
α
(
t
)
]
,
{\displaystyle \ -\quad {dx \over dt}={\alpha '(t \over t-\alpha (t)}x+{\beta '(t) \over t-\alpha (t)}\qquad [se\ t=\alpha (t)],}
che è lineare nell'incognita
x
=
x
(
t
)
.
{\displaystyle \ x=x(t).}
L'integrale generale si trova così in forma parametrica:
{
x
φ
(
t
,
C
)
y
α
(
t
)
φ
(
t
,
C
)
+
β
(
t
)
{\displaystyle \ {\begin{cases}x&\varphi (t,C)\\y&\alpha (t)\varphi (t,C)+\beta (t)\end{cases}}}
Se in particolare:
α
(
y
′
)
=
y
′
{\displaystyle \ \alpha (y')=y'}
Clairaut .
1) Si risolva l'equazione di Lagrange:
y
=
x
y
′
2
+
y
′
{\displaystyle \ y=xy^{'2}+y^{'}}
Derivando e ponendo poi
y
′
=
t
{\displaystyle \ y^{'}=t}
d
x
d
t
+
2
x
t
−
1
=
−
t
t
(
t
−
1
)
{\displaystyle \ {dx \over dt}+{2x \over t-1}=-{t \over t(t-1)}}
Procedendo ora come è stato indicato nelle Equazioni lineari si trova
x
=
−
t
+
l
o
g
t
+
C
1
(
t
−
1
)
2
{\displaystyle \ x={-t+log\ t+C_{1} \over (t-1)^{2}}}
Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:
−
t
+
l
o
g
t
+
C
1
(
t
−
1
)
2
y
=
t
[
t
l
o
g
t
+
(
C
1
−
2
)
t
+
1
]
(
t
−
1
)
2
{\displaystyle \ {-t+log\ t+C_{1} \over (t-1)^{2}}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_{1}-2)t+1] \over (t-1)^{2}}}
2) Si risolva l'equazione di Clairaut:
y
=
x
y
′
+
y
′
2
.
{\displaystyle \ y=xy^{'}+y^{'2}.}
Derivando e ponendo
y
′
=
t
{\displaystyle \ y^{'}=t}
d
t
d
x
(
x
+
2
t
)
=
0.
{\displaystyle \ {dt \over dx}(x+2t)=0.}
L'equazione:
d
t
d
x
=
0
{\displaystyle \ {dt \over dx}=0}
t
=
C
,
y
′
=
C
,
y
=
C
x
+
C
1
{\displaystyle \ t=C,\quad y^{'}=C,\quad y=Cx+C_{1}}
y
=
C
x
+
C
2
.
{\displaystyle \ y=Cx+C^{2}.}
L'altra equazione:
x
+
2
t
=
0
{\displaystyle \ x+2t=0}
y
′
=
−
x
2
{\displaystyle \ y^{'}=-{x \over 2}}
y
=
−
x
2
4
,
{\displaystyle \ y=-{x^{2} \over 4},}
![{\displaystyle \ [t-\alpha (t)]{dx \over dt}=\alpha '(t)x+\beta '(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dff823ba98dbf532e09a077a5f5a176dbb5933b)
![{\displaystyle \ -\quad {dx \over dt}={\alpha '(t \over t-\alpha (t)}x+{\beta '(t) \over t-\alpha (t)}\qquad [se\ t=\alpha (t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3726ac021022ddc3251de885394637a0aa530ac)
![{\displaystyle \ {-t+log\ t+C_{1} \over (t-1)^{2}}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_{1}-2)t+1] \over (t-1)^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e0e030a79189979bc0a83e36b931bdd5b4e4fe)
