Analisi matematica/Determinanti e matrici

Indice del libro

MatriciModifica

  Definizione

Si definisce matrice una tabella di   numeri reali (o complessi), disposti su n righe e m colonne, dove con il termine:

  • riga intendiamo le righe orizzontali
  • colonna intendiamo invece le righe verticali

Una matrice si presenterà nella forma più generica come:

 

nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici si usano le lettere maiuscole latine.

  • I numeri che riempiono una matrice vengono detti elementi ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con  , dove la coppia di indici i,j indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'elemtento nella matrice.
  • La dimensione di una matrice che ha n righe e m colonne è  
Esempio
Sia A la seguente matrice:
 
In questo caso la dimensione di A è   in quanto vi sono 2 righe e 2 colonne, inoltre:
L'elemento   perché 1 si trova all'incrocio della prima riga e la prima colonna
L'elemento   perché 2 si trova all'incrocio della prima riga e la seconda colonna
L'elemento   perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la prima colonna
L'elemento   perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna

determinante di 2° ordineModifica

 

determinante di 3° ordineModifica

 

determinante di 4° ordineModifica

(regola di sviluppo di Laplace):

 
 
 

determinante di ordine nModifica

 

dove   è il determinante di ordine  , ottenuto dal dato colla soppressione della orizzontale   e della verticale   preso col segno   il determinante   si dice complemento algebvrico o aggiunto di  

Se   si ha:

 

(sviluppo di un determinante con due line uguali il cui valore è 0).

determinante di VandermondeModifica

 

Questo determinante è diverso da   se i numeri   sono differenti.

determinante reciprocoModifica

 

essendo   il determinante dato.

Prodotto di due determinanti di ordine nModifica

 

dove:  

cioè:   risulta dalla moltiplicazione della   orizzontale del   per la   del  

Il prodotto però può pure eseguirsi per verticali fra loro oppure anche con orizzontali per verticali o viceversa.

rango di una matriceModifica

Data la matrice:

 

si dice rango l'ordine massimo dei determinanti diversi da zero contenuti nella matrice. Date m forme lineari: ar1x1+ar2x2+...+arnxn=Ur con r=1,2...m, la carsatteristica della matrice dei coefficienti dà il numero di tali forme linearmente indipendenti.

esempio: Il rango della seguente matrice quadrata è 2.
 

Notare che in questo caso la matrice contiene un determinante di terzo ordine che è zero, nove determinanti di secondo ordine non nulli, e nove determinanti di primo ordine (elementi).