Caso a, forma omogenea:
Si separano subito le variabili;
onde:
![{\displaystyle \ log\ y=-\int _{}^{}a(x)dx+C,\qquad y=Ce^{-\int _{}^{[}{}adx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df42cd55e8fae14157cb810741856d7a2320d737)
Caso b, forma completa:
Si pone:
(\gamma essendo una funzione di xda determinarsi), cioè si
cerca un integrale particolare dell'equazione completa, onde:
![{\displaystyle \ y'=\gamma 'e^{-\int _{}^{}adx}-a\gamma e^{-\int _{}^{}adx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25164b6c425132f021ed8858002669e58161c54)
si sostituisce nell'equazione e si ha:
![{\displaystyle \ \gamma 'e^{-\int _{}^{}adx}+b=0\qquad onde\qquad \gamma '=-be^{\int _{}^{}adx},\qquad \gamma =-\int _{}^{}be^{\int _{}^{}adx}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9dca67a3052230dede69e7df38d2ac23db5325)
onde l'integrale generale si ottiene addizionando all'integrale generale dell'equazione omogenea questo integrale
particolar della completa, cioè:
![{\displaystyle \ y=e^{-\int _{}^{}adx}({-\int _{}^{}be^{\int _{}^{}adx}dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea2ea864c59599b295e6d3fc27e9bc3d3cbbf48)
Esempio
a) Integrale dell'equazione omogenea:
![{\displaystyle \ {dy \over dx}=-2{y \over x},\quad {dy \over y}=-2{dx \over x},\quad log\ {y \over C}=-2log\ x,\quad y={C \over x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df96773d49c5aa24c1ca9fee4bf4142635c0859)
b) Integrale particolare dell'equazione completa:
![{\displaystyle \ y={\gamma \over x^{2}},\quad y'={\gamma ' \over x^{2}}-{2\gamma \over x^{3}},\quad \gamma '=x^{5},\quad \gamma ={x^{6} \over 6}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c76e01ddfb550c6a41f85a1d1219072eff4cc02)
c) Integrale generale dell'equazione completa:
![{\displaystyle \ y={1 \over x^{2}}({x^{6} \over 6}+C).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337c889c3c7018e76d67b8520b74b699c7b4af11)
(Questo metodo si dice metodo della variazione della costante arbitraria)