Analisi matematica/Equazioni lineari

Caso a, forma omogenea: ${dy \over dx}+a(x)y=0,$

Si separano subito le variabili; $\ {dy \over y}+a(x)dx=0,$

onde:

$\ log\ y=-\int _{}^{}a(x)dx+C,\qquad y=Ce^{-\int _{}^{[}{}adx}$

Caso b, forma completa: ${dy \over dx}+a(x)y+b(x)=0,$

Si pone: $\ y=\gamma e^{-\int _{}^{adx}}$ (\gamma essendo una funzione di xda determinarsi), cioè si

cerca un integrale particolare dell'equazione completa, onde:

$\ y'=\gamma 'e^{-\int _{}^{}adx}-a\gamma e^{-\int _{}^{}adx},$

si sostituisce nell'equazione e si ha:

$\ \gamma 'e^{-\int _{}^{}adx}+b=0\qquad onde\qquad \gamma '=-be^{\int _{}^{}adx},\qquad \gamma =-\int _{}^{}be^{\int _{}^{}adx}dx,$

onde l'integrale generale si ottiene addizionando all'integrale generale dell'equazione omogenea questo integrale

particolar della completa, cioè:

$\ y=e^{-\int _{}^{}adx}({-\int _{}^{}be^{\int _{}^{}adx}dx}$

Esempio ${dy \over dx}+2{y \over x}-x^{3}=0$

a) Integrale dell'equazione omogenea:

$\ {dy \over dx}=-2{y \over x},\quad {dy \over y}=-2{dx \over x},\quad log\ {y \over C}=-2log\ x,\quad y={C \over x^{2}}$

b) Integrale particolare dell'equazione completa:

$\ y={\gamma \over x^{2}},\quad y'={\gamma ' \over x^{2}}-{2\gamma \over x^{3}},\quad \gamma '=x^{5},\quad \gamma ={x^{6} \over 6}.$

c) Integrale generale dell'equazione completa:

$\ y={1 \over x^{2}}({x^{6} \over 6}+C).$

(Questo metodo si dice metodo della variazione della costante arbitraria)