Analisi matematica/Limiti

Indice del libro

LimitiModifica

a) Limite o estremo superiore di una funzione in un campo  : è un numero L tale che ogni valore di essa in C è   e, qualunque sia  , esiste qualche valore della funzione maggiore di  .

b) Limite o estremo inferiore di una funzione in un campo C : è un numero l tale che ogni valore di essa in C è ≥l e, qualunque sia ε, esiste qualche valore della funzione minore di l+ε. Una funzione che ammetta limite superiore ovvero inferiore finiti si dice limitata superiormente o inferiormente e, se li ammette entrambi, si dice limitata.

c) Limite sinistro finito di f(x). Il numero l è limite sinistro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per a-x<δ (a>x) è pure |f(x)|<ε.

si scrive  

d) limite destro finito di f(x).

Il numero l è limite destro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per x-a<δ (a<x) è pure: |f(x)-l|<ε.

Si scrive  

Esempio  

|x| = massimo intero contenuto in x.

e) Limite finito di f(x).

Il numero l è limite o punto di accumulazione di f(x) per x→a se, dato un ε>0 arbitrario, esiste unδ>0 tale che per |x-a|<δ si ha pure: |f(x)-l|< di ε.

Si scrive  

Esempio   perché: |sin x|<|x| in un intorno completo di 0.

Quando una funzione ha un limite finito per x→a, si dice convergente per x→a.

f) Limite infinito di f(x).

1) Si dice che f(x) ha limite   per x→a se per |x-a|<δ si ha rispettivamente: f(x)>M ovverif(x)<-M, essendo M un numero arbitrario positivo. Il limite   può essere anche sinistro o destro come quello finito.
esempio:   poiché per 0<x<ε si ha:  
2) Si dice che f(x) ha limite   per x→+∞ se per x>M si ha rispettivamente: f(x)>N ovvero f(x)<-N con M, N numeri positivi arbitrari, Analogamente per x→-∞.

Quando una funzione ha limite ±∞ per x→a si dice divergente per x→a.

Esempio:   perché:
 

g) Limiti di z=f(x,y) per   e  

Si dice che la funzione z=f(x,y) tende a l quando x tende a x0 e y tendea y0 se, dato   arbitrario, quando
 

si ha  

e si scrive  

Esempio: La funzione   tende a   quando x e y tendono a 1.

h) Proprieta dei limiti

1) Se una funzione f(x) è sempre crescente (o sempre decrescente) per x→a, ammete un limite finito o infinito; in entrambi i casi coincide col suo estremo superiore(o col suo estremo inferiore).
Esempio: la funzuione   crescente per x→∞ ammette come limite il numero e=2,71828.., base dei logaritmi neperiani.
2) Se una funzione f(x) è tale che: φ(x)≤f(x)≤ψ(x) e:   si ha pure:  

Esempio: siccome:

  per x→0 e quindi:  

si deduce;

 
3) Se una funzione è definita in un campo C, esiste almeno un punto in ogni intorno del quale il limite superiore (o inferiore) della funzione coincide col limite superiore (o inferiore) della stessa in C (teorema di Weierstrass).
4)  
Esempio 
5)  
esempio  
6)  
esempio  
7)  
esempio  
8)  
esempio