a) Limite o estremo superiore di una funzione in un campo
: è un numero L tale che ogni valore di essa in C è
e, qualunque sia
, esiste qualche valore della funzione maggiore di
.
b) Limite o estremo inferiore di una funzione in un campo C : è un numero l tale che ogni valore di essa in C è ≥l e, qualunque sia ε, esiste qualche valore della funzione minore di l+ε. Una funzione che ammetta limite superiore ovvero inferiore finiti si dice limitata superiormente o inferiormente e, se li ammette entrambi, si dice limitata.
c) Limite sinistro finito di f(x). Il numero l è limite sinistro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per a-x<δ (a>x) è pure |f(x)|<ε.
si scrive
d) limite destro finito di f(x).
Il numero l è limite destro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per x-a<δ (a<x) è pure: |f(x)-l|<ε.
Si scrive
Esempio
- |x| = massimo intero contenuto in x.
e) Limite finito di f(x).
Il numero l è limite o punto di accumulazione di f(x) per x→a se, dato un ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per |x-a|<δ si ha pure: |f(x)-l|< di ε.
Si scrive
Esempio
perché: |sin x|<|x| in un intorno completo di 0.
Quando una funzione ha un limite finito per x→a, si dice convergente per x→a.
f) Limite infinito di f(x).
- 1) Si dice che f(x) ha limite
per x→a se per |x-a|<δ si ha rispettivamente: f(x)>M ovverif(x)<-M, essendo M un numero arbitrario positivo. Il limite
può essere anche sinistro o destro come quello finito.
- esempio:
poiché per 0<x<ε si ha: ![{\displaystyle {1 \over x}>{1 \over \varepsilon }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dedc7fc88918efd33f40b2a2b924cc6b02dbe00)
- 2) Si dice che f(x) ha limite
per x→+∞ se per x>M si ha rispettivamente: f(x)>N ovvero f(x)<-N con M, N numeri positivi arbitrari, Analogamente per x→-∞.
Quando una funzione ha limite ±∞ per x→a si dice divergente per x→a.
- Esempio:
perché:
![{\displaystyle \log a^{x}>\log M\qquad quando;x>{\log M \over \log a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0bda0a6f6606e9c6f797a5a4910c4e44a5339a)
g) Limiti di z=f(x,y) per
e
- Si dice che la funzione z=f(x,y) tende a l quando x tende a x0 e y tendea y0 se, dato
arbitrario, quando
![{\displaystyle {\begin{cases}|x-x_{0}|<\delta \\|y-y_{0}|<\delta \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7092ea2230e8fa47d93e9d77b7b6d0b6eb3e1dc0)
si ha
e si scrive
- Esempio: La funzione
tende a
quando x e y tendono a 1.
h) Proprieta dei limiti
- 1) Se una funzione f(x) è sempre crescente (o sempre decrescente) per x→a, ammete un limite finito o infinito; in entrambi i casi coincide col suo estremo superiore(o col suo estremo inferiore).
- Esempio: la funzuione
crescente per x→∞ ammette come limite il numero e=2,71828.., base dei logaritmi neperiani.
- 2) Se una funzione f(x) è tale che: φ(x)≤f(x)≤ψ(x) e:
si ha pure: ![{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1700fd6c93d7c9e485c9b8bf464fec8e3dc239e6)
Esempio: siccome:
per x→0 e quindi: ![{\displaystyle \ 1>|{\sin x \over x}|>|{1 \over \cos x}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40875ec4ed07e6da49eec9e1201a1570a7e4f41)
si deduce;
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sin x \over x}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d9c9894fc09236cc083fea5b6f2e9b9e921c99)
- 3) Se una funzione è definita in un campo C, esiste almeno un punto in ogni intorno del quale il limite superiore (o inferiore) della funzione coincide col limite superiore (o inferiore) della stessa in C (teorema di Weierstrass).
- 4)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}|f(x)\pm \phi (x)|=\lim _{x\to 0}f(x)\pm \lim _{x\to 0}\phi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0351661802c8420176841e101f174b564d6adb46)
- Esempio
![{\displaystyle :\qquad \lim _{x\to c}(x+c)=\lim _{x\to c}x+\lim _{x\to c}c=2c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60a6867598179df42bdb0284ccf73dae5a00ec1f)
- 5)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)\phi (x)|=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e214fd316ff75a199f6d86b4ef6a1eb7f606117f)
- esempio
![{\displaystyle :\qquad \lim _{x\to 0}x\cos x=\lim _{x\to 0}x\lim _{x\to 0}\cos x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94071bc9ff063f86686ce5c03a6d026c2b3b2a52)
- 6)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|^{n}=|\lim _{x\to a}f(x)|^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ed43e666ba40fb23d4e6d5d8174c3aecee1bb9)
- esempio
![{\displaystyle :\qquad \lim _{x\to c}x^{m}=|\lim _{x\to c}x|^{m}=c^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e4e0e9f8e9db765d11101c665a306df0a1b3df)
- 7)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x) \over \phi (x)}={\lim _{x\to a}f(x) \over \lim _{x\to a}\phi (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb87088a49ebcf89718f4ddcdd4bbd06c2ef8f63)
- esempio
![{\displaystyle :\qquad \lim _{x\to 1}{x+4 \over x+2}={\lim _{x\to 1}(x+4) \over \lim _{x\to 1}(x+2)}={5 \over 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23603a1e7261dc5f1917e43f0f953d57ec099d98)
- 8)
![{\displaystyle \lim _{x\to a}logf(x)=\log \lim _{x\to a}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e69becb90a2b0a41440ed6d6ac75e87beaf0e1)
- esempio
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log(1+{1 \over x})^{x}=\log \lim _{x\to \infty }(1+{1 \over x})^{\infty }=\log e=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0712214aa8b794a7eb0ccffde76cb3e50c4ffc3)