Analisi matematica/Limiti

a) Limite o estremo superiore di una funzione in un campo $\ C$: è un numero L tale che ogni valore di essa in C è $\leq L$ e, qualunque sia $\ \epsilon$, esiste qualche valore della funzione maggiore di $\ L-\varepsilon$.

b) Limite o estremo inferiore di una funzione in un campo C : è un numero l tale che ogni valore di essa in C è ≥l e, qualunque sia ε, esiste qualche valore della funzione minore di l+ε. Una funzione che ammetta limite superiore ovvero inferiore finiti si dice limitata superiormente o inferiormente e, se li ammette entrambi, si dice limitata.

c) Limite sinistro finito di f(x). Il numero l è limite sinistro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per a-x<δ (a>x) è pure |f(x)|<ε.

si scrive $:\qquad \lim _{x\to a-}f(x)=l$

d) limite destro finito di f(x).

Il numero l è limite destro di f(x) per x→a se dato ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per x-a<δ (a<x) è pure: |f(x)-l|<ε.

Si scrive $:\qquad \lim _{x\to a+}f(x)=l$

Esempio $:\lim _{x\to 2+}|x|=2.$

|x| = massimo intero contenuto in x.

e) Limite finito di f(x).

Il numero l è limite o punto di accumulazione di f(x) per x→a se, dato un ε>0 arbitrario, esiste un δ>0 tale che per |x-a|<δ si ha pure: |f(x)-l|< di ε.

Si scrive $:\qquad \lim _{x\to a}f(x)=l$

Esempio $:\qquad \lim _{x\to 0}\sin x=0,$ perché: |sin x|<|x| in un intorno completo di 0.

Quando una funzione ha un limite finito per x→a, si dice convergente per x→a.

f) Limite infinito di f(x).

1) Si dice che f(x) ha limite $\ \pm \infty$ per x→a se per |x-a|<δ si ha rispettivamente: f(x)>M ovverif(x)<-M, essendo M un numero arbitrario positivo. Il limite $\ \infty$ può essere anche sinistro o destro come quello finito.

esempio: $\ \lim _{x\to 0+}{1 \over x}=+\infty ,$ poiché per 0<x<ε si ha: ${1 \over x}>{1 \over \varepsilon }.$

2) Si dice che f(x) ha limite $\ \pm \infty$ per x→+∞ se per x>M si ha rispettivamente: f(x)>N ovvero f(x)<-N con M, N numeri positivi arbitrari, Analogamente per x→-∞.

Quando una funzione ha limite ±∞ per x→a si dice divergente per x→a.

Esempio: $\lim _{x\to +\infty }a^{x}=+\infty \qquad se\ a>1,\qquad$ perché:

$\log a^{x}>\log M\qquad quando;x>{\log M \over \log a}.$

g) Limiti di z=f(x,y) per $\ x\to x_{0}$ e $\ y\to y_{0}$

Si dice che la funzione z=f(x,y) tende a l quando x tende a x₀ e y tendea y₀ se, dato $\ \epsilon$ arbitrario, quando

${\begin{cases}|x-x_{0}|<\delta \\|y-y_{0}|<\delta \end{cases}}$

si ha $:\qquad |f(x,y)-f(x_{0},y_{0})<\epsilon$

e si scrive $:\qquad \lim _{({x\to x_{0}})({y\to y_{0}})}f(x,y)=f(x_{0},y_{0}).$

Esempio: La funzione $z={1 \over x+y}$ tende a ${1 \over 2}$ quando x e y tendono a 1.

h) Proprieta dei limiti

1) Se una funzione f(x) è sempre crescente (o sempre decrescente) per x→a, ammete un limite finito o infinito; in entrambi i casi coincide col suo estremo superiore(o col suo estremo inferiore).

Esempio: la funzuione $\ y=(1+{1 \over x}^{x})$ crescente per x→∞ ammette come limite il numero e=2,71828.., base dei logaritmi neperiani.

2) Se una funzione f(x) è tale che: φ(x)≤f(x)≤ψ(x) e: $\lim _{x\to a}\phi (x)=\lim _{x\to a}\psi (x)=l,$ si ha pure: $\lim _{x\to a}f(x)=l.$

Esempio: siccome:

$\ |\sin x|<|x|<\tan x|$ per x→0 e quindi: $\ 1>|{\sin x \over x}|>|{1 \over \cos x}|$

si deduce;

$\lim _{x\to 0}{\sin x \over x}=1.$

3) Se una funzione è definita in un campo C, esiste almeno un punto in ogni intorno del quale il limite superiore (o inferiore) della funzione coincide col limite superiore (o inferiore) della stessa in C (teorema di Weierstrass).

4) $\lim _{x\to 0}|f(x)\pm \phi (x)|=\lim _{x\to 0}f(x)\pm \lim _{x\to 0}\phi (x).$

Esempio$:\qquad \lim _{x\to c}(x+c)=\lim _{x\to c}x+\lim _{x\to c}c=2c$

5) $\lim _{x\to a}|f(x)\phi (x)|=\lim _{x\to a}f(x)\lim _{x\to a}\phi (x)$

esempio $:\qquad \lim _{x\to 0}x\cos x=\lim _{x\to 0}x\lim _{x\to 0}\cos x=0$

6) $\lim _{x\to a}|f(x)|^{n}=|\lim _{x\to a}f(x)|^{n}$

esempio $:\qquad \lim _{x\to c}x^{m}=|\lim _{x\to c}x|^{m}=c^{m}$

7) $\lim _{x\to a}{f(x) \over \phi (x)}={\lim _{x\to a}f(x) \over \lim _{x\to a}\phi (x)}$

esempio $:\qquad \lim _{x\to 1}{x+4 \over x+2}={\lim _{x\to 1}(x+4) \over \lim _{x\to 1}(x+2)}={5 \over 3}$

8) $\lim _{x\to a}logf(x)=\log \lim _{x\to a}f(x)$

esempio $\lim _{x\to \infty }\log(1+{1 \over x})^{x}=\log \lim _{x\to \infty }(1+{1 \over x})^{\infty }=\log e=1$