Analisi matematica/Integrazioni di funzioni goniometriche

Integrare una funzione goniometrica significa svolgere un integrale di un gruppo di funzioni irrazionali dette periodiche o circolari. Le combinazioni di funzioni goniometriche sono utilizzate in applicazioni fisiche, come il moto armonico, descritto dalla legge

$f(t)=A\cos(\omega t+\phi )\!$,

detta equazione d'onda, dove A, ω e φ sono costanti. Verranno distinti vari casi, poiché negli integrali non si procede mai per regola generale, ma per deduzione, analizzando il tipo di funzione integranda e applicando le regole note di integrazione immediata nonché le formule di risoluzione degli integrali.

Ricordando allora le regole di integrazione notevoli visualizzate qui tavola degli integrali più comuni.

Integrazione di funzioni circolari singole

Si vuole calcolare, come nell'esempio precedente, un integrale di un'onda armonica descritta dalla legge fisica citata. La variabile di integrazione è t e la funzione integranda è composta, ma l'argomento interno è semplicemente una somma di costanti, il che non dà problemi. Requisito fondamentale è la conoscenza delle formule di integrazione immediata delle funzioni circolari seno e coseno.

1. $\int {sin(x)}=-cos(x)+c$
2. $\int {cos(x)}=sin(x)+c$

con c costante reale.

Allora l'integrale richiesto è, applicando rapidamente la 1. e la 2.

$\int {A\cos(\omega t+\phi )}=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\phi )+C\qquad C\in \mathbb {R}$

Osservazioni

La formula precedente vale per $\omega \neq 0$. Nel caso in cui $\omega$ fosse uguale a zero allora la funzione integranda risulterebbe essere $A\cos {(\phi )}$ e la famiglia delle primitive è:

$A\cos {(\phi )}t+C\qquad C\in \mathbb {R}$

Risulta più complicato calcolare un integrale in cui la funzione goniometrica presenta un esponente maggiore di 1. Integrazione di funzioni del tipo

$f(x):=\sin ^{\alpha }{(x)}\qquad g(x):=\cos ^{\alpha }{(x)}$

con α intero e positivo.

Esempio: calcolare l'integrale di cos³(x). È evidente che non è immediato, non è possibile applicare nessuna formula diretta. Procediamo allora per parti.

Attenzione

Se però, come accade più spesso, l'esponente che compare è elevato, la procedura di integrazione per parti risulta lunga e macchinosa e può indurre facilmente ad errori di calcolo.

C’è però un metodo alternativo e molto più efficace: l’applicazione congiunta delle formule di bisezione e di formule di Werner, che verrà illustrato nell’esempio seguente.

Regola pratica generale: Per risolvere gli integrali di questo tipo occorre scindere la funzione circolare isolando sempre il termine ci secondo grado, elevandolo all’opportuna potenza e occasionalmente moltiplicarlo per un altro termine di primo grado, se l’esponente della funzione integranda è dispari.

Per poter integrare è necessario sviluppare la potenza ed applicare con iterazione le formule di bisezione, per abbassare* i termini di secondo grado. Una volta ridotti tutti i termini del prodotto a primo grado, è possibile ricorrere alle formule di Werner più volte per spezzare tutti i prodotti di funzioni goniometriche in somme. Dopodiché, rimanendo un unico integrale di una somma di funzioni goniometriche singole di primo grado, risulta facile (per la proprietà di linearità) integrare le somme trovate applicando la 3 o la 4.

N.B.: abbassare significa ridurre l’esponente di 1

Se α non dovesse essere intero, non c’è garanzia di poter calcolare un integrale seguendo le procedure elementari. Però esistono modi per la risoluzione di integrali di funzioni irrazionali.

Quindi condizione sufficiente per risolvere un integrale elementarmente è che la radice dell'integranda sia quadrata e che il radicando sia un polinomio di secondo grado. Negli altri casi non è garantito un risultato secondo le tecniche elementari. Non è escluso, ma la probabilità è bassa di poter risolvere un integrale che non rientri in questa categoria senza ricorrere a metodi numerici.

Dato che il radicando non è un polinomio, si può sviluppare in serie di Taylor al secondo ordine e ottenere un valore che si discosta da quello esatto di un infinitesimo di ordine 2, applicando la formula di Taylor con il resto di Lagrange.

Calcolare l’integrale di $\int {{\sqrt {\cos {x}^{3}}},x}$

Osservando però la figura I, la funzione integranda è discontinua in un numero infinito di punti e presenta un numero infinito di soluzioni, che sono classificate come punti di discontinuità. Il suo dominio infatti è a intervalli alternati di ampiezza pi.

Essendo discontinua in un numero non quantificabile di punti, non è possibile applicare le regole di integrazione immediate viste precedentemente, quindi non sarà possibile neanche ottenere un valore approssimato dell’integrale. Anche la procedura di Taylor è risultata inadeguata, può funzionare solo se si vuole calcolare approssimativamente il valore dell’integrale in un solo intervallo, preferibilmente su, dove f è continua.

Integrazione di prodotti di funzioni goniometriche

La risoluzione di questa classe di integrale risulta più semplice di quella con funzioni singole, ma vediamo qualche esempio per chiarire.

Esempio Applicando le formule di Werner, l’integrale è risolubile immediatamente

Ci sono due funzioni e si può considerare $\cos {x}$ sarebbe la derivata della funzione $\sin {x}$ se non comparisse l’esponente 3.

Integrazione di funzioni circolari fratte

Per calcolare integrali di questo tipo, sebbene le funzioni siano sempre circolari, occorre sfruttare altri metodi differenti da quelli esplicitati prima. Innanzitutto le funzioni circolari fratte non sono altro che le reciproche di quelle note. Esse sono:

$cosec\ x=1/\sin {x}$

$sec=1\cos {x}$

$cotan=1\tan {x}$

Quindi questo paragrafo si occupa del caso in cui l’esponente α di una funzione singola è intero e negativo.