Analisi matematica/Derivata

Derivata e differenziale della funzione y=f(x)Modifica

1) Una funzione   si dice derivabile nel punto   se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:

 

il quale limite si dice derivata di   per  

Se il limite suddetto esiste per ogni valore   di un intervallo   si pone:

 

funzione che rappresenta la derivata di   in tutto 

'esempio'

Se  

  e
 

onde  

2) Una funzione   si dice differenziabile nel punto   se il suo incremento   calcolato nel punto   si può esprimere nel seguente modo:

 

essendo   una quantità finita ed   una quantità che tende a zero con  

Se la precedente relazione vale in tutto   la   si dice differenziabile in   Il primo termine del 2° menmbro si dice diferenziale della funzione e si scrive:   da cui la relazione:  .

Regole di derivazioneModifica

  1. derivata di una somma o differenza
     
  2. derivata di un prodotto
     
  3. derivata di un quoziente
     
  4. derivata di funzione di funzione
  5. derivata della funzione inversa di y=f(x)
      cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.
  6. derivata di cf(x)
     
  7. derivazione per serie
    Se una serie   di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate   sono continue e la serie   è uniformemente convergente in (a,b), si ha:
     
    essendo   la somma della serie data.

Derivate fondamentaliModifica

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  

Derivate e differenziali di ordine nModifica

  1.  
  2.  

Derivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)Modifica

  1. derivate parziali prime
     
     
  2. derivate parziali seconde
     
     
     
    cioè le derivate seconde miste sono uguali.
  3. derivate di una funzione   composta mediante le funzioni:  
     
  4. derivata secondo la direzione di coseni direttori   e   nel piano, e   nello spazio:
     
    essendo   la distanza di due punti posti sopra una retta parallela alla distanza data.
  5. differenziali totali di  
     
    dove   è un esponente simbolico e cioè va inteso come ordine di derivazione per le derivate e come esponente per   e 
  6. Un'espressione:   si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una  , cioè se:
     
    per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione:  

Formule e regole fondamentali del calcolo differenzialeModifica

  1. formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):
     
    con  
  2. formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):
     
    con  
  3. formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0
     
    con  
  4. formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:
    1.  
    2.  
      L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con   e può assumere le seguenti forme:
      •  
      •  
      •  
  5. formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:
  6. regola di Hopital per le forme indeterminate:
    1. Se il rapporto   per x=c si presenta nelle forme:
       
      e se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:
       
    essendo n il  primo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.
    • Le forme indeterminate del tipo   si riconducono al caso a) mediante le trasformazioni:
       
    • Le forme indeterminate del tipo   si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se
       
  7. formule di eulero sulle funzioni omogenee:
    Se una funzione   è omogenea, cioè tale che:
     
    essendo   il grado di omogeneità, valgono per essa le relazioni:
    a)  
    b)  
    ....................
    c)  
  8. sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0
    a) Fra due radici di   esiste almeno una radice di  
    b) condizione necessaria e sufficiente perché   sia radice multipla di ordine   di   è che si abbia:   o