Analisi matematica/Derivata
Derivata e differenziale della funzione y=f(x)
modifica1) Una funzione si dice derivabile nel punto se esiste determinato il limite del rapporto incrementale calcolato nel punto stesso quando l'incremento della variabile indipendente tende a zero, cioè se esiste il limite:
il quale limite si dice derivata di per
Se il limite suddetto esiste per ogni valore di un intervallo si pone:
funzione che rappresenta la derivata di in tutto
- 'esempio'
Se
- e
onde
2) Una funzione si dice differenziabile nel punto se il suo incremento calcolato nel punto si può esprimere nel seguente modo:
essendo una quantità finita ed una quantità che tende a zero con
Se la precedente relazione vale in tutto la si dice differenziabile in Il primo termine del 2° menmbro si dice diferenziale della funzione e si scrive: da cui la relazione: .
Regole di derivazione
modifica- derivata di una somma o differenza
- derivata di un prodotto
- derivata di un quoziente
- derivata di funzione di funzione
- derivata della funzione inversa di y=f(x)
- cioè se la funzione data è invertibile nell'intervallo in cui si considera.
- derivata di cf(x)
- derivazione per serie
- Se una serie di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate sono continue e la serie è uniformemente convergente in (a,b), si ha:
- essendo la somma della serie data.
- Se una serie di funzioni continue è convergente in un intervallo (a,b), se le derivate sono continue e la serie è uniformemente convergente in (a,b), si ha:
Derivate fondamentali
modificaDerivate e differenziali di ordine n
modificaDerivate e differenziali di una funzione z=f(x,y)
modifica- derivate parziali prime
- derivate parziali seconde
-
- cioè le derivate seconde miste sono uguali.
- derivate di una funzione composta mediante le funzioni:
- derivata secondo la direzione di coseni direttori e nel piano, e nello spazio:
- essendo la distanza di due punti posti sopra una retta parallela alla distanza data.
- differenziali totali di
- dove è un esponente simbolico e cioè va inteso come ordine di derivazione per le derivate e come esponente per e
- Un'espressione: si dice differenziale esatto se è il differenziale totale di una , cioè se:
-
- per il che è necessario e sufficiente che sia verificata la condizione:
-
Formule e regole fondamentali del calcolo differenziale
modifica- formula del valore medio per una funzione y=f(x) differenziabile nell'intervallo (x,x+h):
-
- con
-
- formula del valore medio per una funzione z=f(x,y) differenziabile in un campo C contenente il punto (x,y):
-
- con
-
- formula di Cauchy per due funzioni f(x) e g(x) differenziabili nell'intervallo (x,x+h) e con g'(x)≠0
-
- con
-
- formula di Taylor e di Mac-Laurin per una funzione f(y) differenziabile almeno fino all'ordine n:
-
- L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con e può assumere le seguenti forme:
- L'ultimo termine del secondo membro chiamasi termine complementare o resto. Si indica normalmente con e può assumere le seguenti forme:
- formule di Taylor e di Mac-Lorin per una funzione z=f(x,y) differenziabile fino all'ordine n:
- regola di Hopital per le forme indeterminate:
- Se il rapporto per x=c si presenta nelle forme:
- e se il limite del secondo membro esiste, e in caso contrario:
- essendo n il primo ordine delle derivate per le quali il limite del 2° membro esiste.
- Le forme indeterminate del tipo si riconducono al caso a) mediante le trasformazioni:
- Le forme indeterminate del tipo si riconducono ai casi precedenti ricorrendo ai logaritmi e precisamente se
- Le forme indeterminate del tipo si riconducono al caso a) mediante le trasformazioni:
- Se il rapporto per x=c si presenta nelle forme:
- formule di eulero sulle funzioni omogenee:
- Se una funzione è omogenea, cioè tale che:
- essendo il grado di omogeneità, valgono per essa le relazioni:
- a)
- b)
- ....................
- c)
- Se una funzione è omogenea, cioè tale che:
- sulla ricerca delle radici di un'equazione: f(x)=0
- a) Fra due radici di esiste almeno una radice di
- b) condizione necessaria e sufficiente perché sia radice multipla di ordine di è che si abbia: o