Analisi matematica/Esempi di calcolo di integrali definiti

1. $\qquad \int _{1}^{a}{1 \over x}dx=(\log x)_{1}^{a}=\log a$
2. $\qquad \int _{\gamma }^{}(x+y)dx$

   essendo $\ \gamma$ l'arco di una parabola $\ y=ax^{2}$ compreso fra $\ x=0$ e $\ x=m:$

   $\int _{\gamma }^{}(x+y)dx=\int _{0}^{m}(x+ax^{2})dx=({x^{2} \over 2}+a{x^{3} \over 3})_{0}^{m}={m^{2} \over 2}+a{m^{3} \over 3}$

3. $\int _{\gamma }^{}yds\ ,$

   $\ \gamma ={\widehat {A}}B$ arco di circonferenza di raggio $\ r$ e ampiezza $\ 2\alpha$ avente il punto medio sull'asse $\ y\ .$

   Si ha: $\ x=r\sin \alpha ,\ y=r\cos \alpha ,\ ds={\sqrt[{2}]{x^{'2}(\alpha )+y^{'2}(\alpha )}}ds=rd\alpha \ ,$

   $\int _{\gamma }^{}yds=\int _{-\alpha }^{\alpha }r^{2}\cos \alpha d\alpha =(r^{2}\sin \alpha )_{-\alpha }^{\alpha }=2r^{2}\sin \alpha =r{\bar {AB}}\ .$

4. $\int \int _{\Omega }^{}xy\ dx\ dy\ ,$

   essendo $\ \Omega$ il primo quadrante di un'elisse ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\ .$

   Si ha quindi\ :

   $\iint _{\Omega }^{}xy\ dx\ dy=\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{{a \over b}{\sqrt[{2}]{b^{2}-y^{2}}}}xy\ dx={a^{2} \over 2b^{2}}\int _{0}^{b}y(b^{2}-y^{2})\ dy={a^{2}b^{2} \over 8}$

   ovvero :

   $\iint _{\Omega }^{}xy\ dx\ dy=\int _{0}^{a}dx\int _{0}^{{b \over a}{\sqrt[{2}]{a^{2}-x^{2}}}}xy\ dy={b^{2} \over 2a^{2}}\int _{0}^{a}x(a^{2}-x^{2})\ dx={a^{2}b^{2} \over 8\ .}$

5. $\int \int \int _{V}^{}x^{2}dx\ dy\ dz$

   esendo $\ V$ un parallelepipedo con un vertice nell'ogigine, limitato dai piani cartesiani, e di cui altri tre vertci sono i punti:

   $\ A=\equiv (a,o,o),\quad B\equiv (0,b,0),\quad c\equiv (0,0,c)\ ;$

   $\iiint _{V}^{}x^{2}dx\ dy\ dz=\int _{0}^{c}dz\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{a}x^{2}dx={1 \over 3}\int _{0}^{c}dz\int _{0}^{b}a^{3}dy={a^{3}b \over 3}\int _{0}^{c}dz={a^{3}bc \over 3}$