Analisi matematica/Esempi di calcolo di integrali definiti

- essendo
l'arco di una parabola
compreso fra
e 

arco di circonferenza di raggio
e ampiezza
avente il punto medio sull'asse 
- Si ha:
![{\displaystyle \ x=r\sin \alpha ,\ y=r\cos \alpha ,\ ds={\sqrt[{2}]{x^{'2}(\alpha )+y^{'2}(\alpha )}}ds=rd\alpha \ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba90c756420918d1180a18275a6a7078ea9798c)

- essendo
il primo quadrante di un'elisse 
- Si ha quindi\ :
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}xy\ dx\ dy=\int _{0}^{b}dy\int _{0}^{{a \over b}{\sqrt[{2}]{b^{2}-y^{2}}}}xy\ dx={a^{2} \over 2b^{2}}\int _{0}^{b}y(b^{2}-y^{2})\ dy={a^{2}b^{2} \over 8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb251ec4b473624d12781d9acf1d5b50027727a)
- ovvero :
![{\displaystyle \iint _{\Omega }^{}xy\ dx\ dy=\int _{0}^{a}dx\int _{0}^{{b \over a}{\sqrt[{2}]{a^{2}-x^{2}}}}xy\ dy={b^{2} \over 2a^{2}}\int _{0}^{a}x(a^{2}-x^{2})\ dx={a^{2}b^{2} \over 8\ .}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc4d71f5f40b802305a2393d63e883f63a608da)
- esendo
un parallelepipedo con un vertice nell'ogigine, limitato dai piani cartesiani, e di cui altri tre vertci sono i punti:

