Analisi matematica/Equazioni a coefficienti reali

algebriche razionali intereModifica

[1] di 1° grado  

determinata se   indeterminata se   impossibile se  

[2] di 2° grado  

 

le due radici sono reali distinte se  

le due radici sono reali coincidenti se  

le due radici sono complesse coniugate se  

[3] di 3° grado  

a) Ponendo  , l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:

 

da cui  

(formula risolutiva Cardanica)

se  , una radice è reale e due complesse coniugate,
se  , una radice è reale semplice e una doppia,
se  , le tre radici sono reali e distinte.

In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:

 
 

dove:

 

si ha allora:

 
 

b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:

se

 

e     fra   e   cade almeno una radice. Nota una radice   le altre si ottengono uguagliando a   la frazione  , che è di 2° grado in  .

In particolare le equazioni reciproche:

 

ammettono la radice   le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:

 

c) L'equazione   alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può in fine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone

 

le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica:   ed alla retta:  .

[4] di 4° grado:

 

Ponendo   l'equazione si trasforma nella seguente

 

Se   essa è biquadratica e si risolve con la posizione:  

Se   ponendo:     trisultano radici dell'equazione cubica:

 

Se   sono le radici di questa equazione, si ha:

 

Si sceglieranno poi tre fra i valori di   in modo che si abbia:

 

e se   sono tali valori, le quattro radici dell'equazione sono date dalle espressioni:

 
 

L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in  

[5 ]

algebriche razionali fratteModifica

Sono le equazioni del tipo:

 

essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due membri per Q(x).

Sono importanti i seguenti principi:

  1. se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una funzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
  2. se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni
 

sono equivalenti.

algebriche irrazionaliModifica

L'equazione:  , essendo f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.

equazioni trascendenti notevoliModifica

a) Esponenziale monomia:   essendo  una funzione algebrica. Essa si trasforma nell'equazione algebrica:

 

b) Esponenziale trinomia:  

Ponendo:   da cui   essa diventa algebrica di 2° grado in  

c) Logaritmica:  .

Se   e   sono funzioni algebriche, esse si trasformano nelle equazioni algebriche:

 

d) Trigonometrica lineare in  

 

con la trasformazione:  

l'equazione diventa algebrica in  

e) Trigonometrica omogenea di 2° in  

 

Dividendo per   l'equazione diventa algebrica in   a questo tipo di equazione può pure ridursi l'equazione:

 

ponendo:  

f) Trigonometrica razionale intera in    

Si riduce algebrica razionale intera in   ponendo: