a) Ponendo , l'equazione si trasforma nella seguente trinomia:
da cui
(formula risolutiva Cardanica)
se , una radice è reale e due complesse coniugate,
se , una radice è reale semplice e una doppia,
se , le tre radici sono reali e distinte.
In quest'ultimo caso le tre radici si possono calcolare agevolmente in forma trigonometrica. Ponendo:
dove:
si ha allora:
b) Si può determinare per tentativi o con approssimazioni successive il valore di una radice servendosi dell'osservazione:
se
e fra e cade almeno una radice. Nota una radice le altre si ottengono uguagliando a la frazione , che è di 2° grado in .
In particolare le equazioni reciproche:
ammettono la radice le altre due radici si ottengono risolvendol'equazione:
c) L'equazione alla quale può sempre ridursi un'equazione completa di 3° grado, si può infine risolvere graficamente coi metodi della Geometria Analitica: se si pone
le radici cercate sranno le ascisse dei punti comuni alla parabola cubica: ed alla retta:.
[4] di 4° grado:
Ponendo l'equazione si trasforma nella seguente
Se essa è biquadratica e si risolve con la posizione:
Se ponendo: trisultano radici dell'equazione cubica:
Se sono le radici di questa equazione, si ha:
Si sceglieranno poi tre fra i valori di in modo che si abbia:
e se sono tali valori, le quattro
radici dell'equazione sono date dalle espressioni:
L'equazione può avere 4 radici reali; 2 reali e 2 immaginarie; 4 immaginarie; i tre casi dipendono dalla natura delle radici dell'equazione cubica in
essendo P eQ polinomi in x. Si riducono intere, moltiplicando i due membri per Q(x).
Sono importanti i seguenti principi:
se si moltiplicano primo e secondo membro di un'equazione A=B per una funzione intera M dell'incognita o delle incognite, l'equazione MA=MB ha certamente per soluzione tutte le soluzioni dell'equazione A=B ma può averne anche altre e precisamente quella della M=0;
se P(x) e Q(x) sono polinomi in x primi fra loro, le equazioni
L'equazione: , essendo f e φ simboli di funzioni razionali, si rende razionale isolando la parte irrazionale ed elevando i due membri ad n. Se nell'equazione figurano più radicali occorre in generale elevare più volte all'indice n e spesso usare artifici. L'equazione razionale che si ottiene non è in generale equivalente alla data.