Se C è un campo a n dimensioni, f (x1, x2...xn) una funzione data e limitata nel campo C, (x1(i), x2(i),...xn(i)) un punto appartenente ad una parte elementare
del campo totale C, se esiste il limite:
![{\displaystyle \ I_{c}=\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum _{i}f(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},...x_{n}^{(i)})\Delta c_{i}=\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum _{i}l_{i}\ \Delta c_{i}=\lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum _{i}L_{i}\ \Delta c_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa27a5a04729bf3ece7705614c0f418d8fc11e1)
essendo
e
rispettivamente l'estremo inferiore e superiore di
in
questo limite si dice integrale definito di
nel campo di integrazione
e si indica con la scrittura:
![{\displaystyle \ I_{c}=\int _{c}f(x_{1},x_{2},....x_{n})\ dc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0874ec4a0de7232c947a6be0e7102e5e980ca61f)
La funzione si dice allora integrabile,
si chiama il campo di integrazione. La condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità è:
![{\displaystyle \lim _{\Delta c_{i}\to 0}\sum \Delta c_{i}(L_{i}-l_{i})=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3174372aa4d7e619db0ad6abeeac72dc4814a69f)
dove
è l'oscillazione della funzione nella regione elementare
Sono integrabili in un campo
le funzioni che in tale campo sono continue, o generalmente continue o continue quasi dappertutto.