Analisi matematica/Formule risolutive degli integrali

Integrali immediatiModifica

funzione data integrale funzione data integrale
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Integrali quasi immediatiModifica

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
    quando   cioè   e   hanno lo stesso segno.
  6.   se  
  7.   se  
  8.   se si integra per parti, ponendo  , allora si ha:
     
     
     
    quindi,risolvendo rispetto a   si ha:
     
    si è così ricondotti all'integrale 6 o 7:
  9.  
    si è così ricondotti all'integrale 8.

Integrali non immediati da calcolare con particolari decomposizioni o sostituzioniModifica

Funzioni razionaliModifica

a) funzione razionale intera (polinomio)


 
b) funzione razionale fratta  

Si suppone   di grado inferiore a   altrimenti si farebbe la divisione di   per   e si avrebbe:   dove   è un polinomio e   una frazione propria: Ora se il denominatore è tale che:

 

essendo:   una radice reale semplice,

  una radice reale multipla,
  due radici complesse semplici,
  due radici complesse multiple,

dell'equazione:  , la frazione data si decompone nel seguente modo:

 
 

dove le costanti  , si determinano riducendo i due membri a forma intera, confrontando i numeratori ottenuti, e risolvendo il sistema che si ottiene scrivendo che devono essere uguali i coefficienti delle stesse potenze della   dei due membri. L'integrazione della frazione   è ricondotta così ad un gruppo di integrali quasi tutti immediati

c formule risolutive notevoli
  1.  
  2.  
    dove  
  3.  
  4.  
  5.  
    dove  
    Per determinare le costanti   si possono derivare i due membri delle formule precedenti, ridurre a forma intera i risultati e confrontare i numeratori per dedurre un sistema da risolvere rispetto alle costanti stesse.

Funzioni irrazionaliModifica

 

con   simbolo di funzione razionale.

Ponendo:  dove   da cui:  , l'integrale diventa:

 

con: 

e si è così ricondotti all'integrale di una funzione razionale.

esempio

 

Ponendo   si ha:

 

 

Posto   onde   si ha:

 

Ora,   quindi

 

allora, per  

 

 

con F simbolo di funzione razionale.

  1. Se  , si pone:   da cui:
     
     
    Sostituendo tutto in funzione di t l'integrale vieme razionalizzato.
    esempio
     
    Poniamo:   da cui
     
     
    allora, a meno di una costante:
     
    si ha quindi:
     
  2. Se   si pone invece:   essendo   una radice reale dell'equazione:   [Se le radici non fossereo reali, essendo     sarebbe immaginario]. Si ha quindi:  
    da cui 
      Sostituendo tutto in funzione di   l'integrale è ridotto a un integrale di funzione razinale di  

  (integrale di un differenziale binomio) con m, n, p, numeri razionali:

  1.   è intero
    Si sviluppa   con la regola del Binomio di Newton, si moltiplica il risultato per   e si decompone l'integrale in tanti integrali del tipo :  
  2.   è intero.
    Si pone   da cui:  
  3.   è intero.

  formule risolutive notevoli:

  1.  
      dove :
     
  2.  
     
    dove:  
  3.  
    dove:   è un polinomio di grado   e   è l'integrale quasi immediato n°1, quindi:
      se :  
      se :  
      se :  
  4.  
    dove   è l'ntegrale 2 e le costanti   si possono determinare derivando i due membri e confrontando poi i risultati ottenuti.

Funzioni trascendentiModifica

 

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone:   da cui:  

Esprimendo in t, l'integrale viene razionalizzato.

esempio
 

Ricordato che

 

si porrà:   da cui  

allora: 

con che la funzione da integrare è una funzione algebrica razionale.

 

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone:  , da cui   e l'integrale espresso in t viene razionalizzato.

esempio
 

 

con F simbolo di funzione razionale.

Si pone :   da cui   e sostituendo l'integrale viene razionalizzato.

esempio
 

Posto   da cui   si ha:

  e
 

  Si possono ridurre a integrali di funzioni trigronometriche dei tipi a) e b) mediante opportune sostituzioni gli integrali seguenti di funzioni irrazionali.

  1.  , con F simbolo di funzione razionale.
    si pone:   onde:
     
    esempio
     
    Si pone   da cui:   e  
    Allora:
     
    Sostituendo i ha:  
  2.  
    Si pone:   ovvero   da cui:
     
    Allora:
     
    ovvero
     
    esempio
  3.   con   simbolo di funzione razionale.
    Si pone:   ovvero   onde:
     
     

  Si possono ridurre facilmente a integrali razionali i seguenti: ponendo   ovvero  , si ha:

 
 

con F simbolo di funzione algebrca razionale.

  formule notevoli di riduzione:

Mediante integrazione per parti si trovano facilmente le seguenti formule:

  1.  
  2.   quando sia:  
  3.  
  4.  
  5.  

  formule risolutive notevoli.

Se   è un intero positivo, si ha:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.