Analisi matematica/Integrali generalizzati

1. integrali definiti con la funzione non limitata nel campo $\ C$ di integrazione.

   $\ a)\qquad \int _{a}^{b}f(x)dx\qquad$ con $\ f(x)$ non limitata in $\ b:$

   $\ I=\lim _{\delta \to 0}I(\delta )=\lim _{\delta \to 0}\int _{a}^{b-\delta }f(x)dx.$

   $\ b)\qquad \int _{a}^{b}f(x)dx$ con $\ f(x)$ non limtato in $\ a:$

   $\ I=\lim _{\delta \to 0}I(\delta )=\lim _{\delta \to 0}\int _{a+\delta }^{b}f(x)dx$

   $\ c)\qquad \int _{a}^{b}f(x)$ con $\ f(x)$ non limitata in $\ c$ essendo: $\ a<c<b$$\ :$

   $\ I=\lim _{{\delta \to 0} \over {\delta _{1}\to 0}}I(\delta ,\delta _{1})=\lim _{{\delta \to 0} \over {\delta _{1}\to 0}}[\int _{a}^{c-\delta }f(x)dx+\int _{c+\delta _{1}}^{b}f(x)dx]$ $\ ;$

   $\ d)\qquad \int _{}^{}\int _{}^{}f(x,y)dxdy$ con $\ f(x,y)$ non limitata in un punto $\ P$ di $\ \Omega$ $\ :$

   essendo $\ \Omega$ un dominio elementare contenente il punto $\ P$ .

   Si dimostra che gli integrali generalizzati di questo tipo esistono per quelle funzioni che hanno qualche punto di infinito di ordine $\ \alpha <1$ .

2. integrali definiti in un campo C di integrazione non limitato

   $\ a)\qquad \int _{a}^{\infty }f(x)dx$, con $\ f(x)$ limitata:

   $\ I=\lim _{m\to \infty }I(m)=\lim _{m\to \infty }\int _{a}^{m}f(x)dx$ $\ ;$

   $\ b)\qquad \int _{-\infty }^{b}f(x)dx,$ con $\ f(x)$ limitata:

   $\ I=\lim _{m\to \infty }I(m)=\lim _{m\to \infty }\int _{-m}^{b}f(x)dx;$

   $\ c)\qquad \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx,$ con $\ f(x)$ limitata :

   $\ I=\lim _{{m\to \infty } \over {m_{1}\to \infty }}I(m,m_{1})=\lim _{{m\to \infty } \over {m_{1}\to \infty }}[\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{m_{1}}f(x)dx]\ ;$

   $\ d)\qquad \int {}{}\int _{\Omega }{}f(x,y)dxdy\ ,$ con $\ \Omega$ illimitato e $\ f(x,y)$ limitata :

   $\ I=lim_{\Omega _{n}\to \Omega }\int _{}^{}\int _{\Omega _{n}}^{}dxdy\ ,$ essendo: $\lim _{n\to \infty }\Omega _{n}=\Omega \ .$

Questi integrali generalizzati esistono per quelle funzioni che per $\ {x\to 0}$ o per $\ {x\to \infty },{y\to \infty }$ sono infinitesime di ordine $\ \alpha >1.$