Analisi matematica I/Limite/3

Limite di funzioni da $\mathbb {R} ^{n}\,\!$ a $\mathbb {R} ^{m}\,\!$

Ora affronteremo il problema per limiti di funzioni multivariate, così da coprire tutti i casi possibili per le funzioni. Rispetto al caso precedente non ci saranno molti cambiamenti, ma si noteranno subito dei nuovi problemi.

Definizione

Cominciamo subito dando la definizione per funzioni $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} \!$:

Definizione

Sia

$f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} \!$

e $\mathbf {x_{0}} \in X\!$ di accumulazione e $l\in \mathbb {R} \!$, diremo che:

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f(\mathbf {x} )=l\!$

se, per ogni intorno $V\!$ di $l\!$, è possibile trovare un intorno $U\!$ di $\mathbf {x_{0}} \!$ per cui vale :

$f(\mathbf {x} )\in V\,\!$ se $\mathbf {x} \neq \mathbf {x_{0}} \in U\cap X\!$

in simboli:

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} \Vert <\delta \implies \vert f(\mathbf {x} )-l\vert <\epsilon ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f(\mathbf {x} )=l\!$

Come già detto la definizione è la stessa, ma ora veniamo al problema, prendiamo come esempio il seguente limite

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\!$

ora calcoliamo il limite avvicinandoci da due direzioni, la prima $y=0\!$:

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+0^{2}}}}=\lim _{x\to 0}1=1\!$

invece, ora avvicinandoci da $x=0\!$:

$\lim _{y\to 0}{\frac {0}{\sqrt {0^{2}+y^{2}}}}=\lim _{x\to 0}0=0\!$

Come avrete capito, per il caso multivariato, nasce il problema della direzione dalla quale ci si avvicina al punto di accumulazione, ma la definizione non ci dice nulla a riguardo, perciò limiti che si comportano come il precedente non esistono. Il calcolo del limite per funzioni multivariate diventa assai più complesso ed esistono tecniche che permettono di dimostrare che il suo valore è indipendente dalla direzione a cui si avvicina al punto di accumulazione in cui si vuole calcolare.

Dopo aver visto le complicazioni passiamo alla definizione per funzioni del tipo $\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}\!$:

Definizione

Sia

$\mathbf {f} :X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}\!$

e $\mathbf {x_{0}} \in X\!$ di accumulazione e $\mathbf {l} \in \mathbb {R} ^{m}\!$, diremo che:

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {l} \!$

se, per ogni intorno $V\!$ di $\mathbf {l} \!$, è possibile trovare un intorno $U\!$ di $\mathbf {x_{0}} \!$ per cui vale :

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in V\,\!$ se $\mathbf {x} \neq \mathbf {x_{0}} \in U\cap X\!$

in simboli:

$\forall \epsilon >0\exists \delta >0:\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} \Vert <\delta \implies \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {l} \Vert <\epsilon ,\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {l} \!$

Per facilitarne la comprensione si osservi che, se $f_{1},f_{2},\dots f_{m}\,\!$ sono le componenti di $\mathbf {f} \,\!$ la scrittura $\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {l} \,\!$ è equivalente a:

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{1}(\mathbf {x} )=l_{1}\!$

$\vdots \!$

$\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {x_{0}} }f_{m}(\mathbf {x} )=l_{m}\!$

Infine facciamo notare che le funzioni del tipo $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}\!$ sono particolarmente interessanti perché possono essere definite come funzioni $\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} \!$.

Consideriamo $w=u+iv,\,z=x+iy\!$ e $w=f(z)\!$ otteniamo:

$f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\!$