Analisi matematica I/Esistenza del limite di una successione

Indice del libro

Successioni monotoneModifica

Sia   una successione reale tale che

 

Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se   si dice monotona strettamente crescente

Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:

  •   si dice monotona decrescente;
  •   si dice monotona strettamente decrescente;

Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo   o   per indicare una successione monotona crescente e decrescente.

Vediamo ora un importante teorema.

Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)Modifica

Sia   una successione monotona. Allora   ammette limite e

(i)  

(ii)  

DimostrazioneModifica

(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di  , sappiamo che esiste  . Sia  .

Allora

 
 

 
 

 

Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,

 
 

 

e siccome la successione è crescente,   e quindi  .
Dunque abbiamo verificato che:

 

Ossia la tesi.

2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè  . Analogamente a prima, abbiamo che  .

Sempre per la monotonia di  , sappiamo che   anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque

 

Dunque la successione è divergente e

 

(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.

 


Teorema (di Bolzano-Weiestrass)Modifica

Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.

DimostrazioneModifica

Da fare:
problemi con la dimostrazione poco chiara