Sia una successione reale tale che
Una successione siffatta si dice monotona crescente.
Se si dice monotona strettamente crescente
Analogamente si definiscono gli altri tipi di successioni:
- si dice monotona decrescente;
- si dice monotona strettamente decrescente;
Tali successioni useremo a volte denotarle con il simbolo o per indicare una successione monotona crescente e decrescente.
Vediamo ora un importante teorema.
Teorema (esistenza del limite di una successione monotona)
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(i)1) Consideriamo il caso in cui la successione sia limitata superiormente. Allora, per la completezza di , sappiamo che esiste . Sia .
Allora
Inoltre, per la proprietà dell'estremo superiore,
e siccome la successione è crescente, e quindi .
Dunque abbiamo verificato che:
Ossia la tesi.
2)Supponiamo ora che la successione non sia limitata, cioè . Analogamente a prima, abbiamo che .
Sempre per la monotonia di , sappiamo che anche qui abbiamo ancora più rafforzata l'espressione precedente. Dunque
Dunque la successione è divergente e
(ii) Dimostrazione del tutto analoga, omessa per brevità.
Esempio (il numero di Nepero)
(esercizio su nepero)
Teorema (di Bolzano-Weiestrass)
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Si può estrarre una sottosuccessione convergente da ogni successione limitata.
Da fare:
problemi con la dimostrazione poco chiara