Analisi matematica I/Funzioni

Una funzione è una relazione tra grandezze, di cui alcune vengono definite variabili indipendenti, ovvero quelle che costituiscono i valori di partenza, e altre variabili dipendenti, il cui valore appunto dipende dal valore introdotto come variabile indipendente.

Esempio di funzione con diagrammi di Venn

Funzioni ad una variabile

Il caso più semplice di funzione è la funzione a unica variabile, ovvero le funzioni che mettono in relazione una sola variabile con una o più variabili dipendenti.

Dati:

• un insieme $X$ detto dominio di $f$
• un insieme $Y$ detto codominio di $f$

Una funzione $f$ da $X$ in $Y$ ( $f:X\rightarrow Y$ ) è una legge che ad ogni elemento $x$ appartenente a $X$ associa uno ed un solo elemento $y$ appartenente a $Y$.

L'elemento $y$, valore della variabile dipendente, viene indicato con $f(x)$, mentre $x$ viene definito anche argomento della funzione e rappresenta il valore della variabile indipendente.

Dunque abbiamo una funzione f che associa f(x) a x, che in simboli si può esprimere anche come:

$f:x\mapsto f(x)$

Proprietà

Dalla definizione si deduce che ad un singolo valore del dominio non possono corrispondere più valori nel codominio (non vale però il viceversa), motivo per cui possiamo considerare una funzione una retta, come ancche una parabola ad asse verticale, ma non una circonferenza e nemmeno una parabola ad asse orizzontale.

• 
  Funzioni: diverse rette nel piano cartesiano
• 
  Funzione: parabola ad asse verticale
• 
  Non è una funzione: parabola ad asse orizzontale
• 
  Non è una funzione: circonferenza

Immagine

Si definisce immagine dell'elemento x appartenente al dominio X della funzione f il corrispondente elemento $y=f(x)$ del codominio Y. In altre parole l'elemento y del codominio, associato dalla funzione f all'argomento x.

Considerando una funzione $f:X\rightarrow Y$, si definisce invece insieme immagine ( $I\!mf$ oppure $f(X)\,$ ) l'insieme delle immagini di tutti i valori di una funzione, e vale sempre $I\!mf\subseteq Y$.

Per estensione $I\!mf$ lo si può definire come: $\{y\in Y|\exists x\in X:y=f(x)\}$

Funzioni suriettive

Una funzione si dice suriettiva quando l'insieme immagine coincide con il codominio, ovvero quando ogni elemento y del codominio è immagine di almeno un elemento x del dominio.

Formalmente, una funzione $f:X\rightarrow Y$ è suriettiva se $\forall y\in Y,\exists x\in X|f(x)=y$.

Esempi

Se consideriamo funzioni $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, sono suriettive le rette, la funzione tangente, le potenze dispari ($f(x)=x^{3},f(x)=x^{5}$, etc.) etc. In questo stesso ambito non possiamo considerare funzioni suriettive né le parabole ad asse verticale, né le iperboli, né le funzioni seno e coseno, né i logaritmi etc.

Funzioni iniettive

Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, o equivalentemente se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio.

Si può dire dunque che $f:X\rightarrow Y$ è iniettiva se e solo se $\forall x_{1},x_{2}\in X,x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

In alternativa, utilizzando il concetto di immagine, la funzione si può definire iniettiva se:

$\forall \!y\in I\!mf,\,\exists !x\in X:f(x)=y$

Note:

• $\exists !$ = "esiste un solo"

Esempi

Se consideriamo funzioni $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, sono iniettive le rette, i logaritmi, le iperboli equilatere, le potenze dispari ($f(x)=x^{3},f(x)=x^{5}$ etc. Sempre nello stesso ambito non possiamo considerare iniettive né le parabole ad asse verticale, né le iperboli non equilatere, né tutte le funzioni periodiche, tra cui seno e coseno e tangente etc.

Funzioni biunivoche

Una funzione è biunivoca (o biiettiva) se essa è contemporaneamente suriettiva ed iniettiva.

Tutte le funzioni biunivoche godono della proprietà di essere invertibili.

Tipi di funzioni

• Successioni: sono funzioni di $\mathbb {N}$ in $\mathbb {R}$ ( $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$ ), ovvero funzioni che partono dall'insieme dei numeri naturali e terminano nell'insieme dei numeri reali.
• Funzioni reali di variabile reale: sono funzioni di $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ ( $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ), le cui coppie (x,y) appartengono all'insieme $\mathbb {R} \cdot \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$

Successioni

Per approfondire, vedi Successioni reali.

Funzioni reali di variabile reale

Le funzioni $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ sono quelle più comunemente trattate dall'analisi e possono possedere, a certe condizioni, alcune particolari proprietà che in genere si studiano su tali funzioni nonostante il fatto che queste stesse proprietà siano spesso applicabili a funzioni non necessariamente di variabile reale.

Funzioni limitate

Una funzione $f:X\rightarrow Y$ si dice limitata superiormente, inferiormente o entrambe se per ogni x f(x) è relativamente minore di un valore M o maggiore di un valore m o entrambi, con $m,M\in Y$

• Limitata superiormente: $\forall x\in X\,f(x)<M,\,M\in Y$
• Limitata inferiormente: $\forall x\in X\,f(x)>m,\,m\in Y$

Funzioni contenenti simmetrie

• Funzioni pari: sono funzioni simmetriche rispetto all'asse delle ordinate, per cui vale la relazione:

$f(-x)=f(x)\,$

• Funzioni dispari: sono funzioni simmetriche rispetto all'origine degli assi, per cui vale la relazione:

$f(-x)=-f(x)\,$

Funzioni monotòne

Una funzione si definisce monotòna se essa è sempre crescente (o al più costante) o sempre decrescente (o al più costante) nel suo dominio.

Una funzione si dice invece strettamente monotona se è sempre crescente o sempre decrescente ma mai costante. Se invece si intende sottolineare che una funzione è monotona ma non strettamente monotona, allora si può dire monotona in senso lato. Se la funzione è monotona e crescente si difinisce monotona crescente, se essa è monotona e decrescente si definisce monotona decrescente.

Dunque, una funzione $f:X\rightarrow Y$ è monotona crescente, in senso lato se:

$\forall x_{1},x_{2}\in X,\,\,x_{1}\leq x_{2}\,|\,f(x_{1})\leq f(x_{2})$

Mentre è monotona decrescente, in senso lato se:

$\forall x_{1},x_{2}\in X,\,\,x_{1}\leq x_{2}\,|\,f(x_{1})\geq f(x_{2})$

Invece, per esempio, una funzione strettamente monotona, crescente è caratterizzata dalla seguente proprietà:

$\forall x_{1},x_{2}\in X,\,\,x_{1}<x_{2}\,|\,f(x_{1})<f(x_{2})$

vale a dire che i rapporti di comparazione sono di $<\,$ e non di $\leq$.

Funzioni inverse

La funzione inversa $f^{-1}\,$ di una funzione $f:X\rightarrow Y$ iniettiva è quella funzione che a partire dai valori $y=f(x)\in Y$ restituisce i valori di partenza di $f\,$, ovvero i valori $x\in X$ del dominio di $f\,$, per cui data:

$f:X\rightarrow Y$

con $D'=I\!mf$ e soprattutto $f\,$ iniettiva (condizione fondamentale),

vale:

$f^{-1}:D'\rightarrow X\,|\,f^{-1}(f(x))=x,\,\,\forall x\in X$ oppure, similmente, $\forall y=f(x)\in D'$

La condizione di iniettività di f è fondamentale, tantoché per ottenere le funzioni inverse di alcune funzioni non iniettive con dominio $\mathbb {R}$ (come $\sin(x),\cos(x),\tan(x)\,$ ), quando è possibile si restringe arbitrariamente il dominio ad un intervallo limitato in cui la funzione si mantiene iniettiva.

Analisi delle proprietà del grafico

Il grafico di una funzione $f:X\rightarrow Y$ è una rappresentazione dell'insieme delle coppie $(x,f(x))\in X\!\times \!Y,\forall x\in X$, quindi vale:

$G(f):=\{(x,f(x))\in X\!\times \!Y,\forall x\in X\}\subseteq X\!\times \!Y$