Proprietà di
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
modifica
(
R
,
+
,
⋅
,
≤
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )}
è un campo commutativo e totalmente ordinato.
(
R
,
≤
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}
è completo.
La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato
A
⊆
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
, esiste certamente nei reali l'estremo superiore.
Sia
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
. Si definisce il valore assoluto (o modulo) di
x
{\displaystyle x}
il numero reale denotato con
|
x
|
{\displaystyle |x|}
tale che
|
x
|
=
max
{
x
,
−
x
}
{\displaystyle |x|=\max\{x,-x\}}
.
Proposizione (proprietà del valore assoluto)
modifica
Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:
|
x
|
=
0
⇔
max
{
x
,
−
x
}
=
0
{\displaystyle |x|=0\Leftrightarrow \max\{x,-x\}=0}
|
x
|
<
0
⇒
max
{
x
,
−
x
}
<
0
{\displaystyle |x|<0\Rightarrow \max\{x,-x\}<0}
ed è ovviamente assurdo, perché se
x
{\displaystyle x}
è positivo, il massimo tra
x
{\displaystyle x}
e
−
x
{\displaystyle -x}
è
x
>
0
{\displaystyle x>0}
. Se
x
{\displaystyle x}
è negativo, il massimo tra
x
<
0
{\displaystyle x<0}
e
−
x
>
0
{\displaystyle -x>0}
è
−
x
{\displaystyle -x}
, che è appunto maggiore di 0.
Riguardo alla disuguaglianza triangolare, abbiamo:
se uno dei due è nullo (ad esempio
y
{\displaystyle y}
otteniamo
|
x
+
y
|
=
|
x
|
{\displaystyle |x+y|=|x|}
|
x
+
y
|
≤
|
x
|
+
|
y
|
⇔
|
x
+
y
|
2
≤
(
|
x
|
+
|
y
|
)
2
⇔
|
x
|
2
+
2
x
y
+
|
y
|
2
≤
|
x
|
2
+
2
|
x
y
|
+
|
y
|
2
{\displaystyle |x+y|\leq \left|x\right|+\left|y\right|\Leftrightarrow |x+y|^{2}\leq (\left|x\right|+\left|y\right|)^{2}\Leftrightarrow |x|^{2}+2xy+|y|^{2}\leq |x|^{2}+2|xy|+|y|^{2}}
◻
{\displaystyle \Box }
Sia
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
. Si definisce parte intera di
x
{\displaystyle x\,}
il numero intero, denotato con
[
x
]
{\displaystyle [x]\,}
, tale che:
[
x
]
=
max
{
a
∈
Z
|
a
≤
x
}
{\displaystyle [x]=\max\{a\in \mathbb {Z} |a\leq x\}}
.
Sia
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
e
[
x
]
{\displaystyle [x]\,}
parte intera di
x
{\displaystyle x\,}
. Si definisce il mantissa di
x
{\displaystyle x\,}
il numero reale, denotato con
(
x
)
{\displaystyle (x)\,}
, tale che:
(
x
)
=
x
−
[
x
]
{\displaystyle (x)=x-[x]\,}
Induzione matematica e insiemi induttivi
modifica
Consideriamo un insieme
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
. Si dice induttivo se
1
∈
I
{\displaystyle 1\in I}
x
∈
I
⇒
x
+
1
∈
I
{\displaystyle x\in I\Rightarrow x+1\in I}
Denotiamo con
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
N
=
{
x
∈
R
:
x
∈
I
,
∀
I
∈
I
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{x\in \mathbb {R} \ :\ x\in I,\forall I\in {\mathcal {I}}\}}
In altre parole,
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
è il più piccolo degli insiemi induttivi.
Teorema (principio di induzione matematica)
modifica
Sia
M
⊆
N
{\displaystyle M\subseteq \mathbb {N} }
l'insieme degli
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
per cui valgano le condizioni 1 e 2.
M
{\displaystyle M}
è allora un insieme induttivo e sappiamo che
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque
N
⊆
M
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq M}
. D'altra parte si ha, per ipotesi, che
M
⊆
N
{\displaystyle M\subseteq \mathbb {N} }
. Dunque
M
=
N
{\displaystyle M=\mathbb {N} }
.
◻
{\displaystyle \Box }
Importanti considerazioni finali
modifica
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
non è superiormente limitato.
Infatti, se lo fosse, per la completezza di
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
esisterebbe un reale
m
{\displaystyle m}
tale che
m
=
sup
N
{\displaystyle m=\sup \mathbb {N} }
. Però, siccome
m
{\displaystyle m}
è il minore di tutti i maggioranti,
m
−
1
{\displaystyle m-1}
non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
si ha che
m
−
1
<
n
{\displaystyle m-1<n}
e dunque
m
<
n
+
1
∈
N
{\displaystyle m<n+1\in \mathbb {N} }
e abbiamo finito, perché l'ipotesi che
m
{\displaystyle m}
sia un maggiorante è contraddetta.
◻
{\displaystyle \Box }
Teorema (proprietà di Archimede)
modifica
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
è archimedeo, cioè
∀
x
>
0
,
y
∈
R
∃
n
∈
N
:
n
x
>
y
{\displaystyle \forall x>0,y\in \mathbb {R} \exists n\in \mathbb {N} \ :\ nx>y}
Per assurdo,
n
x
≤
y
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle nx\leq y,\ \forall n\in \mathbb {N} }
. Dunque
n
≤
y
x
{\displaystyle n\leq {\frac {y}{x}}}
ed
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
sarebbe superiormente limitato. Impossibile.
◻
{\displaystyle \Box }
Teorema (densità dei razionali nei reali)
modifica
Siano
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} \ }
e sia
x
<
y
{\displaystyle x<y}
, allora
∃
z
∈
Q
:
x
<
z
<
y
{\displaystyle \exists z\in \mathbb {Q} \ :\ x<z<y}
Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che
x
<
y
{\displaystyle x<y}
da cui si evince facilmente che
y
−
x
>
0
{\displaystyle y-x>0}
. Poniamo, per alleggerire le notazioni,
t
=
y
−
x
{\displaystyle t=y-x}
. Poiché
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
è archimedeo allora esisterà un
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
tale che
n
t
>
1
{\displaystyle nt>1\,\!}
e quindi
t
>
1
n
{\displaystyle t>{\frac {1}{n}}}
. Sia ora
m
=
[
n
x
]
+
1
∈
Z
{\displaystyle m=[nx]+1\in \mathbb {Z} }
, vale
[
n
x
]
≤
n
x
<
[
n
x
]
+
1
=
m
{\displaystyle [nx]\leq nx<[nx]+1=m\,\!}
da cui
[
n
x
]
n
≤
x
<
m
n
{\displaystyle {\frac {[nx]}{n}}\leq x<{\frac {m}{n}}}
.
Osserviamo ora che
y
{\displaystyle y}
può essere riespresso come
y
=
x
+
t
>
x
+
1
n
≥
[
n
x
]
n
+
1
n
=
m
n
{\displaystyle y=x+t>x+{\frac {1}{n}}\geq {\frac {[nx]}{n}}+{\frac {1}{n}}={\frac {m}{n}}}
. Deduciamo quindi che
x
<
m
n
<
y
{\displaystyle x<{\frac {m}{n}}<y}
con
m
,
n
∈
Z
{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }
e di conseguenza
m
n
∈
Q
{\displaystyle {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }
.
◻
{\displaystyle \Box }