Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte)

Indice del libro

I numeri realiModifica

Proprietà di  Modifica

  1.   è un campo commutativo e totalmente ordinato.
  2.   è completo.

La prima proprietà è lunga da dimostrare ma sostanzialmente semplice; si tratta di verificare le proprietà di campo commutative e di ordine totale e consigliamo di farle per esercizio.
La seconda proprietà è deducibile anche intuitivamente. Infatti, preso un qualsiasi sottoinsieme superiormente limitato  , esiste certamente nei reali l'estremo superiore.

Valore assolutoModifica

Sia  . Si definisce il valore assoluto (o modulo) di   il numero reale denotato con   tale che

 .

Proposizione (proprietà del valore assoluto)Modifica

 , si ha

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   (disuguaglianza triangolare)
DimostrazioneModifica

Le proprietà 1 e 3 sono molto facili e ne omettiamo la dimostrazione per brevità.
La 2 afferma che il valore assoluto è sempre non negativo. Infatti:

  •  
  •   ed è ovviamente assurdo, perché se   è positivo, il massimo tra   e   è  . Se   è negativo, il massimo tra   e   è  , che è appunto maggiore di 0.

Riguardo la disuguaglianza triangolare, abbiamo:

  • se uno dei due è nullo (ad esempio   otteniamo
 
  • altrimenti
 
 


Parte interaModifica

Sia  . Si definisce parte intera di   il numero intero, denotato con  , tale che:

 .

MantissaModifica

Sia   e   parte intera di  . Si definisce il mantissa di   il numero reale, denotato con  , tale che:

 

Induzione matematica e insiemi induttiviModifica

Consideriamo un insime  . Si dice induttivo se

  1.  
  2.  

Denotiamo con   l'insieme di tutti i sottoinsiemi induttivi di  .

Insieme dei numeri naturaliModifica

 

In altre parole,   è il più piccolo degli insiemi induttivi.

Teorema (principio di induzione matematica)Modifica

Sia   una proposizione logicamente significativa. Se

  1.   è vera
  2.  

allora   è vera per ogni  .

DimostrazioneModifica

Sia   l'insieme degli   per cui valgano le condizioni 1 e 2.   è allora un insieme induttivo e sappiamo che   è il più piccolo degli insiemi induttivi, dunque  . D'altra parte si ha, per ipotesi, che  . Dunque  .

 


Importanti considerazioni finaliModifica

LemmaModifica

  non è superiormente limitato.

Dimostrazione del LemmaModifica

Infatti, se lo fosse, per la completezza di   esisterebbe un reale   tale che  . Però, siccome   è il minore di tutti i maggioranti,   non è più un maggiorante e dunque, per un opportuno   si ha che   e dunque   e abbiamo finito, perché l'ipotesi che   sia un maggiorante è contraddetta.

 


Teorema (proprietà di Archimede)Modifica

  è archimedeo, cioè

 
DimostrazioneModifica

Per assurdo,  . Dunque   ed   sarebbe superiormente limitato. Impossibile.

 


Teorema (densità dei razionali nei reali)Modifica

Siano   e sia  , allora  
DimostrazioneModifica

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che   da cui si evince facilmente che  . Poniamo, per alleggerire le notazioni,  . Poiché   è archimedeo allora esisterà un   tale che

  e quindi  

. Sia ora

 , vale   da cui  

. Osserviamo ora che   può essere riespresso come

 

. Deduciamo quindi che

 

con   e di conseguenza  .