Analisi matematica I/Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti

Quando due funzioni (reali) o due successioni sono entrambe infinitesime o entrambe infinite è utile poter stabilire un confronto tra di esse per poter capire quale delle due tenda più rapidamente a 0 o all'infinito. Diciamo che a_n è un infinito di ordine superiore a b_n (ovvero b_n è un infinito di ordine inferiore ad a_n) se $\lim _{n\to +\infty }(a_{n}/b_{n})=+\infty$

Si deduce quindi che a_n va all’infinito più velocemente di b_n ovvero: $\lim _{n\to +\infty }(b_{n}/a_{n})=0$

Invece, diciamo che a_n e b_n sono infiniti dello stesso ordine se vanno all’infinito con la stessa velocità: $\lim _{n\to +\infty }(b_{n}/a_{n})=l$, con l∈R\{0}; se l=1 diciamo che a_n e b_n sono asintotiche e scriviamo a_n ~ b_n.

Gerarchia degli infiniti

Ecco alcuni esempi di funzioni che tendono ad infinito disposte in ordine crescente di velocità:

$\log _{a}{n}<n^{\alpha }<c^{n}$

con a > 1; α > 0; c costante; $n\to +\infty$