Principi di insiemistica e funzioni elementari
Numeri naturali
Numeri interi
Numeri razionali
Numeri reali
Numeri reali (seconda parte)
Numeri complessi
Funzioni
Funzioni circolari
Funzioni radice, esponenziale e logaritmica
Le successioni e le serie numeriche in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Successioni reali
Limiti di successioni reali
Teoremi sulle successioni
Algebra dei limiti delle successioni
Esistenza del limite di una successione
Limiti inferiori e superiori
Forme indeterminate di successioni
Serie numeriche
Limiti di funzioni reali a una variabile reale
Punti di accumulazione e chiusura di un insieme
Compattezza di un insieme
Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale
Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale
Algebra dei limiti
Teorema del confronto e teorema di Cauchy
Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità
Analisi matematica I/Funzioni monotone
Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale
Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua
Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue
Calcolo differenziale in
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
e studio di funzioni
Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione
Analisi matematica I/Algebra delle derivate
Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy
Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital
Analisi matematica I/Polinomi di Taylor
Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali
Analisi matematica I/Funzioni convesse
Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale
Analisi matematica I/Integrale di Riemann
Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann
Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale
Analisi matematica I/Integrale generalizzato
Successioni e serie di funzioni
Analisi matematica I/Successioni di funzioni
Analisi matematica I/Serie di funzioni
VECCHIO
Elementi di base
Gli insiemi e i vari tipi di insiemi
Note storiche sugli insiemi
I numeri reali
I numeri complessi
Sommatorie
progressione geometrica
fattoriale di n
formula di Newton
Potenze e radicali
Esponenziali e logaritmi
Insiemi infiniti
Massimi e minimi
Funzioni
Serie e successioni
Successioni: definizione
Limiti: definizione
Successioni monotone
Calcolo dei limiti
Limite di successioni
Il numero di Nepero (e)
Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
Limiti notevoli
Serie numeriche: definizione
Serie a termini non negativi
Serie a termini di segno variabile
Funzioni di una variabile, limiti e continuità
Limiti di funzioni da R a R
Limiti di funzioni da Rn a Rm
Funzioni numeriche e generalità
Grafico di una funzione
Funzioni limitate
Funzioni simmetriche, pari e dispari
Funzioni monotone
Funzioni periodiche
Limiti, continuità, asintoti
Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche
Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)
Funzioni trigonometriche inverse
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Introduzione
Il rapporto incrementale
Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale
Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa
Le derivate fondamentali
Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;
Il teorema di de L’Hospital
Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare
o piccolo
Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità
Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di ordine n
Studio del grafico di una funzione
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
L’integrale come limite di somme
Proprietà dell'integrale
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Metodo di ricerca della primitiva
Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti
Funzioni integrabili
integrali generalizzati: integrali di funzioni discontinue
Integrazione di funzioni non limitate
Criteri di integrabilità al finito
Integrazione su intervalli illimitati
Criteri di integrabilità all’infinito
Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale
Integrazione delle funzioni trigonometriche
Modifica il sommario
Sia
a
n
{\displaystyle a_{n}}
(con
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
) una successione di numeri reali.
Diciamo serie di termine generale
a
n
{\displaystyle a_{n}}
la scrittura formale
∑
k
=
0
∞
a
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}
, e la successione
S
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}
prende il nome di successione delle somme parziali della serie.
Consideriamo ora il limite per
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
della successione
S
n
{\displaystyle S_{n}}
.
Se tale limite esiste ed è finito, la serie si dice convergente ; se il limite esiste ed è uguale a
+
∞
{\displaystyle +\infty }
oppure a
−
∞
{\displaystyle -\infty }
, la serie si dice divergente (positivamente o negativamente), ed in entrambi i casi, la serie si dice regolare .
Se invece il limite non esiste, la serie si dice indeterminata .
La serie di Mengoli è definita come:
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}}
Si dimostra, utilizzando il principio di induzione (lo studente può verificarlo per esercizio), che:
S
n
=
∑
k
=
0
n
1
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
=
n
n
+
1
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}={\frac {n}{n+1}}}
da cui:
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
=
lim
n
→
+
∞
n
n
+
1
=
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(k+2)}}=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\frac {n}{n+1}}=1}
La serie è quindi convergente .
Lo studente può facilmente verificare, tramite le nozioni di limite di successione e di sommatoria, che:
Se le serie di termini generali
a
k
{\displaystyle a_{k}}
e
b
k
{\displaystyle b_{k}}
sono regolari, e se anche la serie di termine generale
a
k
+
b
k
{\displaystyle a_{k}+b_{k}}
è regolare, allora risulta:
∑
k
=
0
∞
(
a
k
+
b
k
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
+
∑
k
=
0
∞
b
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}
e lo stesso vale per:
∑
k
=
0
∞
(
a
k
−
b
k
)
=
∑
k
=
0
∞
a
k
−
∑
k
=
0
∞
b
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}-b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}-\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}
inoltre:
∑
k
=
0
∞
(
a
k
∗
b
k
)
≠
∑
k
=
0
∞
a
k
∗
∑
k
=
0
∞
b
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}*b_{k})\neq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}*\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}}
Condizione necessaria per la convergenza di una serie
modifica
Se la serie
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
è convergente, allora
lim
n
→
+
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0}
È importante ricordare che la condizione è necessaria , ma non sufficiente .
Siano
S
n
{\displaystyle S_{n}}
la successione delle somme parziali, ed
S
{\displaystyle S}
il valore a cui essa converge (per ipotesi); poiché:
a
n
=
S
n
−
S
n
−
1
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1},\ \ \forall n\in \mathbb {N} }
,
n
>
0
{\displaystyle n>0}
risulta:
lim
n
→
+
∞
a
n
=
lim
n
→
+
∞
S
n
−
S
n
−
1
=
lim
n
→
+
∞
S
n
−
lim
n
→
+
∞
S
n
−
1
=
S
−
S
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}-S_{n-1}=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}-\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n-1}=S-S=0}
◻
{\displaystyle \Box }
TODO
Da fare: inserire collegamento a serie armonica come esempio che la condizione non è sufficiente
Criterio di Cauchy per le serie
modifica
Sia
S
n
{\displaystyle S_{n}\,\!}
la successione delle somme parziali.
Per il criterio di Cauchy per le successioni ,
S
n
{\displaystyle S_{n}}
converge se e solo se
∀
ε
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon >0}
esiste
ν
∈
N
{\displaystyle \nu \in \mathbb {N} }
tale che
|
s
m
−
s
n
|
<
ε
{\displaystyle \left|s_{m}-s_{n}\right|<\varepsilon }
per
m
,
n
≥
ν
{\displaystyle m,n\geq \nu }
.
Se prendiamo
m
>
n
{\displaystyle m>n}
allora
m
=
n
+
p
{\displaystyle m=n+p}
per qualche
p
∈
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
, con
p
≠
0
{\displaystyle p\neq 0}
; l'asserto segue allora dal fatto che:
∑
k
=
n
+
1
n
+
p
a
k
=
∑
k
=
0
n
+
p
a
k
−
∑
k
=
0
n
a
k
=
s
m
−
s
n
{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+p}a_{k}=\sum _{k=0}^{n+p}a_{k}-\sum _{k=0}^{n}a_{k}=s_{m}-s_{n}}
.
◻
{\displaystyle \Box }
Una serie
∑
k
=
1
∞
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}
si dice a termini non negativi (positivi ) se
∀
n
∈
N
,
a
n
≥
0
(
>
0
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \ a_{n}\geq 0\ \left(>0\right)}
.
La sua successione
s
n
{\displaystyle s_{n}\,\!}
delle somme parziali è monotona non descrescente (crescente ); risulta infatti
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
:
s
n
+
1
=
s
n
+
a
n
+
1
≥
s
n
(
>
s
n
)
{\displaystyle s_{n+1}=s_{n}+a_{n+1}\geq s_{n}\ \left(>s_{n}\right)}
In base al teorema di esistenza del limite di una successione monotona , risulta vero il seguente teorema sulle serie a termini non negativi :
Una serie
∑
k
=
1
∞
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}
a termini non negativi è regolare , cioè non può essere indeterminata;
In particolare può solo convergere o divergere positivamente .
Criteri di convergenza per serie a termini non negativi
modifica
È spesso complicato calcolare esplicitamente la successione delle somme parziali; per questo motivo può essere utile avere degli strumenti per stabilire a priori il carattere di una serie;
I seguenti criteri sono validi per serie a termini non negativi .
Siano
a
n
{\displaystyle a_{n}\!}
e
b
n
{\displaystyle b_{n}\!}
due successioni tali che
0
≤
a
n
≤
b
n
,
∀
n
>
ν
,
{\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n},\ \forall n>\nu ,}
con
ν
∈
N
{\displaystyle \nu \in \mathbb {N} \!}
fissato.
Si ha:
∑
k
=
1
∞
b
k
<
+
∞
⇒
∑
k
=
1
∞
a
k
<
+
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}<+\infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty }
∑
k
=
1
∞
a
k
=
+
∞
⇒
∑
k
=
1
∞
b
k
=
+
∞
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty \ \ \Rightarrow \ \ \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=+\infty }
Data la successione di somme parziali
(
S
n
)
{\displaystyle (S_{n})}
di
∑
a
n
{\displaystyle \sum a_{n}}
, dove
(
S
n
)
{\displaystyle (S_{n})}
è monotona crescente:
lim
n
→
+
∞
S
n
=
sup
S
n
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S_{n}=\sup {S_{n}}}
.
Idem con
(
T
n
)
{\displaystyle (T_{n})}
successione di somme parziali di
∑
b
n
{\displaystyle \sum b_{n}}
:
lim
n
→
+
∞
T
n
=
sup
T
n
{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }T_{n}=\sup {T_{n}}}
.
Abbiamo che:
∑
a
n
=
sup
S
n
≤
∑
b
n
=
sup
T
n
{\displaystyle \sum a_{n}=\sup {S_{n}}\leq \sum b_{n}=\sup {T_{n}}}
, dove non è da escludere che gli estremi superiori possano assumere anche il valore
+
∞
{\displaystyle +\infty }
.
Quanto affermato nel criterio ne segue immediatamente.
Si ha la serie a termini positivi
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
tale che esista
lim
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
=
l
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l}
Essa:
- converge se
l
<
1
{\displaystyle l<1}
- diverge se
l
>
1
{\displaystyle l>1}
- il criterio non è risolutivo se
l
=
1
{\displaystyle l=1}
Se
lim
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
=
l
<
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l<1}
possiamo definire un numero k compreso tra l ed 1 per ogni n maggiore di un certo N abbastanza grande.
∀
n
>
N
,
a
n
+
1
a
n
<
k
{\displaystyle \forall n>N,\ {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<k}
da cui
a
n
<
a
n
−
1
k
<
a
n
−
2
k
2
<
a
n
−
3
k
3
<
⋯
<
a
N
+
1
k
n
−
(
N
+
1
)
=
(
a
N
+
1
k
N
+
1
)
k
n
{\displaystyle a_{n}<a_{n-1}k<a_{n-2}k^{2}<a_{n-3}k^{3}<\dots <a_{N+1}k^{n-(N+1)}=\left({\frac {a_{N+1}}{k^{N+1}}}\right)k^{n}}
(
a
N
+
1
k
N
+
1
)
{\displaystyle \left({\frac {a_{N+1}}{k^{N+1}}}\right)}
è una costante ininfluente ai fini della determinazione del carattere della serie.
k
n
{\displaystyle k^{n}}
è una geometrica di ragione k minore di 1 e che quindi converge.
Quindi dato che una successione maggiorante di
a
n
{\displaystyle a_{n}}
risulta convergente, anche
a
n
{\displaystyle a_{n}}
risulta convergente.
Supponiamo che il limite di
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
sia un certo numero L < 1. Allora puoi fissare un numero q nell'intervallo aperto (L, 1), cioè un numero q STRETTAMENTE maggiore di L e STRETTAMENTE minore di 1.
Applica la definizione di limite alla successione
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
scegliendo un particolare
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
, precisamente
ϵ
=
q
−
L
{\displaystyle \epsilon =q-L}
(puoi farlo perché q - L è positivo); per tutti gli indici n da un certo N in avanti
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
sarà compreso tra
L
−
ϵ
{\displaystyle L-\epsilon }
ed
L
+
ϵ
{\displaystyle L+\epsilon }
, cioè tra 2L - q e q. Ciò significa che per tutti gli indici n sufficientemente grandi hai la disuguaglianza
a
n
+
1
a
n
<
q
{\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}<q}
. Il primo n per il quale vale la disuguaglianza appena detta è N: dunque è
a
N
+
1
a
N
<
q
{\displaystyle {\frac {a_{N+1}}{a_{N}}}<q}
, cioè
a
N
+
1
<
q
⋅
a
N
{\displaystyle a_{N+1}<q\cdot a_{N}}
(occhio! qui si utilizza il fatto che i termini sono positivi, altrimenti le disuguaglianze cambiano verso e il criterio va a farsi friggere). Ma abbiamo anche
a
N
+
2
a
N
+
1
<
q
{\displaystyle {\frac {a_{N+2}}{a_{N+1}}}<q}
, il che implica
a
N
+
2
<
q
⋅
a
N
+
1
<
q
2
⋅
a
N
{\displaystyle a_{N+2}<q\cdot a_{N+1}<q^{2}\cdot a_{N}}
. Proseguendo in questo modo hai per un generico k la disuguaglianza
a
N
+
n
<
q
n
⋅
a
N
{\displaystyle a_{N+n}<q^{n}\cdot a_{N}}
. Ma questo significa che la serie (per n da N a infinito) di
a
n
{\displaystyle a_{n}}
si maggiora con la costante
a
N
{\displaystyle a_{N}}
moltiplicata per la serie (per n da N a infinito) di
q
n
{\displaystyle q^{n}}
, che è una serie geometrica convergente, in quanto ha ragione minore di 1. Per il criterio del confronto, la serie (per n da N a infinito) di
a
n
{\displaystyle a_{n}}
converge (nota che anche qui si usa l'ipotesi serie a termini positivi, perché altrimenti il criterio del confronto non vale). Abbiamo ovviamente tralasciato i primi termini della serie (fino all'indice N - 1), ma questo non è un problema, perché il carattere di una serie non cambia eliminando o alterando un numero finito di termini..
Una serie del tipo
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
−
1
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}a_{k}}
, con
a
n
>
0
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}>0,\ \ \forall n\in \mathbb {N} }
, si dice serie alternata ;
la successione delle somme parziali corrispondente sarà:
s
n
=
a
1
−
a
2
+
a
3
−
a
4
+
…
+
(
−
1
)
n
−
1
a
n
{\displaystyle s_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots +\left(-1\right)^{n-1}a_{n}}
Seguono un criterio di convergenza specifico per serie di questo tipo, ed un teorema valido per ogni tipo di serie, ma molto utile nello studio del carattere di quelle alternate.
Criterio di convergenza per le serie alternate
modifica
Una serie di termine generale
a
n
{\displaystyle a_{n}\,\!}
si dice assolutamente convergente , per definizione, se la serie di termine generale
|
a
n
|
{\displaystyle \left|a_{n}\right|}
risulta convergente.
Vale il seguente teorema :
Se una serie converge assolutamente, essa è convergente.
Il teorema è particolarmente utile, perché, qualsiasi sia la successione
a
n
{\displaystyle a_{n}\,\!}
, la serie di termine generale
|
a
n
|
{\displaystyle \left|a_{n}\right|}
risulta essere a termini non negativi, e può essere quindi analizzata con i relativi criteri.
Una serie che sia convergente, ma non assolutamente convergente, si dice condizionatamente convergente .
Per ipotesi, la serie
∑
k
=
1
∞
|
a
k
|
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|a_{k}\right|}
è convergente.
Consideriamo la serie
∑
k
=
1
∞
(
a
k
+
|
a
k
|
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)}
; essa converge per il criterio del confronto, poiché:
0
≤
a
k
+
|
a
k
|
≤
2
|
a
k
|
,
∀
k
∈
N
{\displaystyle 0\leq a_{k}+\left|a_{k}\right|\leq 2\left|a_{k}\right|,\ \ \ \ \forall k\in \mathbb {N} }
Dal momento che:
∑
k
=
1
n
a
k
=
∑
k
=
1
n
(
a
k
+
|
a
k
|
)
−
∑
k
=
1
n
|
a
k
|
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+\left|a_{k}\right|\right)-\sum _{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|}
Il limite per
n
→
+
∞
{\displaystyle n\to +\infty }
del primo mebro deve necessariamente esistere finito , poiché esistono finiti i limiti dei singoli addendi del secondo membro.
◻
{\displaystyle \Box }